Transcript Equazioni differenziali

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’
URBINO
Equazioni differenziali
Conoscenze
Competenze
Capacità
Prof.AnnaMaria Paolucci
Conoscenze: Equazione del I ordine, lineare e
non lineare.
Competenze. Risolvere equazioni differenziali del I
ordine del II ordine e determinare soluzioni
particolari di equ. differenziali del I e del II ordine.
Capacità: Imparare a :
Risolvere equaz. diff.del I ordine:
- a variabili separate o separabili;
- lineari;
- di altri tipi particolari.
Risolvere equaz. diff. del II ordine:
- omogenee a coeff. costanti;
-non omogenee a coeff. costanti.
Prof.AnnaMaria Paolucci
Prof.AnnaMaria Paolucci
Prof.AnnaMaria Paolucci
Introduzione al: concetto di
equazione differenziale
Sino ad ora si sono affrontati in Matematica temi il
cui oggetto era la risoluzione di problemi che per
soluzioni avevano il valore numerico di una certa
grandezza.
Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , la
determinazione dei max. e dei min. di una
funzione, il calcolo di un’area o di un volume.
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Ma vi sono problemi in cui ciò che si deve trovare non è un numero
bensì la legge secondo cui un insieme di variabili dipende da altre.
L’ingegneria, la fisica, le scienze economiche hanno leggi di questo tipo
e il grafico sotto è legato all’argomento EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Prof.AnnaMaria Paolucci
Se consideriamo un punto materiale di massa m
che si muove sull’asse y di un sistema di
riferimento a causa di una forza F la cui intensità
dipende dalla posizione y del punto all’istante t, dalla sua
velocità v e dal tempo t si ha
F  F ( y, v, t )
L’azione della forza F provoca un’accelerazione del punto
materiale secondo la legge F=ma,
Se y(t) è la posizione del punto all’istante t sulla sua
traiettoria , la velocità e l’accelerazione sono date dalle
relazioni :
2
v=
d y
dy
 y ' (t ) e a = 2  y' ' (t )
dt
dt
allora in
un certo istante t del moto deve essere verificata la relazione:
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F ( y(t ), y' (t ), t )  m y' ' (t )
L’equazione ha come variabile una funzione y(t) e
le sue derivate y’(t) e y’’(t).
RISOLVERLA significa trovare la funzione y(t)
che con le sue derivate soddisfi all’equazione.
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Se si ha la funzione f(x) =2x , la determinazione di tutte
le sue primitive y=F(x) ci fa tradurre ciò nell’equazione:
F ' ( x)  f ( x)  y '  2 x
dy
 2x
dx
anche
così si tratta di risolvere
questa equazione dove la variabile è
rappresentata da una funzione della variabile x ,
f(x) ,
Una equazione del tipo y’ = 2x è una
EQUAZIONE DIFFERENZIALE
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In figura è rappresentato un circuito
elettrico in cui è inserita una batteria
di pile in grado di fornire una
differenza di potenziale costante V.
Appena l’interruttore del circuito è
chiuso all’interno del circuito non si
genera immediatamente una intensità
di corrente I data da : V = R I uguale a
V/R
Le grandezze elettriche
R(resistenza), L (coeff.di
autoinduttanza) e V (tensione) sono
costanti
Ma a causa della presenza dell’induttanza L, una corrente
I(t), variabile nel
dI (t )
tempo t, secondo la legge : (1) V = R I(t) + L
dt
dove dI(t) è la derivata della funzione I(t) rispetto a t.
Non è possibile ricavare l’incognita I(t) dalla (1) con semplici passaggi algebrici,
oltre a I(t) si ha dI(t)/dt. UN TALE TIPO DI EQUAZ. È DETTA EQUAZIONE
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DIFFERENZIALE
DEFINIZIONI
Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima
Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y e la sua
derivata prima y’ del tipo
F(x,y,y’ ) = 0
prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE.
Questa equazione sarà ascritta in forma normale:
y’ = F(x,y)
Ci deve essere la derivata prima y’ ,ma possono mancare y e x.
Esempio: y’ = y, y’ = 2x, y’ = 2xy+3
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DEFINIZIONI
Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima e y’’ la sua
derivata seconda.
Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y , la sua derivata
prima y’ e la sua derivata seconda y’’, del tipo
F(x, y, y’, y’’ ) = 0
prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE.
Questa equazione sarà ascritta in forma normale:
y’’ = F(x, y, y’)
Ci deve essere la derivata seconda y’’ ,ma possono mancare y’ ,y e x.
Esempio: y’’ + 3y’ – 1 = 0 y’’ + y – x = 0
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generalizzando
Una relazione tra la variabile x, una funzione
incognita y e le sue derivate successive
sino all’ordine n, del tipo :
F(x,y,y’,y’’,……yn) = 0
e’ detta
Equazione Differenziale di ordine n
L’ordine di un’ equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della
derivata che vi figura.
ESEMPI : Y’+2X=1 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL I ORDINE
Y’’’+3Y’-2=0 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL III ORDINE
6Y’’+3Y’-Y=SENX EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL II ORDINE
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Ogni funzione
y= f(x) che soddisfa l’equazione differenziale data si dice
SOLUZIONE o INTEGRALE
dell’equazione stessa , il suo diagramma è detto
ESEMPIO: y’+2y = 2x(x+1)
differenziale
del I ordine e la funzione
Infatti essendo
differenziale:
y’
CURVA INTEGRALE.
è un’equazione
y = x2+e-2x
e’ una sua soluzione
= 2x – 2 e-2x si ha, sostituendo nell’equazione
y’+2y = 2x-2 e-2x +2(x2+e-2x) = 2x2+2x =2x(x+1)
RISOLVERE o INTEGRARE un’equazione differenziale
significa trovare tutte le sue soluzioni .Le soluzioni di
un’equazione differenziale sono in genere

esse dipendono da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine n
dell’equaz. stessa e sono così indicate: y = f(x,c1, c2,
, cn),
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y = f(x,c1, c2,
, cn) prende il nome di
Integrale generale
dell’equazione differenziale,
Ogni funzione ottenuta dall’INTEGRALE GENERALE
attribuendo particolari valori numerici alle costanti
c1, c 2…..cn è chiamata
INTEGRALE PARTICOLARE.
In alcune situazioni può avvenire che l’integrale generale non
comprenda tutte le soluzioni dell’equazione, ci può essere
una soluzione che non è deducibile dall’integrale generale per
alcun valore delle costanti. Si parla di INTEGRALE
SINGOLARE.
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ESEMPIO:
L’equazione differenziale
y' 4x y
ammette tra le sue
soluzioni y = 0 ( per verificarlo è sufficiente sostituire),
il suo integrale generale è

y  x c
2

2
e si vede che la funzione y = 0 non si può
ottenere da esso per nessun valore di c finito o
infinito.
Allora y = 0 è un integrale singolare per
questa equazione.
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Data una equazione differenziale di ordine n il volere
determinare l’integrale particolare y=f(x) che
soddisfi n condizioni iniziali del tipo:
y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,………. Yn-1(x0)=yn-10
dove x0,y0,y’0,……., yn-10 sono valori assegnati,
Viene chiamata PROBLEMA di CAUCHY
 y n  F ( x, y, y ' , y ' ' ,.....,y n 1 )

 y ( x0 )  y 0

 y ' ( x0 )  y ' 0

.
.
 n 1
n 1

y
(
x
)

y
0
0

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Risolvere l’equazione differenziale del I ordine:
Dopo aver isolato y’ si ha: 3y’= 12-6x;
ambo i membri rispetto alla variabile x:
6 x  3 y'12  0
y’= 4-2x, integriamo
 y' dx   (4  2 x)dx
y   4  2 x dx
x2
y  4x  2  c
2
Le soluzioni cercate sono le funzioni:
In questo caso le
con c

y   x  4x  c
2
curve integrali sono parabole il cui vertice
in funzione di c è V( 2; 4+c ) e l’asse ha equazione x = 2 .
Provate a rappresentarle graficamente
Prof.AnnaMaria Paolucci
Quindi data l’equazione differenziale:
6 x  3 y'12  0
Le soluzioni cercate sono le funzioni:
y   x  4x  c
2
Cerchiamo, tra le infinite soluzioni, una
particolare soluzione la cui curva integrale passa
per il punto (x0;y0)
Per il nostro esempio il punto è P ( 2; 5 ) cioè 5 = f(2)
Prendiamo la soluzione
5  2  8  c
2
y=-x2+4x+c , sostituiamo a y=5 e x=2
c 1
Così la soluzione del problema di Cauchy è
Prof.AnnaMaria Paolucci
y  x  4x 1
2
Integrale particolare
Equazione Differenziale di ordine 1 e teorema di Cauchy
Un’equazione differenziale del I ordine è una equazione del tipo:
In cui la x e la y possono
F(x,y,y’ ) = 0 anche non comparire
Una equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale se è
espressa:
y’ = F(x,y)
Il suo integrale generale è la famiglia di funzioni
y = f(x,c) e che i suoi integrali particolari si
ottengono attribuendo a c determinati valori.
supponiamo di voler determinare l’integrale particolare che soddisfi
una certa condizione ad esempio che la curva integrale passi per un
punto assegnato o abbia una certa tangente oppure si annulli
all’infinito.
QUANTI INTEGRALI TROVEREMO CHE SODDISFANO AD UNA TALE
CONDIZIONE? Una risposta a questa domanda è fornita dal seguente
teorema:
Prof.AnnaMaria Paolucci
Teorema di Cauchy: Sia
F(x,y) una funzione di due
variabili reali definita e continua in un
sottoinsieme aperto D del piano supponiamo che
anche F’y sia continua in D; sia poi P(x0; y0) un
punto qualsiasi di D .Allora l’equazione
differenziale y’ = F(x,y) di un intorno di x0 ,
ammette una e una sola soluzione y=g(x) che
soddisfa la condizione
y 0 =Paolucci
g(x0)
Prof.AnnaMaria
La condizione
y 0 = g(x0)
è detta
CONDIZIONE INIZIALE
ed esprime il passaggio della curva integrale per il punto assegnato
P(x0;y0).
Il teorema equivale a dire : per
ogni punto
P(x0;y0)passa una ed una sola curva integrale
dell’equazione differenziale considerata.
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Le equazioni della forma y’=f(x)
Esse sono le equazioni più semplici da risolvere perché la funzione che
rappresenta è la generica primitiva di f(x); si ha cioè che l’integrale
generale è la funzione
y
 f ( x)dx
Risolvere l’equazione differenziale y’=2x e
trovare l’integrale particolare che soddisfa
alla condizione y(1)
L’integrale generale è:
=0
y   2 xdx  x 2  c
la condizione data
ci dice che la funzione y=x2+c deve passare per il punto di coordinate
(1;0) cioè 0 = 1+c
c =-1 l’integrale particolare è così la
parabola y=x2+c e il suo grafico è :
Prof.AnnaMaria Paolucci
4
y
fig.1
3
2
1
x
-6
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
-4
In figura 1 è rappresentato l’integrale particolare
dell’equazione differenziale y’=
P ( 1; 0 )
2x passante per il punto
Prof.AnnaMaria Paolucci
6
In figura 2 sono rappresentati alcuni integrali
particolari dell’equazione differenziale y’=2x
passanti per punti particolari,tutti derivano dallo
stesso integrale generale y= x2+c
Prof.AnnaMaria Paolucci
Risolvere l’equazione differenziale
condizione y(0)
= 3.
y’ = e3x con la
y’ = 1+tg2x con la condizione
iniziale y(π/4) = 0 il simbolo π è il pi greco.
Risolvere l’equazione
Prof.AnnaMaria Paolucci