Transcript STEREOMETRIA

STEREOMETRIA
Základné pojmy a vety Stereometrie
Šk. rok 2012/2013
Mgr. V. Bobáková
ZÁKLADNÉ POJMY A VETY STEREOMETRIE
Planimetria - geometria v rovine
Stereometria – je časť geometrie, ktorá sa zaoberá vlastnosťami
priestorových útvarov
Body – A, B, C . . .
Priamky – p, q, b, a . . .
Roviny – α, β, δ . . .
Priamka – je jednoznačne určená svojimi 2 rôznymi bodmi
Rovina – je jednoznačne určená:
a) 3 bodmi, ktoré neležia na jednej priamke,
b) priamkou a bodom, ktorý na nej neleží,
c) 2 rôznymi rovnobežnými priamkami,
d) 2 rôznobežnými priamkami.
3 rôznymi bodmi, ktoré neležia na
priamke
A
B
B
B
B
C
Priamkou a bodom, ktorý na nej
neleží
A
2 rôznymi rovnobežnými priamkami
2 rôznobežnými priamkami
Úloha č.1
Je daná kocka ABCDEFGH. Zakresli do obrázku priamky ED,
ASGH a rozhodni, či ležia v rovine ADE.
S
H
G
Z obrázku vidíme, že:
E
• ↔ ED ⊂ ↔ ADE, pretože v
F
rovine ležia body E, D
D
C
• ↔ ASGH ⊄ ↔ ADE, pretože v
rovine neleží bod SGH
A
B
Úloha č.2
Je daná kocka ABCDEFGH. Zakresli do obrázku priamky EF,
ASCG a rozhodni, či ležia v rovine ACG.
H
G
Z obrázku vidíme, že:
E
F
D
• ↔ EF
S
C
⊄ ↔ ACG, pretože v
rovine neleží bod F
• ↔ ASCG ⊂ ↔ ACG, pretože v
rovine leží bod SCG
A
B
Vzájomná poloha dvoch
priamok
rovnobežné – totožné
rovnobežné – rôzne
p
q
p=q
Ak majú nekonečne
veľa spoločných bodov
rôznobežné
Ak nemajú žiaden
spoločný bod a ležia v
jednej rovine
mimobežné
p
q
Ak majú spoločný 1 bod
a ležia v jednej rovine
p
q
Ak nemajú žiaden
spoločný bod a neležia
v jednej rovine
Úloha č.1
Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu priamok:
a./ AB, CG
b./ ASCG, BD
c./ AB, SBC SCD
Riešenie a./ AB, CG
H
G
E
Z obrázku vidíme, že:
• ↔ AB leží v prednej rovine
• ↔ CG leží v zadnej rovine
F

↔ AB, CG sú mimobežné
C
D
A
B
Riešenie b./ ASCG, BD
H
G
Z obrázku vidíme, že:
E
F
S
D
C
• ↔ BD leží v dolnej rovine
• ↔ ASCG prechádza cez kocku

↔ BD, ASCG sú mimobežné
A
B
Riešenie c./ AB, SBC SCD
H
G
Z obrázku vidíme, že:
E
• ↔ AB leží v dolnej rovine
F
D
• ↔ SBCSDC leží v dolnej rovine
S
C
S
A
B

↔ sú rôznobežné
Vzájomná poloha dvoch
rovín
rovnobežné – totožné
rovnobežné – rôzne
Ak majú nekonečne
veľa spoločných bodov
Ak nemajú žiaden
spoločný bod
rôznobežné
Ak majú spoločnú 1 priamku. Táto
priamka sa nazýva priesečnica rovín
Úloha č.1
Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu rovín:
a./ ABE, DCG
b./ ACE, HFD
Riešenie a./ ABE, DCG
H
G
E
F
• roviny sú rovnobežné
C
D
A
Z obrázku vidíme, že:
B
Riešenie b./ ACE, HFD
H
G
E
Z obrázku vidíme, že:
F
• roviny sú rôznobežné
D
A
C
p
B
• priesečnicou rovín je priamka p
Vzájomná poloha
priamky a roviny
priamka a rovina sú rovnobežné
p
Majú spoločné aspoň 2 body (priamka leží v rovine)
priamka a rovina sú rôznobežné
A
p
Ak majú spoločný práve 1 bod
Úloha č.1
Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu priamky
a roviny:
a./ SEGSBG, ABC
b./ SAHSBG, CDE
Riešenie a./ SEGSBG, ABC
H
G
SEG
Z obrázku vidíme, že:
E
• priamka a rovina sú
F
rôznobežné
SBG
D
A
C
B
Riešenie b./ SAHSBG, CDE
H
G
Z obrázku vidíme, že:
E
SAH
A
• priamka a rovina sú rovnobežné
F
SBG
D
C
B
POUŽITÉ ZDROJE
http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matematika/05_Stereometrie/1_Polohove
_vlastnosti/5105_Zakladni_vztahy_mezi_body_primkami_a_rovinami.pdf
Ďakujem za pozornosť