Transcript Equazioni differenziali

Equazioni differenziali - introduzione
Pensiamo al seguente problema :
Non conoscendo y=f(x) sappiamo che la sua derivata soddisfa la
relazione: y’-2x=1
Vogliamo determinare la funzione incognita y=f(x)
• Isoliamo y’
y’=2x+1
• Integriamo ambo i membri
rispetto alla variabile x
 y dx   (2 x  1)dx
• La funzione cercata é
'
y=x2+x+c
20

15
N.B. Non si tratta di una funzione
ma di un’insieme di funzioni
che si ottengono al variare di c
10
y= x^2-x
y= x^2-x+1
y= x^2-x-1
y= x^2-x+2
5
0
-4
-2
0
-5
2
4
Equazioni differenziali - definizioni
La relazione iniziale y’-2x=1 viene detta equazione differenziale
L’incognita è la funzione y=f(x)
Definizione di equazione differenziale del primo ordine
Si chiama equazione differenziale del primo ordine un’equazione
del tipo F(x,y,y’)=0.
Ognuna delle funzioni y=f(x) che soddisfano tale equazione si
chiama soluzione integrale o integrale dell’equazione
F(x,y,y’)=0 è un’equazione differenziale, ma anche
y’=g(x,y) è un’equazione differenziale in forma normale o esplicita
N.B. La funzione y=2x-1 non è una equazione differenziale
perché manca y’
Equazioni differenziali - definizioni
Definizione di equazione differenziale del secondo ordine
Si chiama equazione differenziale del secondo ordine un’equazione
del tipo F(x,y,y’,y’’)=0.
Definizione di equazione differenziale di ordine n
Si chiama equazione differenziale di ordine n un’equazione del tipo
F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0.
Risolvere o integrare un’equazione differenziale di ordine n
significa ricercare tutte le funzioni incognite y=f(x) tali che
F(x,f(x),f’(x),…,f(n)(x))=0
Una equazione differenziale di ordine n è in forma normale se è
nella forma y(n))=F(x,y,y’,…, y(n-1))
Equazioni differenziali - definizioni
Si chiama integrale generale di una equazione differenziale,
l’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione.
Questo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni
y=f(x,c)
La soluzione che si ottiene sostituendo a c un valore numerico
ammissibile è detta integrale particolare
Nell’esempio iniziale l’equazione differenziale y’-2x=1
ha come integrale generale y=x2+x+c
e come integrale particolare y=x2+x+1
Equazioni differenziali - Problema di Cauchy
Il problema della determinazione di un integrale particolare di
un’equazione differenziale del primo ordine passante per un punto
(x0,y0) è detto
Problema di Cauchy
F( x , y, y' )  0

y 0  f ( x 0 )
La condizione y0=f(x0) è detta condizione iniziale del problema
di Cauchy
Il teorema di Cauchy fornisce condizioni per l’esistenza e
l’unicità di soluzioni nel caso in cui l’equazione differenziale
sia espressa in forma normale
Equazioni differenziali - Teorema di Cauchy
Teorema di Cauchy
Sia data l’equazione differenziale del primo ordine in forma normale
y’=F(x,y)
e sia F(x,y) una funzione continua in un insieme AR2 dotata di
derivata parziale rispetto a y , anch’essa continua in A.
Allora per ogni punto (x0,y0)  A esiste una e una sola soluzione
y=f(x) tale che y0=f(x0)
Equazioni differenziali - Esempio
Dal punto di vista geometrico significa che per ogni punto (x0,y0) del
dominio passa una e una sola curva la cui equazione è soluzione
dell’equazione differenziale
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Tornando all’esempio
il problema di Cauchy
15
10
y=x^2-x
y=x^2-x+1
y=x^2-x-1
y=x^2-x+2
5
0
-4
-2
0
-5
2
4
y'  2 x  1  0

1  f ( 0)
ha un’ unica soluzione
y=x2+x+1
Equazioni differenziali y’=F(x)
Un’equazione differenziale del primo ordine riducibile al tipo
y’=F(x)
si risolve nel seguente modo :
• si isola la y’
• si integrano ambo i membri rispetto ad x
• si determinano le funzioni primitive
Es : Risolvere il problema di Cauchy
y'  2 x  1  0

1  f ( 0)
y'  2 x  1

1  f ( 0)
 y' dy  ( 2 x  1) dx



1  f ( 0)
y  x 2  x  c

1  f ( 0)
1  0 2  0  c

1  f ( 0)
y  x  x 1
2
Equazioni differenziali del 1° ordine
a Variabili Separabili
Una equazione differenziali del 1° ordine è detta a variabili
separabili se può essere scritta nella forma y’=g(x)•h(y) con
g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)0
Soluzione :
• Si sostituisce a y’ dy/dx
dy
dx
 g( x )  h( y )
• Si separano le variabili in modo da avere dy
 g( x )  dx
al primo membro la y e al secondo la x
h( y )
dy
• Si integrano ambo i membri
 h( y )   g( x )  dx
• Si trovano le primitive e si ricava la y
H(y)  G(x)  c
in funxione di x
Equazioni differenziali del 1° ordine
a Variabili Separabili
Esempio : yy’=3
y
dy
dx
 3
ydy  3dx
 ydy   3dx
y2
2
 3x  c
y  6x  c
2
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
y'  a ( x ) y  b ( x )
1° Caso :
y'  a ( x ) y
Con a(x) e b(x) funzioni continue
in un opportuno intervallo
Equazione differenziale omogenea
È a variabili separabili quindi si pone y' 
Per y0
dy
dx
 a( x )y
dy
y
dy
dx
 a( x) dx
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Detta A(x) una qualsiasi primitiva di a(x) e c una
costante arbitraria, si ottiene
log y  A( x )  c
y  e
A ( x ) c
y  e e
c
y  ke
A( x )
A( x )
Quindi da y'  a ( x ) y
con kR
si ha
y  ke
A( x )
con kR
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio : y’=4xy
dy
dx

dy
y
dy
 4 xy
y

 4 xdx
y  e
2x
2
c
 4 xdx
log y  2 x  c
2
y  ke
2x
2
con kR
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio : y’=4xy
Ricordando che la soluzione è
y  ke
A( x )
con kR, e dove A(x) una qualsiasi primitiva di a(x)
y  ke
2x
2
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
2° Caso:
y'  a ( x ) y  b ( x )
Si usa il metodo di Lagrange o metodo della variazione della
costante arbitraria
• Si risolve l’equazione omogenea associata e si ottiene
y  ke
A( x )
con kR
• si sostituisce nell’espressione precedente la costante k con una
funzione incognita k(x) da determinarsi in modo che l’equazione
y  k ( x )e
A( x )
sia soluzione della equazione differenziale di partenza
Deriviamo quindi y
y'  k' ( x)e
A( x )
 k ( x )a( x )e
A( x )
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
y'  k' ( x)e
A( x )
 a(x ) y
• Si sostituiscono nella equazione differenziale di partenza la y e
la y’ trovate
k ' ( x )e
k ' ( x )e
k(x) 
A( x )
A( x )
 a( x )y  a( x) y  b( x )
 b( x )
 b( x )e
 A (x )
k ' ( x )  b( x )e
dx
Quindi si ha dalla y  k ( x )e
A( x )
Quindi dalla y'  a ( x )y  b ( x )
Si ha y  e
A (x )
 b(x )e
 A( x )
 A (x )
dx
y e
A (x )
 b(x )e
 A (x )
dx
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio: y’=-xy+x
Applicando direttamente la formula risolutiva si ha :
y e
 b(x )e
A (x )
A( x ) 
  xdx

2
x
y e
y e

 A (x )

x
2
x

2
2
xe
x
(e
dx
x2
2
2
2
dx
2
2
 c )  1  ce

x
2
2
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio: y’=2xy-2x3
Considero l’omogenea associata y’=2xy la cui soluzione è
y  ke
x
2
y  k ( x )e
k ' ( x )e
k ' ( x )e
x
2
y'  k' ( x)e
x
2
 k ( x )2 xe
y'  k' ( x)e
x
2
 2 xy
x
2
 2 xy  2 xy  2 x
x
2
 2 x
k' (x)  2 x e
3
3
x
2
3
x
2
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
 2 x
k(x) 
3
e
x
2
dx
Si risolve l’integrale per parti
(ricordare che d (e
k(x) 
 e
y e
x
x
2
2
 2 x
3
e
x 
2
 2 x e
3
e
x
2
x
2
x
x
2
2
)e
x
2
 ( 2 x )   2 xe
 2 xe
dx 
2 xdx  e
dx  e
x
2
(e
x
x
2
2
x
2
x
2
)
x dx 
2
x e
x
2
c
x e
x
2
 c)  x  1  ce
2
2
2
x
2