Transcript 4.4 Elektronová struktura PL

 kovalentní vazba ... sdílené elektrony (H2)
E K  E(Rα )   Eatom
α
α
 iontová vazba (NaCl)
Na
+ 5.14 eV
Cl
+ e-
Na+
+
Cl-
Na+
Cl-
+
NaCl
e-
+ 3.61 eV
Na+ Clkrystal
+ 7.9 eV
G. Schoknecht, Z. Naturforschung 1957
 nevznikne vazba (energeticky nevýhodné) (He)
 vodíková vazba
 Van der Waalsova vazba
(indukované dipóly)
U   A6  B12
R
 kovová vazba ... vodivostní elektrony
R
Ge4+
Ge4+
Ga3+
As5+
Ge4+
Ge4+
As5+
Ga3+
Ca2+
Se6+
K+
Cl7+
Se6+
Ca2+
Cl7+
K+
1897: J.J. Thomson - elektron jako částice
1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů
Drudeho model
 elektrony se mezi srážkami pohybují volně
(není e-e interakce a interakce s kladným zbytkem)
-eZv
-e(Z-Zv)
eZ
 neustálé srážky (s jádry)
- změny rychlosti elektronů
 pravděpodobnost srážky ~ 1/
( = doba mezi srážkami)
 tepelná rovnováha díky srážkám
(rychlost e- daná teplotou v místě srážky)
kov: valenční elektrony
 vodivostní elektrony
el. vodivost, Ohmův zákon, Hallův jev
vztah el. a tepelné vodivosti (Wiedemann-Franz)
měrné teplo
C  32 Nk B
κ
 CV mv 2
σ
Sommerfeldův model
elektronový plyn kvantově ( měrné teplo)
2.0
M-B
M-B rozdělení
f(E)  konst. e-E/kT
f(E)
1.5
F-D
1.0
T = 300 K
(TF = 50 000 K)
0.5
kvantová teorie
0.0
0
Fermi-Diracovo rozdělení
f(E) 
10000
20000
30000
40000
50000
60000
E/kB (K)
1
e
(Eμ)/kT
1
1 000 K
10 000 K
T = 0 K: chemický potenciál  = EF
0.8
f(E)
Sommerfeld
(aplikace pro elektronový plyn)
5 000 K
1.0
T = 20 000 K
0.6
0.4
(TF = 50 000 K)
0.2
0.0
0
20000
40000
E/kB (K)
60000
80000
elektronový plyn (bez e-e interakce a interakce s ionty)
3D: N elektronů v objemu V ( = LxLxL)
  2   2
 2  2     2




ψ(
r
)

Δψ(
r
)

E
ψ(
r)
2
2
2


2m  x
2m
y z 
okrajové podmínky: (Born-Karman)
a pro y, z
ψ(x  L, y, z)  ψ(x, y, z)
ik x L
e
ik y L
e
ik z L
e
kx 
1
2π
nx
L

1 ikr

ψk ( r ) 
e
V
 2k 2
E(k) 
2m


p  k
, y, z
3

 2π 
na jedno k připadá objem  
L
obsazené stavy: koule o poloměru kF
N
4 πk3
F
3
V
(2π )
2
3
Fermiho plocha
V
3π
3
k
2 F
1/ 3
spin
N

k F   3π 2 
V

kF
obsazené
stavy
neobsazené
stavy
 2 k 2F e'2
Fermiho energie E F 

(a 0 k F ) 2
2m
2a 0
vF 
Li
N/V (cm-3) EF (eV) TF (K) vF (ms-1)
4.7 1022
4.72
54 800 1.29 106
Al
18.1 1022 11.63
3N
g(E F ) 
2E F
k, k  dk : dN  2 * 4π k 2dk
1/2
E
g(E)
3/2
E
TF  F
kB
135 000 2.02 106
hustota stavů:
dN  V  2m 
g(E) 
2 2 
dE 2π   

kF
m
V  2m 
 2 2 
2π   
~kT
EF
E
3/2
V
8π3
E1/2 dE
tepelné vlastnosti
stručně:
T
U  N k BT
TF

EF
0
0
U   E g(E)f(E) dE 

 E g(E)dE
EF N  EF  g(E)f(E) dE
0
Cel  13 π 2g(E F )k 2BT
volné elektrony:
Cel 
1 π 2 Nk k BT
B
2
EF
Cel 
U
T
T
 Nk B
 Nk 2B
 g(E F )k 2BT
T
TF
EF

U
f
Cel 
  E g(E) dE
T 0
T

N
f
0
E F   E F g(E) dE
T
T
0

U
f
Cel 
  (E - E F ) g(E) dE
T 0
T
f
 0 pro E  E F
kT/E F  0.01
T
μ  EF

f
Cel  g(E F )  (E - E F )
dE
T
0
T  θD
60
β
Cp/T (mJ/mol.K2)
50
γ
40
CV  γT  βT3
LuNiAl
CV / T  γ  βT 2
30
Au
20
volné elektrony X reálné kovy
10
Cu
0
0
20
40
60
80
100
efektivní hmotnost m*
T2 (K2)
 (mJmol-1K-2):
Li Na K Fe Mn Cu Zn Ag Au Al Ga
volné e. 0.8 1.1 1.7 0.6 0.6 0.5 0.8 0.6 0.6 0.9 1.0
experiment 1.6 1.4 2.1 4.6 15.2 0.7 0.6 0.6 0.7 1.3 0.6
m * γexp

me γ v.e.
kovy x polovodiče x izolátory
Na: 1s22s22p63s1
Hallův jev: záporné i kladné náboje
jiné modely (téměř volných elektronů, těsné vazby, ...)
volné elektrony
+ slabý vliv periodického potenciálu zbytku iontů
  2
 



Δ  U( r ) ψ(r )  E ψ(r )
 2m



 

U( r  R)  U( r)
(+ Born-Karmanovy okrajové podmínky)
1s
2p
3s
2s
Blochův teorém
řešení SR s periodickým potenciálem má tvar:

ikr


ψk (r)  u k (r)e
 

u k ( r  R)  u k ( r )
•
Blochova funkce
k lze vzít jen z 1.BZ:
  
k'  k  B
e
 
iBR

 
 
  ikr ikR
ψk (r  R)  u k (r  R)e e
 
 

ikR
ψk (r  R)  e ψk (r)
1

ψnk ( r )

E n (k)
•
 pásová struktura
•
 dω 1

rychlost: vn (k) 
 k E n (k)
dk 
x Drude
pásová struktura:
redukované schema
1D volný elektron:
E
k
-/a
periodický potenciál
/a
Braggova reflexe elektronové vlny
 2
k  k  B
2
B
nπ
1D : k    
2
a
1D:
postupná vlna eikx , e-ikx
stojatá vlna
ρ  konst.


 konst.eiπx/a  e-iπx/a 
ψ  konst. eikx  e-ikx

2
 cos2 (x/a )

2
 sin 2 (x/a )
ρ ψ
ρ ψ
snížení potenciální energie
U
zvýšení potenciální energie
zakázaný pás
3D:
 2k 2
E k(BZ) 
 UB
2m
postupná vlna


2

2
1 pás  N hodnot k, 2N stavů
N primitivních b.
Si: (Ne)3s23p2
struktura diamantu
(2 atomy v p.b.)
8 valenčních e-
pásy se mohou překrývat!
E2  E1  ΔE

 
k 2  k1  B
k 2  k1
rozdělení PL podle zaplnění pásů
E
izolátor
kov
polokov
polovodič
Polovodiče
příměsová vodivost
akceptory
donory
vlastní vodivost
vodivostní pás
Eg
valenční pás
Si
vodivostní pás
vodivostní pás
valenční pás
valenční pás
polovodiče typu n
polovodiče typu p
Si + P, As
Si + B, Ga
E d,a 
e'4 m *
2 2ε
efektivní hmotnost:
reakce na vnější pole pro elektron v krystalu:
F
 1

vn (k)   k E n (k)

k
t
v 1  2E
 2 2F
t  k
2
v 1  E k

t  k 2 t
1
1  2E
 2 2
m *  k
.... souvisí se zakřivením pásu E(k)
anizotropie
1  2E
 1 

  2
 m *  xy  k x k y
v x  1 

 Fy
t  m *  xy
Fermiho plocha
neobsazené stavy
plocha konstantní energie EF v k-prostoru
obsazené stavy
tvar F.p.
Cu (fcc)
Al (fcc)
elektrické vlastnosti kovu
Sc (hcp)
pozn.

 
 
V
V

 3  F(k)dk
 F(k)  3  F(k)Δk Δk

0
8π k
8π
k



iB r
U( r )   U Be
B