Transcript T. Bunčić: Matematička teorija konsonantnosti u muzici (2010)

Matematička teorija
konsonantnosti u muzici
Tatjana Bunčić, 200/08
Kako je moguće da se matematički
način razmišljanja može upotrebiti
u muzici?
Šta je zvuk?
Zvuk je mehanički talas koji
registrujemo čulom sluha.
Nastaje oscilovanjem nekog tela,
zvučnog izvora, u elastičnoj sredini.
Oscilatorno kretanje je specijalna
vrsta periodičnog kretanja, koje se
vrši uvek po istoj putanji kroz jednu
ravnotežnu tačku.
Karakteristike oscilatornog kretanja
Amplituda je rastojanje između ravnotežnog
položaja i najvećeg udaljenja do kojeg je telo stiglo
pri oscilatornom kretanju.
Jačina zvuka određena je energijom koja je
preneta zvučnom izvoru.
Ljudsko uho može da čuje zvuke jačine od 5dB do
130 dB
Frekvencija ili učestalost je broj oscilacija u
sekundi.
Ljudsko uho može da čuje zvuke frtekvencije od
16 Hz do 20 000 Hz.
Karakteristike tonova
Intenzitet tona zavisi od jačine zvuka.
Visina tona zavisi od frekvencije
zvučnog talasa.
Boja zavisi od spektra.
Trajanje je dužina vremena za koje se
čuje ton.
Harmonijsko oscilovanje
Prosto harmonijsko oscilovanje je
kretanje u kome je položaj tela
sinusna funkcija vremena.
Furijerova (harmonska) analiza
Furijer (1768-1830. godine)
Zašto baš sinusna funkcija?
Struktura ljudskog uha
Spoljašnje uho-ušna školjka i spoljašnji slušni
kanal
Srednje uho-bubna opna, slušne koščice (čekić,
nakovanj i uzengija), Eustahijeva tuba
Unutrašnje uho- fenestra ovalis, vestibularni
lavirint (polukružni kanalići i vestibulum), kohleja,
Kortijev organ, bazilarna membrana, slušni
receptori, slušni nerv
Prag provodljivosti bazilarne membrane-kreće se
između cele note i male terce, a za male
frekvencije se povećava do velike terce
Muzički intervali
Interval u muzici predstavlja razmak
izmađu dva tona sa izuzetkom čiste prime
kod koje su oba tona iste visine.
Osnovna podela intervala je harmonske,
kod kojih oba tona zvuče istovremeno, i na
melodijske, kod kojih se dva tona čuju
jedan za drugim.
Podela intervala po veličini: prima,
sekunda, terca, kvarta, kvinta, seksta,
septima, oktava
Podela intervala po vrsti
čisti, koji mogu biti prima, kvarta,
kvinta i oktava,
veliki i mali, koji mogu biti sekunda,
terca, seksta i septima,
umanjeni, koji mogu biti svi intervali
osim prime,
prekomerni, koji mogu biti svi
intervali.
Muzička skala
Muzička skala je niz više uzastopnih
tonova koji se penju od jednog tona
do drugog, kao po nekoj lestvici.
Dijatonske skale su sastavljene od
tonova jedne oktave koju čini 12
polustepena.
durska (jonska) i molska (eolska)
skala
Konsonantnost i disonantnost
Konsonantnost i disonantnost se odnose
na istovremeno zvučanje dva tona, pri
čemu je disonantnost osećaj neprijatnosti,
napetosti ili nelagode prilikom slušanja
određenih tonova.
Danas se uzimaju pravila klasične muzike
za određenje konsonantnosti i
disonantnosti intervala, a prema njima:
konsonantni su svi čisti intervali, velika i mala
terca i seksta, a
disonantni svi smanjeni, povećani intervali,
velika i mala sekunda i septima.
Istorija pojma konsonantnosti i
disonantnosti
Od antičkih Grka do 9. veka n.e – melodijski kontekst
Između 900. i 1300. g.n.e - terce i sekste su smatrane
disonantnima
Između 1300. i 1700. g.n.e - dolazi do preokreta ka posmatranju
istovremenog zvučanja nota zavisno od muzičkog konteksta, tako
da su iste note mogle biti smatrane konsonantnim u jednom
kontekstu, a disonantnim u drugom. Skup konsonantih intervala je
proširen i uključuje terce i sekste.
U osamnaestom veku, uvodi se pojam osnovnog korena i tada je
pojedinačna nota konsonantna ili disonantna po njenom odnosu
sa korenom.
U devetnaestom veku, Helmholc se vraća kvalitetu zvuka
proizvedenog pomoću dva istovremena tona, ali daje objašnjenje
pomoću udara između viših harmonika zvuka. Helmholcovo
objašnjenje je postavljeno na čvršću osnovu koristeći ideje
zasnovane na pragu provodljivosti bazilarne membrane, naročito
u radu Plompa i Levelta (1965).
Pitagora i pitagorejci
Zakon malih brojeva
“muzika nebeskih tela”
Koren iz 2
Pitagorejska skala
Kvintni krug
Jednako temperovana skala
Jedno od prvih objašnjenja zakona
malih brojeva dao je Galileo Galilej
(1564-1642. godine).
Kompleksni tonovi
Ljudsko uho radi kao Furijerov analizator,
odnosno razdvaja kompleksan ton na
spektar prostih sinusnih talasa.
Boja tona zavisi od tog spektra frekvencija,
a kada ljudsko uho prepozna zvuk violine,
klavira ili glas određene osobe, tada je ono
detektovalo specifični spektar od koga
zavisi boja tonova svakog instrumenta i
ljudskog glasa.
Sekundarne frekvencije
Komponenta zvuka sa frekvencijom f
naziva se fundamentalna frekvencija
ili osnovni ton.
Komponenta sa frekvencijom mf m-ti
harmonik ili (m-1).-vi gornji ton.
Priroda žičanih i duvačkih
instrumenata je da proizvode
frekvencije koje su celobrojni umnošci
osnovne. Za udaraljke to ne važi.
Različito pojmljenje konsonantnog i
disonantnog u različitim kulturama
Čini se da su skale koje se koriste u muzici
nekih istočnjačkih naroda u kontradikciji sa
zakonom malih brojeva.
Helmholcovo objašnjenje
konsonantnosti i disonantnosti
Ramo (1683-1764),
Sordž (1703-1778),
Helmholc (1821-1894).
Konstruktivna i destruktivna interferencija talasa
Rezonantni udari
Prosto harmonijsko oscilovanje-”brzi udari”, “spori udari”,
“dva tona”
Kompleksni tonovi: ako dodamo “disonantnosti” među sve
parove alikvotnih tonova svih intervala, dobićemo krivu
disonantnosti.
Alikvotni tonovi su celobrojni umnošci osnovnog –kriva
disonantnosti ima minimume kod većine pitagorejskih
intervala
Alikvotni tonovi NISU celobrojni umnošci osnovnog –kriva
disonantnosti NEMA minimume kod većine pitagorejskih
intervala
Kombinacija tonova
Sordž (1744.), Ramo (1753), Tartini(1714): Kada
su dve glasne note sa različitim frekvencijama,
odsvirane zajedno, čuje se nota čija je frekvencija
jednaka razlici pomenute dve.
Tartinijevi tonovi
Helmholc je 1856. otkrio postojanje još jedne,
slabije note čija je frekvencija jednaka zbiru
pomenute dve, , ali je tu notu teško opaziti zbog
efekta maskiranja, koji je Helmholc prevideo.
Zajedničko ime i za zbir i za razliku ove dve
frekvencije je kombinacija tonova.
Efekat maskiranja
Do efekta maskiranja dolazi kada se
jave dva zvuka bliskih frekvencija, ali
tako da je jedan većeg intenziteta od
drugog.
Zbog efekta maskiranja uopšte
nećemo čuti drugi, tiši zvuk.
Efekat maskiranja ima svoju primenu
u tehnici.
Kombinacija tonova nije rezultat
rezonantnih udara
Ne čujemo zvuk koji odgovara frekvenciji
rezonantnih udara kada čujemo udare, jer
na bazilarnoj nema mesta gde bi se takva
frekvencija mogla opaziti.
Kada preko slušalica na jedno uho čujemo
zvuk jedne frekvencije, a na drugo uho
druge frekvencije, čujemo rezonantne
udare, dok se kombinacija tonova ne čuje.
Helmholcovo objašnjenje
kombinacije tonova
Zasnovano je na nelinearnostima nekih delova slušnog
aparata.
Kvadratne i kubne nelinearnosti
Helmholc je smatrao da nelinearnosti u uhu dovode do
distorzije u srednjem uhu, a delom i na bubnoj opni.
Distorzija je promena frekvencije prilikom prenošenja ili
prostiranja zvuka kroz aparature.
Merenja, koja su sproveli 1967. Guinan i Pik, pokazuju da
nelinearnosti u strukturi uha nisu dovoljne da bi se objasnila
pojava kombinacije tonova.
Oni poreklo distorzije, odgovorne za nastanak kubnih
nelinearnosti, pripisuju psihofizičkoj spregi koja predstavlja
deo normalne slušne funkcije.
Virtuelna visina
Šonten
Ako je uho istovremeno izloženo zvucima frekvencije od
1800 Hz, 2000 Hz i 2200 Hz, tada se čuje ton frekvencije
200 Hz koji predstavlja “izgubljen osnovni ton” i koji bi
mogao biti kombinacija tonova.
Međutim, ako je uho izloženo frekvencijama od 1840 Hz,
2040 Hz i 2240 Hz, po Helmholcovoj teoriji trebalo bi da se
čuje ton frekvencije 200 Hz. U stvarnosti čuje se ton
frekvencije 204 Hz.
Volajzer je 1969. odredio algoritam za određivanje
izgubljenog osnovnog tona.
Liklajder (1915-1990) je pokazao da razlika tonova ne može
biti maskirana zvucima bliskih frekvencija, a to bi bilo
moguće da je Helmholcova teorija tačna.
Plomp i Leveltovi eksperimenti
Na skali od 0 do 1, gde je 0
disonantno, a 1 konsonantno, ljudi su
izražavali svoje lične osećaje za
konsonantnost, odnosno
disonantnost.
Aproksimacija Plomp-Leveltovih kriva
Veštački spektri
Menjajući neke alikvote, možemo da
učinimo da skoro svaki interval zvuči
konsonantno.
Pirs (1910-2002.) je dizajnirao spektar
pogodan za jednako temperovanu
skalu sa osam nota oktave.
Primer u kom su napravljene četiri
različite verzije četvrtog Bahovog
korala.
Muzički paradoksi
Šepardova skala
Triton paradoks
KRAJ