Transcript Prezentácia

Geometria I
4. Prednáška
PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD.
FMFI UK, 2010
7. 4. 2015
2/15
Obsah 4. prednášky
4. Vzájomné polohy podpriestorov
4.1 Vzájomné polohy špeciálnych typov
podpriestorov
4.1.1 Vzájomná poloha dvoch nadrovín
4.1.2 Vzájomná poloha priamky a nadroviny
4.1.3 Vzájomná poloha dvoch priamok
7. 4. 2015
3/15
Vzájomné polohy podpriestorov
Definícia 4.1: Lineárne podpriestory, ktorých prienik je prázdna
množina, nazývame disjunktné. Hovoríme aj, že takého
podpriestory sa nepretínajú. Ak nie sú dva podpriestory disjunktné,
potom sú nedisjunktné (pretínajú sa, majú neprázdny prienik).
Veta 4.1: Nech , β sú lineárne podpriestory priestoru An a V() a V(β)
sú ich smerové podpriestory. Potom platia nasledovné tvrdenia:
1. Neprázdny prienik podpriestorov  a β je podpriestor, ktorého smer je
prienikom smerov V() a V(β).
2. Ak je prienik podpriestorov neprázdny   β ≠  a platí,
že V()  V(β) , tak podpriestor   β.
Veta 4.2: Podpriestory ,  sa pretínajú, práve vtedy ak, pre ľubovoľné
body A a B platí, že vektor B–AV() + V(β).
7. 4. 2015
4/15
Vzájomné polohy podpriestorov
Definícia 4.2: Lineárnym súčtom (spojením) dvoch podpriestorov U, W vektorového priestoru
V nazývame množinu U  W  u  w uU a wW. Táto množina je najmenší podpriestor
vektorového priestoru V, ktorý obsahuje podpriestory U a W.
Ozn. U  W
Veta 4.3: Pre vektorový podpriestor lineárneho súčtu podpriestorov   β platí:
V(β)=(B-A)+(V()+V(β)),
kde A a B sú ľubovoľné body.
Dôsledok 4.1: Dva lineárne podpriestory sú nedisjunktné, práve vtedy a len vtedy ak vektorový
podpriestor lineárneho súčtu sa rovná súčtu vektorových podpriestorov lineárnych podpriestorov.
Teda:   β ≠  V(β)=(V()+V(β)),
a pre dimenziu lineárneho súčtu podpriestorov platí: dim(β)=dim(V()+V(β)),
Ak sú dva lineárne podpriestory nedisjunktné, potom pre ich lineárny súčet platí:
β=M+(V()+V(β));Mβ
a pre dimenziu lineárneho súčtu platí: dim(β)=dim+dimβ-dim(β)
Dôsledok 4.2:Dva lineárne podpriestory sú disjunktné práve vtedy a len vtedy, ak pre dimenziu
lineárneho súčtu platí: dim(β)=1+dim(V()+V(β))
Veta 4.4: Pre každé dva lineárne podpriestory , β priestoru An platí: =β(β  β) dim=dimβ
7. 4. 2015
5/15
Vzájomné polohy podpriestorov
Definícia 4.3: Lineárne podpriestory , β priestoru An sa
nazývajú:
A) Rovnobežné, ak všetky smerové vektory jedného
podpriestoru sú smerovými vektormi druhého
B) Rôznobežné, ak majú spoločný aspoň jeden bod
a žiadny z podpriestorov nie je podmnožinou druhého
C) Mimobežné, ak sú disjunktné a prienik smerových
podpriestorov obsahuje len nulový vektor
D) Čiastočne rovnobežné alebo čiastočne mimobežné,
ak sú disjunktné a nie sú rovnobežné ani mimobežné.
7. 4. 2015
6/15
Vzájomné polohy podpriestorov
Veta 4.5: Pre dva rovnobežné lineárne podpriestory platí:
– Ak dim=dimβ potom alebo splývajú, alebo nemajú spoločný ani jeden bod.
– Ak dim≠dimβ potom alebo nemajú ani jeden spoločný bod, alebo jedna je
vlastnou podmnožinou druhej.
Veta 4.6: Pre všetky podpriestory  a  platí:
a)  a  sú rovnobežné  dimV()V()  min(dimV(), dimV()).
b)  a  sú rôznobežné     a dim  min(dim, dim).
c)  a  sú mimobežné     a 0  dimV()V()  min(dimV(),
dimV()).
Poznámky:
• Vzťahy sú symetrické – hovoríme o vzájomnej rovnobežnosti, rôznobežnosti,
•
•
•
...
navzájom sa vylučujú
Ak je jeden z podpriestorov časťou druhého, tak je s ním rovnobežný.
Špeciálne, splývajúce podpriestory sú navzájom rovnobežné.
Triviálny podpriestor je rovnobežný s každým podpriestorom. Nularozmerný
a jednorozmerný priestor má iba triviálne podpriestory
7. 4. 2015
7/15
Vzájomné polohy podpriestorov
Príklad 4.1: Zistite, aká je vzájomná poloha
priamok a) p, q b) p, r c) r, s, kde
p: x  3  t, y  1  t, z  2  t,
q: x  4  t, y   t, z  2  t,
r: x  y  z  5 = x  y  2z  8 = 0,
s: x  5  t, y  t, z  2  t.
Príklad 4.2: V štvorrozmernom priestore určite
vzájomnú polohu podpriestorov
• : x1-x2+3x4-4=0,2x2-x3-3x4+5=0,
• β: x1=1+2u+v, x2=1-u, x3=1+u+v, x4=1-u
7. 4. 2015
8/15
Vzájomná poloha dvoch nadrovín
Veta 4.7: Vo vzájomnej polohe nadrovín môžu nastať tieto a len tieto prípady:
1. = β
2. ||β    β = 
3. , β sú rôznobežné a dim  β =n-2
Veta 4.8: Pre nadroviny , β dané všeobecným vyjadrením v tvare:
: a1x1+...+anxn+a0=0; β: b1x1+...+bnxn+b0=0
platí:
a
A)     h  1
 b1
 a1
an 
  h 
bn 
 b1
 a1
B)        h 
 b1
a
C) , β sú rôznobežné  h  1
 b1
an a0 
 1
bn b0 
 a1
an 

1

h


bn 
 b1
 a1
an 
  h 
bn 
 b1
an a0 
  2
bn b0 
an a0 
2
bn b0 
7. 4. 2015
9/15
Vzájomná poloha dvoch nadrovín
Dôsledok 4.3: ||βh(A)=1
Dôsledok 4.4: Dve nadroviny n-rozmerného priestoru sú rovnobežné
alebo rôznobežné, pričom v druhom prípade ich prienik má dimenziu
n  2.
Dôsledok 4.5: Dve priamky v rovine sú rovnobežné alebo rôznobežné.
Ak sú rôznobežné, majú spoločný práve jeden bod (nazývame ho
priesečník).
Dôsledok 4.6: Dve rôzne priamky v rovine sú rovnobežné práve vtedy,
ak sa nepretínajú.
Dôsledok 4.7: Dve roviny v trojrozmernom priestore sú rovnobežné
alebo rôznobežné. Ak sú rôznobežné, ich prienikom je priamka
(nazývame ju priesečnica).
Dôsledok 4.8: Dve roviny v trojrozmernom priestore sú rovnobežné
práve vtedy, ak sa nepretínajú, alebo ak sú totožné.
7. 4. 2015
10/15
Vzájomná poloha priamky a nadroviny
Veta 4.9: Vo vzájomnej polohe priamky p a nadroviny  môžu nastať tieto a len tieto
prípady:
1. p
2. p||    β = 
3. p, sú rôznobežné a majú spoločný jediný bod.
Dôsledok 4.9: Priamka je s nadrovinou rovnobežná alebo rôznobežná, pričom v druhom prípade majú
spoločný práve jeden bod (nazývame ho priesečník).
Dôsledok 4.10: Priamka je rovnobežná s nadrovinou práve vtedy, keď ju nepretína, alebo keď v nej
leží.
Dôsledok 4.11: V trojrozmernom priestore je priamka s rovinou rovnobežná alebo rôznobežná, pričom
v druhom prípade majú spoločný práve jeden bod.
Dôsledok 4.12: V trojrozmernom priestore je priamka rovnobežná s rovinou práve vtedy, keď ju
nepretína, alebo keď v nej leží.
Veta 4.10: Pre vzájomnú polohu priamky p danej parametricky a nadroviny  danej
všeobecnou rovnicou platí:
1. p, sú rôznobežné p={P}  b1a1+...+bnan≠0
2. p  b1a1+...+bnan=0  b1x10+...+bnxn0=0
3. p||    β =   b1a1+...+bnan=0  b1x10+...+bnxn0≠0
Dôsledok 4.13: p||  b1a1+...+bnan=0
7. 4. 2015
11/15
Vzájomná poloha dvoch priamok
Lema: Priamky p  Pu a q  Qv majú spoločný bod práve vtedy, keď
Q  Pu,v.
Veta 4.11: Dve priamky p  A,a a q  B,b môžu mať túto a len túto
vzájomnú polohu:
1. p = q
2. p||q  p  q = 
3. p, q sú rôznobežné s jediným spoločným bodom
4. p, q sú mimobežné
Veta 4.12: Priamky p:X = A +ta, q: X = B +sb (V(p)+V(q)=[a,b]) sú:
1. rovnobežné práve vtedy, keď vektory a, b sú lineárne závislé,
2. splývajúce (pq)h(B-A,a,b)T=1
3. p||q  p  q =  h(a,b)T=1  h(B-A,a,b)T=2
4. rôznobežné h(a,b)T=2  h(B-A,a,b)T=2
5. mimobežné h(B-A,a,b)T=3
7. 4. 2015
12/15
Vzájomná poloha dvoch priamok
Dôsledok 4.14: Dve rôzne rovnobežné priamky
ležia v práve jednej rovine.
Dôsledok 4.15: Dve priamky sú rovnobežné práve
vtedy, keď sú totožné, alebo keď ležia v rovine
a nepretínajú sa.
Dôsledok 4.16: Dve rôznobežné priamky ležia
v práve jednej rovine.
Dôsledok 4.17: Dve priamky sú mimobežné práve
vtedy, keď neležia v rovine.
7. 4. 2015
13/15
Priečka mimobežiek
Definícia 4.4: Priečka dvoch podpriestorov je priamka, ktorá pretína
oba podpriestory.
Poznámka 4.6: Priamok z definície je ich nekonečne veľa. Pre priečky
dvoch mimobežiek platí, že všetky ležia v pq. Má zmysel určiť
priečku r mimobežiek p,q rovnobežnú s nejakým vektorom a:
r||aV(pq) alebo prechádzajúcu nejakým bodom M: Mr 
Mpq.
Veta 4.13:
A) Nech vektor rV(pq)=B-A,a,b  ra,b potom existuje práve
jedna priečka r mimobežiek p, q rovnobežná s vektorom r.
B) Nech bod Mpq=A,B-A,a,b  MA,a,b  rB,a,b potom
existuje práve jedna priečka r mimobežiek p, q prechádzajúca bodom
M.
Ďakujem za pozornosť
Nasleduje cvičenie...