Transcript Razlomci_u_nastavi_matematike

Razlomci u nastavi
matematike
u osnovnoj školi
Stručni skup za učitelje matematike
Varaždin, 29. lipnja. 2011.
Sanja Stilinović, prof.
učitelj savjetnik
5. razred
1. Uvođenje pojma
Cilj: osvijestiti potrebu za uvođenjem
brojeva koji označavaju dio cjeline
Aktivnosti za učenike:
navesti primjere iz svakodnevnog života:
• pola kruha
• četvrtina Quattro sladoleda
• petina čokolade
• pola plaće ide na režije
• trećina perlica na ogrlici su biserne
• za kolač treba „frtalj kile” malina
• baka kaže sad je „trifrtalja šest”
• pet dvadesetčetvrtina razreda ide u glazbenu
- učenici nemaju poteškoća u navođenju primjera iz
svakodnevnog života
- uočavaju vezu računske operacije dijeljenja i razlomaka
- u uvodnim primjerima navode i razlomke kojima je brojnik
različit od 1
1
svaki dio čini 10 pravokutnika
narančastih dijelova ima 4
narančasto je obojano
4
10
pravokutnika
- potrebno je iskoristiti taj intuitivni nivo
- međutim,
4
10
 4 : 10
dakle 4 cjeline dijelimo na 10 dijelova
Cilj: Uočiti da razlomak kojemu je brojnik različit od 1 možemo
interpretirati na dva načina
Aktivnosti za učenike:
Usporediti količinu čokolade koje će dobiti jedno dijete u
primjeru ravnopravne podjele 3 čokolade na 5 prijatelja i količinu
čokolade koje dobije dijete ako čokoladu podijeli na pet jednakih
dijelova te uzme 3 takva dijela
3
5
Učenici povezuju razlomke s računskom operacijom dijeljenja
Pitanje:
- što je s dijeljenjem bez ostatka
Cilj: usvojiti pojam prividni razlomak
Aktivnosti za učenike:
Na praktičnom primjeru uočiti vezu prirodnih brojeva i razlomaka
U četiri kamiona treba ukrcati 12 tona tereta
tako da u svakom kamionu bude jednaka količina
tereta. Koliko će se tereta ukrcati u svaki kamion?
12 : 4 
12
4
12
4
 12 : 4  3
12
4
3
- ovakve zadatke učenici rješavaju bez poteškoća no zadatak:
zapiši broj 7 kao razlomak s nazivnikom 3, većina učenika ne
zna riješiti
- potrebno je zadati više praktičnih zadataka koje izmjenjujemo
sa zadacima tog tipa
- primjer zadatka otvorenog tipa:
Napiši zadatak u kojemu koristiš prividni razlomak, a odnosi se
na sliku:
2. Dekadski razlomci
- učenici imaju poteškoća u razlikovanju decimalnog broja i
decimalnog zapisa razlomka (8. razred)
- važno: svaki decimalan broj može se zapisati u obliku
dekadskog razlomka
- zapisivanje decimalnih brojeva u obliku dekadskog razlomka
- zapisivanje dekadskog razlomka u obliku decimalnog broja
- postotak
1
 1%
100
0 .0 1  1 %
postotak
eng. percent
- česti su problemi s mjernim jedinicama
mjerne jedinice:
4.139 m
4. 1 3 9  4 
1
10

3
1 00

9
100 0
4.139 m  4 m 1 d m 3 cm 9 m m
6. razred
1. Uspoređivanje razlomaka različitih nazivnika
Učeničke aktivnosti:
korištenjem različitih modela zaključiti da razlomke treba
proširivanjem ili skraćivanjem svesti na zajednički nazivnik
Zadatak 1:
Tomislavova kuća udaljena je od autobusne stanice
željezničke stanice
13
20
14
25
km, a od
km. Je li Tomislavovoj kući bliža autobusna ili
željeznička stanica?
1
25
14
25
km =
1
od 1000 m = 40 m
25
km = 560 m
1
20
13
km =
1
od 1000 m = 50 m
20
km = 650 m
20
- učenici zaključuju: bliža je autobusna stanica jer je 560 m < 650 m
Zadatak 2:
Prikaži crtežom razlomke te ih poredaj po veličini od najmanjeg
5 3 2
, ,
6 4 3
3
5
6

10

9
4
12
2
8
12
3

12
Zadatak 3:
U 6.b razrednom odjelu
5
6
učenika se bavi sportom, a
6
8
učenika
ide u školu stranih jezika. Ako je u 6.b 24 učenika što možeš reći o
odnosu broja sportaša i broja učenika koji uče strane jezike?
6
- dio učenika uočava:
5
od 24 = 18 u či jezike
8
od 24 = 20 sportaša
pa je sportaša više
6
5
- dio učenika uočava

20
6 24
zaključuju da je manje onih
koji uče strane jezike
,
6
8

18
24
2. Množenje razlomaka
Učeničke aktivnosti:
korištenjem različitih modela otkriti pravilo za množenje
razlomaka
Zadatak 1:
3
U svakoj od 3 boce nalazi se l tekućine. Koliko je ukupno litara
4
tekućine u tim bocama?
3
3

4
3
4

3
4

3

4
9
4
litara
3
3
4

9
4
- ovaj model rješavanja nije prikladan za zadatke u kojima treba
izračunati:
3
4
 3 ili
3 3

4 5
Zadatak 2:
Izračunaj površinu pravokutnika čije stranice imaju duljine
3
m i 3 m.
4
3
m  75 cm
3m
4
P  75  300
P  22 500 cm
22 500 cm
2

2
22500
10000
3
4
3 
9
4
m
2

9
4
3
m
2
4
m
• Zadatak 3:
3 3
Prikaži crtežom  i odredi umnožak.
4 5
3 3
9
 
4 5 20
3. Dijeljenje razlomaka
Učeničke aktivnosti:
Odgovarajućim modelom objasniti smisao dijeljenja s razlomkom
- model površine nije odgovarajući
- 10 :
1
2
interpretiramo:
koliko je potrebno boca od pola litre
da se u njih rastoči 10 litara vode
1
je d v a puta m anje od 1
2
1
je pe t puta m anje o d
10
1
2
-učenici trebaju uočiti činjenicu:
koliko puta smanjimo djeljenik toliko se puta poveća količnik
10 : 10  1
10 :10  1
10 : 5  2
10 : 5  2
10 : 1  10
10 :1  10
1
1
10 :
10 :

10 :
2
2
1
1
10

10 :
 10  2  20
10
 20  5  100
10 :
1
 20  10  2
2
10 :
1
10
 100  10 10
1 1
1 :
2 4
interpretiramo:
- koliko je čaša od četvrtine litre potrebno da se u njih rastoči
litra i pol soka
4. Brojevni izrazi
- nakon obrade linearnih jednadžbi s
racionalnim koeficijentima učenici često
griješe u rješavanju brojevnih izraza
- primjenjuju tvrdnju:
Iz a = b slijedi a · c = b · c
- ukoliko znak jednakosti stavimo na
početak, takve pogreške se ne javljaju
7

3
12

5
19

30
11

6
70 – 72 + 19 – 55 =
– 38
7

12
3

5

19
30

11
6
70  72  19  55
30

38
30
· 30
7. razred
1. Koeficijent proporcionalnosti
- uvođenjem proporcionalnosti pomoću razmjera i korištenjem
strelica učenici imaju poteškoća u rješavanju zadataka:
4.2 kg deterdženta košta 65,10 kn, a 3.6 kg tog istog deterdženta
košta 57,60 kn. Što je povoljnije?
- postavljaju shemu koja nema smisla i ne vodi rješenju
4.2
65.10
3.6
57.60
- uvođenjem koeficijenta proporcionalnosti i njegovom
interpretacijom (cijena jednog kilograma) zaključuju:
cijena kilograma u prvom slučaju je 15,50 kn
cijena kilograma u drugom slučaju je 16,00 kn
Povoljnije je kupiti 4.2 kg tog deterdženta.
Cilj:
uočiti odnos proporcionalnih veličina
Aktivnosti za učenike:
rješavanjem zadatka doći do zaključka da su omjeri vrijednosti
veličina uvijek jednaki
Zadatak:
Dana je tablica potrošnje vode jedne stambene zgrade za prvih
šest mjeseci. Odredi omjer cijene i količine potrošene vode i
zapiši svoja zapažanja te interpretiraj vrijednost tog omjera
mjesec
siječanj veljača ožujak travanj svibanj lipanj
količina vode 92 m3
90 m3
98 m3 96 m3 104 m3 108 m3
cijena
1242 kn 1215 kn 1323 kn 1296 kn 1404 kn 1458 kn
omjer cijene i 1242  13.5 1215  13.5 1323  13.5 1296  13.5 1404  13.5 1458  13.5
92
90
98
96
108
104
količine
Zaključak:
- omjer cijene i količine je uvijek isti (ekvivalentni razlomci)
cije n a
ko ličin a
-
 1 3 .5
cijena = 13.5 · količina
13,50 kn je jedinična cijena tj. cijena 1 m3 vode
ova zgrada više vode troši ljeti nego zimi, što je logično
veljača je najkraći mjesec pa su potrošili najmanje vode
mjesec
siječanj veljača ožujak travanj svibanj lipanj
količina vode 92 m3
90 m3
98 m3 96 m3 104 m3 108 m3
cijena
1242 kn 1215 kn 1323 kn 1296 kn 1404 kn 1458 kn
omjer cijene i 1242  13.5 1215  13.5 1323  13.5 1296  13.5 1404  13.5 1458  13.5
92
90
98
96
108
104
količine
2. Nagib pravca
y
sličnost trokuta
a
a
1
a
a
1
b
a1
b1
x
b

b
b
1

a
b
1
1
1
p 2 .... y  
k2  
1
y
x 1
p 1 .... y 
2
1
k1 
2
1
2
p1
p2
1
2 lijevo
1 gore
1
x
2 desno
1 gore
1
2
x 1
y 
5
x 1
y
3
1
1
x
8. razred
1. Decimalni zapis realnog broja
- svaki realan broj x ima jedinstven prikaz u obliku
x   x  


n 1
a
n
10
n
- ako postoji p takav da je an = 0 za svaki n > p, realan broj x je
decimalan broj
- razlikovati vrste decimalnih zapisa racionalnih brojeva
- racionalni broj zapisati u decimalnom zapisu
- oprezno s obratom
1.0000… = 0.9999…, 3.0000… = 2.9999…, 7.3000… = 7.2999…
Cilj: uočiti vezu prostih faktori nazivnika racionalnog broja i vrste
decimalnog zapisa racionalnog broja
Aktivnosti za učenike:
razlomke zapisati u decimalnom obliku, faktorizirati njihove
nazivnike i zapisati zaključke
Zadatak 1: Razlomke zapiši u decimalnom zapisu i faktoriziraj nazivnik. Zapiši
svoja opažanja.
razlomak
decimalni zapis
nazivnik
rastav na proste faktore
13
0.65
20
20 = 2 · 2 · 5
1.5984
625
625 = 5 · 5 · 5 · 5
0.296296...
27
27 = 3 · 3 · 3
-3.1666666...
6
6=2·3
0.047619047619...
21
21 = 3 · 7
0.00296296...
675
675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5
-1.375
8
8=2·2·2
0.194805194805...
77
77 = 7 · 11
7.70909
55
55 = 5 · 11
0.0142857142857
70
70 = 2 · 5 · 7
20
999
625
8
27
19

6
1
21
2
675
11

8
15
77
424
55
1
70
KDZ
ČPDZ
MPDZ
Literatura:
• G. Polya: Matematičko otkriće, HMD,Zagreb, 2003., 436 str.
• B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska
knjiga, Zagreb, 2004., 424. str.
• Ž. Orčić, S. Stilinović, N. Sarapa: Matematika 5, Školska knjiga,
Zagreb, 2009.
• Ž. Orčić, R. Svedrec, N. Sarapa: Matematika 6, Školska knjiga,
Zagreb, 2009.
• Ž. Orčić, R. Svedrec, N. Sarapa: Matematika 7, Školska knjiga,
Zagreb, 2009.
• B. Copić, Ž. Orčić, N. Sarapa: Matematika 8, Školska knjiga,
Zagreb, 2009.
• www.google.hr - slike