Transcript 3.2 Vibrace jader v krystalové mříži

krystal … N základních buněk, v buňce s atomů
 celkem 3Ns stupňů volnosti
 

Pn2
H
 U Rn
n 2M n

 0  
Rn  Rn  un
Taylorův rozvoj:



 0 

2
3
UR n   U R n  Au n  Bu n  Cu n ...
=0
Harmonická aproximace
=0
Krystal v harmonické aproximaci je soubor 3Ns (vázaných) LHO
Einstein: 3Ns LHO s frekvencí 0
U
Einstein
každý atom
v zákl. b.
g()
1
1

 3Nsωo   3ω

o
2

e
 1
eβωo
 ωo 
C V  3N A k B 

 kT  eβωo  1 2
2



U  3Ns k BT
vysoké T:
25
U
 3Nsk B
T
~ Dulong-Petit
3sNAkB = 3R
20
Cp (J/mol.K)
CV 
Cu
15
10
5
0
0
50
100
150
T (K)
200
250
300
… ok
nízké T:
eβωo
 ωo 
CV  N A k B 

kT

 eβωo  1 2
2
Einsteinovo
přiblížení


0.012
Cu
0.008
0.5
0.006
Cu
0.4
0.004
Cp (J/mol.K)
Cp /T (J/mol.K2)
0.010
0.002
0.000
0
50
experiment: CV ~ βT 3
0.3
0.2
100
0.12)
T2 (K
150
200
0.0
oscilátory jsou vázané!
0
5
10
T (K)
15
20
jednoatomová mřížka v dimenzi 1:
M
n-1

a
0
-1
un-1
M
n
u1n
a
M
n+1
2
un+1

Rx
x n0   n.a
x n  x n0   u n
F  K(x n  x n 1)  K(x n  x n 1)
pohybová rovnice Mx n  Ku n  u n 1   Ku n  u n 1 
u n  U n e it
Mun  K2u n  u n 1  u n 1 
Mω2 U n  K 2U n  U n 1  U n 1 

Mω2 U n  K 2U n  U n 1  U n 1 

Mω2  K 2  eika  eika

řešení ve tvaru rovinné vlny: U n  U o einka
K
ω  21  cos(ka) 
M
2
Disperzní zákon:
u n  U oeinka it
ωk  periodické v k
K
ka
ωk   2
sin
M
2
π π
 ;
a a

1. Brillouinova zóna
K
2 M
 /a
k
0
/a
2 / a
4 / a
periodicita:
U n  Uoeinka
k  k’
U n  U oeink'a
1  ein k'  k a
1  ei k'  k a
2π
k'  k   h,
a
hZ
hranice 1.BZ: stojatá vlna (sousední atomy mají opačnou fázi, Un= U0*(1) )
 Bragg (difrakce)
λ  2a
ω
v fáz. 
k
vgrup. 
 hranice BZ:
ω
K
 ka 
a
cos  
k
M
 2
K
ka
ωk   2
sin
M
2
vg = 0 (stojatá vlna)
 k  0:
ωk 
Ka 2 sin(ka/2)
vf 

k
M
ka/2
Ka 2
vf 
M
ω
Ka 2
vg 

cos(ka/2)
k
M
k0
Ka 2
vg 
M
ωk   v k
Ka 2
Ka
Ka
v


M
Ma
ρ
rychlost šíření zvuku v PL
dlouhovlnná limita vibrací  zvuk
E
c
ρ
dlouhovlnná limita vibrací  zvuk
u n  u x 
λ 
M
 2u x, t 
t
2
 Ku(x)  u(x  a)   Ku(x)  u(x  a) 
u x  a   u x  u x   u x  a 

2
a
a
 Ka
a
 2u
Ka 2  2u

2
M x 2
t
2
pro zvuk: u tt  v u xx  0
Ka 2
v 
M
2
dvouatomová mřížka v dimenzi 1:
M2
M1
M1
M2
a
u n výchylky z rovnovážné polohy v n
pohybové rovnice
M1un  K2u n  vn  vn -1 
M 2vn  K2v n  u n 1  u n 
řešení ve tvaru:
u n  U n e it  U oeinka e it
- M1ω2 U0  2KU 0  KV0 (1  eika )
- M 2ω2V0  2KV0  KU 0 (1  eika )
v n  Voeinka e it
- K(1  e ika )
2K - M1ω2
- K(1  e
ika
2K - M 2ω
)
2
0
M1M 2ω4  2K(M1  M 2 )ω2  2K 2 1  cos(ka)   0

M1 = M2
K1  K2
2K(M1  M1 )
1
2
2(K1  K 2 )/M
2K/M 2
2K1/M
2K/M 1
2K 2 /M
k
0
 k  0:
un
M2

vn
M1
optická větev
/a
u n  vn
akustická větev
nekonečný  konečný vzorek:
N atomů
okrajové podmínky:
 uN
= 0 (ukotvím)

Born-Karman periodické

.... jiné
u n  N  u n  eikaN  1
2π
k
 p,
aN
N atomů,
vázané kmity
p  0,  1,  2,.....
N nezávislých vibrací
k,  (k)
π
π
 k
a
a
π 2π
π
 
p
a aN
a

N
N
p
2
2
na jedno k připadá v r. p.
Δk 
2π 2π

aN L

délka řetízku
krystal ve 3D
objem  (= Lx Ly Lz)
N atomů ( Nx Ny Nz )
 /a
objem buňky Ωo 
Ω
N
/a
k
(....= a3 )
3N ( -6 ) stupňů volnosti ... 3N nezávislých vibrací


k  k1, k 2 , k 3 , ω(k)
 2π 3 2π 3 1 2π 3
Δk 


Ω
NΩo N Ωo

3 větve kmitového spektra
k je N

ωb k , b  1,2,3

L
T1, T2
k
0
BZ
obecně
krystal:
s atomů v primitivní b.

3 akustické
1 LA, 2TA
k
0
3s větví (k)
/a
3s-3 optické
(s-1)LO
(2s-2)TO
kvantování: každý kmit (LHO) se kvantuje samostatně

H  
H
 bk
b k
kvantum energie kmitů mřížky: FONON


1n 
E  

ω
(
k
)
b
bk

2
b k
E 

kvantové číslo; mód obsazen n fonony
βE
Ee

βE
e

 
stav PL .... n bk
 1
 1

1








ω
k

n




ωb k  

E  
E bk  

b
bk 




β

ω
(
k
)
2


 2 e b  1 b k
b k
b k
1
E
na 1 atom:
N
na 1 mol: N A E
N
T  .......β  0
1
1
E   k BT
N
N b k
1
3Nk BT  3k BT
N
(Dulong - Petit)
fonony jako kvazičástice:
oscilátor
fonony
základní stav
1
ω o
2
excitované stavy
ωo 12  n

pružný (elastický) rozptyl
 

kf - ki  B
E f  Ei
nejsou fonony

 
n bq
stav PL .... n bq
n
nepružný rozptyl

  
kf  ki  B  q
E f  Ei  ω




k f  k i  B  q
 2k f2  2k i2

 ω
2M n 2M n

kf

ki
fonon
n
Brockhouse, Chalk River (1964)
S (Q,) (mbarn/meV.sr.fu)
15
Ei = 70 meV
T=6K
10
5
0
0
10
20
30
40
energy transfer (meV)
50
fonon: kvazičástice
jen uvnitř krystalu, interaguje jako částice
silně interagující systém jader
systém neinteragujících kvantových kvazičástic
kvazičástice:
fonon
elastická vlna
plasmon
kolektivní elektronová vlna
magnon
magnetizační vlna
polaron
elektron + elastická deformace
exciton
polarizační vlna
 ωbk 
1
eωbk kT
CV   k B 

2
N b k
 k BT  eωbk kT  1
2
U
CV 
T V


 Einsteinovo přiblížení

ωb (k )  ωE ,  bk
2
 ωE 
eβωE

1 mol (1-atomová mřížka) C V  3N A k B 
2
 k BT  eβωE  1

 θE 
C v  3Rf E  
T
f E x   x
2
ex
(e x  1) 2
ω E
Einsteinova teplota θ E 
kB

N
poznámka:
1
Ω 2π 3 f k 
f k  3
f k   
 Ωo 
d k

3
3
N k
N k Ω 2π 
BZ 2π 
1
CV   f(k)
N b k
 Debyeovo přiblížení
ωb k   c k


BZ
 bk
kD
ω3D
 4 3
N
πk D  2 3
33
6π c
(2 )

0
hustota stavů
g( ω)dω 
pro 1 atom, 3 větve:
T
CV  9k B  
 θD 
3 θ T
D
x 4e x
 e
0
x

1
2
dx
2 3
N6π
c
ω3D 

ω dω
3
Ω
(2π )
ω
x
k BT
θ D ω D
xD 

T k BT
3
d
ω
k
T 
CV  3k B
T0
 T 
C V  234 k B  
 θD 
Dulong-Petit
20
T 
na 1 mol: C V  234 N A k B  
 θD 
3
25
Au θ D  165K
20
Cp (J/mol.K)
15
2
Cp/T (mJ/mol.K )
3
10
15
Au
10
Cu
Cu θ D  343K
5
5
0
0
10
20
30
T2 (K2)
0
40 0
50 50
60100
150
T (K)
200
250
300
g (
Einsteinův model
q) = E
θE 
tzv. Einsteinova teplota
dobré např. pro optické
fonony

g (

 E
kB
jediná frekvence
Debyeův model
ωk   c k
θD 
D

 D
kB
tzv. Debyeova teplota
dobré např. pro akusticé
fonony
diamant
baze =
2 stejné atomy
 6 větví
další konkrétní případ:
LuNiAl…. 3 atomy  n = 3
3*n = 9 fononových vetví  3 akustické a 6 optických
aproximace exp. dat pomocí 3 parametrů, každý popisuje 3 fon. větve
LuNiAl
80
Measurement
Electrons
Debye
Einstein 1
Einstein 2
Total
70
Cp [J/mole.K]
60
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
T [K]
200
250
300
Cp (J/mol.K)
80
9R
60
NpRhAl
40
20
0
0
50
100
150
T (K)
200
250
300
2
9
a
VmT
poznámka: vzrůst nad Dulong-Petit:
C p  CV 
k
- další příspěvky (vodivostní elektrony)
- Cp - CV
- anharmonicita
a ... lineární roztažnost,
Vm … mol. objem
k … isoterm. stlačitelnost
1  V 
a 

V  T  p
k-
1  V 


V  p T
- neekvidistantně rozdělené vibrační hladiny u molekul
- „zakázané“ vibračnípřechody v molekulách vody  barva vody
- měrné teplo u vyšších teplot překračuje klasickou limitu (Dulong-Petit)
- vícefononové procesy
- tepelná roztažnost
Ux   U0  12 βx 2  13 γx 3...
x

xe  U(x)/kT
-
  U(x)/kT
e
-



γ
.......
x  2 k BT
β
Brillouinovy zóny