Transcript Spannweite(Beispiel)

Streuung
• Bezeichnung
Streuung=Dispersion=Variabilität
• Fragestellung:
• Wie heterogen sind die Daten?
• Wie weit weichen Merkmale von den Mittelwerten ab?
• Zweck der Berechnung
• Der Mittelwert/ Zentralwert ist zur Charakterisierung der Daten nicht
ausreichend. Man will auch wissen, wie stark die Daten von der Mitte
abweichen.
• Die Streuung ist ein Maß für die Abweichung.
• Beispiel: Altersangabe für 2 Arbeitsgruppen
Gruppe1: 21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
Gruppe2: 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35 1
Häufigkeitsverteilungen mit unterschiedlicher
Streuung und gleichem Mittelwert
H ä u fig k e it
geringe Streuung
mittlere Streuung
große Streuung
Merkmalsausprägungen
2
Streuung(Beispiel)
Alter, Gruppe1
21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
25
30
35
40
45
Alter, Gruppe2
27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
25
30
35
40
3
45
Spannweite(Beispiel)
Alter, Gruppe1
21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
25
30
35
40
45
Alter, Gruppe2
27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
25
30
35
40
4
45
Streuungsmaß1
Spannweite (Variationsbreite)
Definition:
Spannweite = Abstand zwischen
• dem minimalen und
• dem maximalen
Merkmalswert
•
Beispiel:
Zensuren: 1,1,2,2,2,2,5
Spannweite = 5-1 = 4
•
Nachteil
xmax –xmin
– empfindlich gegen Ausreißer
– nicht anwendbar bei offenen Klassen
5
Spannweite bei Klassen
• Spannweite bei Klassen
= Abstand zwischen
• der Untergrenze der untersten Klasse
• der Obergrenze der obersten Klasse
• Problem
– Man muss alle Klassen vorher schließen
6
Mittlerer Quartilsabstand(Beispiel)
Alter, Gruppe1
21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
16
Q1=37
14
12
Q3=25
10
8
6
4
2
0
20
25
30
35
40
MQ
=(37-25) /2
=6
45
Alter, Gruppe2
27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35
16
Q1=29
14
Q3=33
12
10
8
MQ =(33-29) /2 =2
6
4
2
0
20
25
30
35
40
7
45
Streuungsmaß 2
Quartilsabstände
• Quartilsabstand
= Abstand zwischen
• dem untersten und
• dem obersten
Quartil
Q3-Q1
• Semiquartilsabstand (=mittlerer Quartilsabstand=MQA=MQ)
= mittlere Abweichung vom Zentralwert
(Q3  Z)  (Z  Q1 )
2

Q3  Q1
2
8
Quartilsabstand: Zeichnung
• Semiquartilsabstand (mittlerer Quartilsabstand=MQA,=MQ)
= mittlere Abweichung vom Zentralwert
(Q3-Q1)/2
• Zeichnung: Whisker-Box-Plot (nicht klausurrelevant)
halber Quartilsabstand
Z
Q1
Q3
Quartilsabstand
9
Quartilsabstand: Beispiel
• Mittlerer Quartilsabstand(MQM)
• ½(Q1-Q3)
– Beispiel:
Merkmale
1
2
3
4
5
6
7
8
Häufigkeit 1
1
3
5
1
4
2
3
MQM=3
Q1=3
Z=4
Q3=6
10
Quartilsabstand und die Gestalt der Verteilung
• linkssteil (Streuung vorwiegend nach rechts)
Q1  Q 3
Z 
2
Z  Q1
1
Q3  Z
• rechtssteil (Streuung vorwiegend nach links)
Q1  Q3
Z 
2
• symmetrisch
Q1  Q3
Z 
2
Z  Q1
1
Q3  Z
Z  Q1
1
Q3  Z
11
Quartilsabstand und die Gestalt der Verteilung
• linkssteil (Streuung vorwiegend nach rechts)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
10
11
12
13
14
x
n
10
40
11
20
12
14
13
13
14
13
Z  Q1  Q 3  Z
Q1  Q 3
Z 
2
12
Quartilsabstand:Problemfälle
• Behandlung von Ausreißern
– Werte, die von den Rändern der Box weit entfernt sind, werden
nicht berücksichtigt.
– Weit heißt: 2/3 der Boxbreite
MQM=3/2
vernachlässigbare Werte
Q1=3
Z=4
Q3=6
13
Mittlere absolute Abweichung(Beispiel)
Alter, Gruppe1
21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
16
14
12
10
Mittelwert=31
x
8
6
Abstand vom
Mittelwert
21 21-31 = --10
22 22-31= --9
4
....
2
40 40-31 =
0
20
25
30
m=x
35
9
41 41-31= 10
40
45
14
Mittlere absolute Abweichung
(Abstände zum Mittelwert ermitteln)
Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel
21, 24, 26, 31, 36, 38, 41
Mittelwert =31
x
Abstand von x zum Mittelwert absoluter Abstand
xi-m
| x i- m |
21 -10
10
24 -7
26 -5
31 0
7
5
0
36 5
38 7
41 10
5
7
10
15
Mittlere absolute Abweichung
(durchschnittlichen Abstand ausrechnen)
Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel: 21, 24, 26, 31, 36, 38, 41
Mittelwert =31
x Abstand von x zum
absoluter Abstand
Mittelwert
| xi-m |
xi- m
21 -10
10
24 -7
7
26 -5
5
31 0
0
36 5
5
38 7
7
41 10
10
Summe =44
Durchschnittlicher Abstand
d=44/7=6,2857
16
quadratische Abweichung vom Mittelwert(Beispiel)
Alter:21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
41
40
38
38
36
33
32
31
-10
10
30
50
70
90
17
quadratische Abweichung vom Mittelwert(Abstände)
Alter:21, 22, 24, 24, 26, 29, 30, 31,31, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41
Mittelwert=
31
x
Abstand
vom
Mittelwert
Quadrat
21
21-31 = --10
100
22
22-31= --9
81
40
....
...
...
38
40
40-31 =
38
41
41-31= 10
41
9
81
100
36
33
32
31
-10
10
30
50
70
90
18
Varianz(quadratischen Abstand zum Mittelwert ermitteln)
Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel
21, 24, 26, 31, 36, 38, 41
Mittelwert =31
xi
Abstand von x
quadratischer Abstand
zum Mittelwert =xi-m (xi-m )²
21
24
-10
-7
100
49
26
31
36
-5
0
5
25
0
25
38
41
7
10
49
100
19
Varianz(Durchschnitt bilden)
Alter, Gruppe1 :vereinfachtes Beispiel
21, 24, 26, 31, 36, 38, 41
Mittelwert =31
x
Abstand von x
zum Mittelwert
xi-m
quadratischer
Abstand
(xi-m )²
21
-10
100
24
-7
49
26
-5
25
31
0
0
36
5
25
38
7
49
41
10
100
Durchschnittlicher
quadratischer
Abstand
s = 348/7 = 49,28
Summe =348
20