Transcript Equazioni differenziali del I ordine
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’ URBINO Equazioni differenziali a variabili separabili Ricordiamo che la derivata di una funzione si può esprimere come rapporto di differenziali nella forma y’ = dy/dx , un’equazione differenziale del I ordine si dice a variabili separabili se si può ricondurre alla forma: y’ = g(x) h(y) con g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)≠ 0 dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx
PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
Data l’equazione
y’=3y-1
dy dx
3
y
1 3
y
1 1
dy
dx
dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx 3y-1= h(y) ; 1= g(x) Se h(y) e g(x) sono funzioni continue allora esistono le loro primitive H(y) e G(x) e sono: h(y)dy = d(H(y)) e g(x) dx = d(G(x)) Deve essere d(H(y)) = d(G(x)) , ma se questi due differenziali sono uguali le funzioni H(y) e G(x) differiscono per una costante cioè: H(y)= G(x) + c
In definitiva per trovare l’integrale generale dell’equazione data basta
trovare le primitive
delle due funzioni
h(y)
e
g(x)
cioè: PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
h(y)dy = g(x)dx equivale a
h
(
y
)
dy
g
(
x
)
dx
Per il nostro esempio avremo: 3
y
1 1
dy
dx
Provate a determinarne le primitive…
PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
y’ + 8x 3 y=0
dy dx
8
x
3
y
Separiamo le variabili
Supponendo y≠0
dy y
8
x
3
dx
1
y dy
8
x
3
dx
Possiamo ora trovare l’integrale generale ln
y
2
x
4
c y
e
2
x
4
c
e
2
x
4
e c
e c è una costante che si può indicare con k
y
ke
2
x
4
Integrale generale
PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI