ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’ URBINO Equazioni differenziali a variabili separabili Ricordiamo che la derivata di una funzione si può esprimere come rapporto di differenziali nella forma y’ = dy/dx , un’equazione differenziale del I ordine si dice a variabili separabili se si può ricondurre alla forma: y’ = g(x) h(y) con g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)≠ 0 dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx

PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI

Data l’equazione

y’=3y-1

dy dx

 3

y

 1 3

y

1  1

dy



dx

dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx 3y-1= h(y) ; 1= g(x) Se h(y) e g(x) sono funzioni continue allora esistono le loro primitive H(y) e G(x) e sono: h(y)dy = d(H(y)) e g(x) dx = d(G(x)) Deve essere d(H(y)) = d(G(x)) , ma se questi due differenziali sono uguali le funzioni H(y) e G(x) differiscono per una costante cioè: H(y)= G(x) + c

In definitiva per trovare l’integrale generale dell’equazione data basta

trovare le primitive

delle due funzioni

h(y)

e

g(x)

cioè: PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI

h(y)dy = g(x)dx equivale a



h

(

y

)

dy

 

g

(

x

)

dx

Per il nostro esempio avremo:  3

y

1  1

dy

 

dx

Provate a determinarne le primitive…

PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI

y’ + 8x 3 y=0

dy dx

  8

x

3

y

Separiamo le variabili

Supponendo y≠0

dy y

  8

x

3

dx

 1

y dy

   8

x

3

dx

Possiamo ora trovare l’integrale generale ln

y

  2

x

4 

c y

 

e

 2

x

4 

c

 

e

 2

x

4 

e c

e c è una costante che si può indicare con k

y



ke

 2

x

4

Integrale generale

PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI