Transcript Einfache Annahmestichprobenprüfung

Textile Prüfungen
Annahmestichprobenprüfung
Prof. Dr. Voller
HN
Textile Prüfungen
Wird die Qualität eines Produktes überprüft, so geschieht dies in der Regel im
Rahmen einer Annahme-, Zwischen- oder Abnahmeprüfung durch eine zufällige
Stichprobennahme. Sie bietet gegenüber einer 100%-Prüfung folgende Vorteile:
• geringere Prüfkosten,
• weniger Bedienfehler,
• kürzere Prüfzeit, (dadurch liegt eher ein Ergebnis vor)
• weniger monotone Arbeit, (dadurch besser motiviertes Personal)
• zurückweisen fordert vom Lieferanten Qualitätssteigerung
• kontinuierliche Aufzeichnung dokumentiert Produktqualität
Demgegenüber steht das Risiko, eine gute Lieferung zurückzuweisen bzw. eine
schlechte Lieferung anzunehmen. Diese Risiken kann man mit statistischen
Methoden im wesentlichen beherrschen.
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Eine einfache Stichprobenkontrolle erfolgt nach folgendem Schema:
Lieferant und Kunde einigen sich auf den Umfang n der Stichprobe und die Anzahl
c fehlerhafter Einheiten, die sie enthalten darf. Man spricht dann von einer n-c
Prüfanweisung.
Die Lieferung wird nicht angenommen, wenn die Anzahl der fehlerhaften Teile der
Stichprobe größer als c ist.
Wie hoch ist nun die Annahmewahrscheinlichkeit ?
Einfache Stichprobenkontrollen lassen sich durch Urnenmodelle beschreiben, die
Wahrscheinlichkeit lässt sich daher mit der Binomial- bzw. der hypergeometrischen
Verteilung berechnen. In der Praxis verwendet man, falls der Stichprobenumfang n
weniger als 1/10 der Losgröße N beträgt, stets die Binomialverteilung mit p = M/N,
wobei M die Anzahl fehlerhafter Teile ist.
Beträgt also der tatsächliche Fehleranteil p, so ist die Annahmewahrc  n
scheinlichkeit
k
nk
L(p)    p (1 p)
k 0 k 
Die Funktion L(p) wird auch Annahmekennlinie oder Operationscharakteristik genannt.
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Beispiel:
n  100
c  5
k  0  c
p  0.0  0.01  0.1
n
k
n k
 p  ( 1  p)
k  n  k
l( p) 
l ( p) 

k
Annahmekennlinie oder
Operations-Charakteristik
1.000
0.999
0.985
1
l(p) > 1-
0.919
0.788
0.616
l ( p)
0.5
0.441
l(p) < 
0.291
0.180
0.105
0.058
0
0.05
p1-
p
0.1
p
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 ist das Lieferantenrisiko,  ist das Abnehmerrisiko, meist  =  = 0.1
p1- wird oft als AQL-Wert (Acceptable Quality Level = Annehmbare
Qualitätsgrenzlage) bezeichnet.
Dieser Begriff wird allerdings im Stichprobensystem der internationalen Norm
ISO 2859 weiter gefasst. Dort geht man von verschiedenen Prüfniveaus aus
(reduzierte, normale und verschärfte Prüfung) mit jeweils angepassten
Prüfanweisungen.
p heißt RQL (Rejectable Quality Level = Rückzuweisende Qualitätsgrenzlage), p0,5 heißt IQL (Indifferent Quality Level = Indifferente Qualitätslage).
Der Bereich zwischen p1- und p wird Bereich mittlerer Annahmewahrscheinlichkeit genannt, er ist umso kleiner, d.h. die Operationscharakteristik verläuft umso steiler, je größer der Stichprobenumfang ist. Je
steiler der OC-Verlauf, desto “wirksamer“ ist die Prüfanweisung.
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Neben der OC wird auch der sogenannte Durchschlupf zur Bewerten
von Prüfanweisungen herangezogen. Darunter versteht man den Restfehleranteil, der im Mittel (bezogen auf mehrere Prüflose mit gleichem
Fehleranteil) unentdeckt bleibt.
Das Vorgehen ist dabei folgendes, aus einer Lieferung von m Produkten
werden m/N Prüflose vom Umfang N ausgewählt, die den gleichen
Fehleranteil M/N haben. Die Lose werden einer n-c Prüfanweisung unterzogen. Die Annahmewahrscheinlichkeit L(p) mit p = M/N führt bei
L(p)*m/N Losen zur Annahme, bei (1– L(p))*m/N Prüflosen zur
Ablehnung. Bei den angenommenen Prüflosen werden die fehlerhaften
unter den n geprüften durch fehlerfreie ersetzt, so dass n*L(p)*m/N
Produkte fehlerfrei sind. Werden die abgelehnten Lose einer 100%Prüfung unterzogen, so sind nach entsprechendem Austausch auch
diese fehlerfrei. Unter den restlichen verbleiben im statistischen Mittel p%
fehlerhafte, also eine Restfehleranteil bzw. Durchschlupf von
m
m
p
n
(m  L(p) n  (1  L(p)) N)   L(p)(1  )p
N
N
m
N
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Ist n sehr klein im Verhältnis zu N, so wird der Durchschlupf näherungs-weise zu
p·L(p) . Er hängt damit von p ab und ist stets kleiner als p. Der Durchschlupf wird
auch als AOQ (Average Outgoing Quality) bezeichnet.
Er ist klein für sehr gute Lieferungen (kleines p) aber auch für sehr schlechte
Lieferungen, (weil dann sehr viele Lose zurückgewiesen werden). Daher wird der
AOQ mit wachsendem p zunächst steigen und dann wieder fallen. Das
zwischenzeitlich erreichte Maximum heißt AOQL (Average Outgoing Quality
Level) oder maximaler Durchschlupf. Dieser gibt also eine Obergrenze für den
maximalen "mittleren" Restfehleranteil an.
Beispiel:
Zur 100-5 Prüfanweisung
ergibt sich für großes N
(z.B. N > 10000) folgendes
Durchschlupfdiagramm:
AOQL = 0.032 für pAOQL=4.2%
0.04
AOQL
pl( p) 0.02
0
0.05
0.1
p
Für textil- und bekleidungstechnische Probleme spielt der Durchschlupf nur eine
untergeordnete Rolle, da häufig alle Stichproben zerstört sind.
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Auswahl einer Prüfanweisung
Lieferant: Die Annahmewahrscheinlichkeit soll hoch sein (mindestens
90% bei entsprechend kleinem Fehleranteil p1- im Prüflos).
Abnehmer: Ab einem bestimmten Fehleranteil p darf die Annahmewahrscheinlichkeit nicht größer als 10% sein.
Die Prüfparameter n und c sind nun so zu bestimmen, dass beide Forderungen möglichst gut erfüllt werden. Eine rechnerische Bestimmung ist sehr
aufwendig, man bestimmt die Größen entweder zeichnerisch (durch sogenannte Larson – Nomogramme), Probieren oder mit Hilfe der 2-Verteilung.
Für p1-= 2% etwa erhält man L(p) = 0.1 für n=5 und c=0 oder n=27
und c=1 sowie n=55 und c=2, n=88 und c=3 und n=122 mit c=4.
Ist p = 8%, so sind n=98, c=4 und n=82,c=3 und n=65, c=2 und n=47
und c=1 sowie n=28 bei c=0.
Die Einigung gelingt am besten bei c=3. Dann können beide mit n=82
gut leben. (Kleinster Prüfaufwand)
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Für die n-c Prüfanweisungen gilt:
Die Bedingungen L(p1-)  1- und L(p)   werden von mindestens einer
Prüfanweisung erfüllt. Diese genügt der Bedingung:
 2 (1  ,2c  1)
 2 (,2c  1)
n
2p
2p1
Für das Beispiel  =  = 0.1 und p1- = 2% sowie p = 8% ergibt sich:
n=84, c=3.
Diese Werte sind auch zutreffend, wenn der Operationscharakteristik die
hypergeometrische oder die Poisson-Verteilung zugrunde gelegt wird. Im
Falle der Poisson-Verteilung ist das kleinste n, dass der obigen
Ungleichung (für das kleinstmögliche c) genügt, der minimal mögliche
Wert.
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