Transcript K*da ir regul*ro valodu klase, ko paz*st kvantu autom*ti?

Kvantu operāciju dinamika
Marats Golovkins
LU un LMT Datorzinātņu dienas
„Ratnieki”, Līgatnes novads, 2012.gada 6.-8. augusts
“Computer science applications and its relations to quantum physics”, project of the European Social Fund Nr.
2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044
Markova ķēdes
Markova ķēde ir varbūtisks process galīgu
stāvokļu kopā.
Piemēram, 2x2 laukums, kur kauliņš katrā
rūtiņā var atrasties ar noteiktu varbūtību.
I
II
1/2
1/3
III
IV
1/6
0
Kauliņš laukuma ietvaros var pārvietoties uz
augšu/leju, pa labi/pa kreisi ar vienu un to pašu
varbūtību 1/2.
2
Markova ķēdes
I
II
1/2
1/3
III
IV
Šāda procesa sākuma stāvokli var 1/6
aprakstīt ar varbūtību sadalījuma vektoru
(1/2, 1/3, 1/6, 0)
0
Savukārt pašu procesu nosaka matrica











0
1
2
1
1
1
2
2
0
0
0
0
1
1
2
2
2
0

0 

1 
2
1 

2
0 


3
Markova ķēdes
I
II
1/2
1/3
III
IV
Jautājot, ar kādu varbūtību kauliņš 1/6 0
atradīsies pirmajā laukumā pēc diviem
soļiem, atbildi var rast, divas reizes
pareizinot sākotnējā varbūtību sadalījuma
vektoru ar šo matricu:
1

 2
1
1
3
6





0







0
1
2
1
1
1
2
2
0
0
0
0
2
0
0
1
2
1
2
1
1
2
2
0











2
1
 
 4
1
1
4
4
1 

4
4
Markova ķēdes
Stohastiska matrica ir matrica, kas sastāv
no nenegatīviem elementiem, tāda, ka
katras rindiņas elementu summa ir 1.
Piemēram,

0

1
4
1

2
0
1
1
3
1
4
1
4
4
1
0
0
2
0
5 

12 
1 
4 

0 

1 
Katru Markova ķēdi apraksta stohastiska
matrica. Un otrādi, katrai stohastiskai
matricai atbilst Markova ķēde.
5
Markova ķēdes
No klasiskās Markova ķēžu teorijas ir zināms,
ja Markova ķēdi ar matricu K izpilda pietiekoši lielu
soļu daudzumu, tad
lai arī kāds nebūtu sākotnējais varbūtību sadalījums S,
tas arvien vairāk tuvinās stacionāram sadalījumam,
proti, eksistē
cn
cn
cn
c > 0, tāds, ka lim SK K  lim SK
n 
No šejienes
( lim K
n 
n 
cn
)  lim K
2
cn
n 
6
Markova ķēdes
Kas notiek kvantu operāciju gadījumā?
8
Kvantu informācija
• Klasiskais bits: 0 vai 1
• Kvantu bits: |0 + |1, kur||2 +||2 = 1.
• Klasisko bitu reģistrs (3 biti):
000 vai 001 vai 010 vai 011 vai 100 vai 101 v 110 vai 111
• Kvantu bitu reģistrs (3 biti):
1|000+2|001+3|010+4|011 +5|100+6 |101 +
+7|110 +8 |111, kur
|1|2 +|2|2 +|3|2 +|4|2 +|5|2 +|6|2 +|7|2 +|8|2 = 1.
9
Kvantu stāvokļi
• Kvantu bitu reģistrs 1|000 + 2|001 + … + 8|111
• Atbilst vektors

 1 


2


 
8 
• Kompleksi saistītais vektors:
   1
2
*
*
8 
*

• Vektoru vietā bieži izmanto arī blīvuma matricu:

 1 


2
*
    1
 
8 


*
2


*
8

  2
 1
  *
2 1




  *
 8 1
 1 2
*
2
2

 8
*
2




*
 1 8 
*
 2 8 

8
2




10
Kvantu stāvokļi, turp.
• ar varbūtību p1 : |1 = 11|000+21|001 + … + 81|111
• ar varbūtību p2 : |2 = 12|000+22|001 + … + 82|111
…
• ar varbūtību pk : |k = 1k|000+2k|001 + … + 8k|111,
kur p1 + p2 + … + pk = 1.
• Blīvuma matrica:
  p1  1  1  p 2 
2

2
   pk 
k

k
• n bitu gadījumā – 2n x 2n matrica
11
Kvantu operācijas.
  p1  1  1  p 2 
2

2
   pk 
k

k
• Jebkuru kvantu stāvokli var aprakstīt ar
atbilstošu blīvuma matricu.
• Blīvuma matricas i-tais diagonāles elements
nosaka varbūtību, ka kvantu stāvoklis pēc
mērījuma nonāk i-tajā determinētajā stāvoklī,
tāpēc visu blīvuma matricas diagonāles
elementu summa ir 1.
12
Kvantu operācijas
• Kvantu stāvokļus var mainīt izmantojot
kvantu operācijas
• :   ’
• ’ =() = V1V1*+ V2V2* + … + VsVs*
• Ja  ir n x n blīvuma matrica, tad  ir
lineāra operācija telpā ar dimensiju n2, t.i.,
to var aprakstīt kā matricu n2 x n2.
13
Kvantu operācijas
• ’ =() = V1V1*+ V2V2* + … + VsVs*
• Tā kā blīvuma matricas  diagonāles elementu
summai ir jābūt 1, kvantu operācija šo īpašību
saglabā, tāpēc arī ’ diagonāles elementu summa ir
1.
• Matemātiski šo nosacījumu apraksta
vienādojums
V1*V1+ V2*V2 + … + Vs*Vs = 1
• vispārīgā gadījumā citu ierobežojumu matricām Vi
nav
14
Kvantu operācijas
Kvantu operāciju  sauc par unitālu, ja tā
neizmaina vienības matricu, t.i.,
(I) = I
Visas populārākās kvantu operācijas ir
unitālas, piemēram, mērījuma operācija,
jebkura unitāra matrica.
15
Kvantu operācijas
Teorēma
Lai arī kāda nebūtu unitāla kvantu operācija , eksistē
augoša virkne
n1, n2, …, nk,… tāda ka lim  n   , kur
k
k
1) 2 = ;
2)  ir projekcija telpā ar dimensiju n2;
3) ja eksistē virkne m1, m2, …, mk, tāda ka
m
lim 
  ' , tad ’ = .
k
k
16
Kvantu operācijas
17
Kvantu operācijas
Ir zināms, ka šāda operācija  ir projekcijas
matrica telpā n2.
Tieši tāpat kā operācijai , arī jebkurai mērījuma
operācijai  izpildās 2 = .
Vai  ir iespējams izteikt kā mērījuma operāciju?
18
Kvantu operācijas
Teorēma.
Eksistē kvantu operācija , tāda ka 2 = , ko
nav iespējams izteikt kā mērījuma operāciju.
 1

 8
 0
 : 
 


 0

0
1


8


0


0 

0 


1 

8 
19
Paldies!