Transcript ppt - Turku

LUOVUUS
MATEMATIIKASSA
Erkki Pehkonen
SOKLA /HY
1
Taustaa


Elämässä selviämiseen tarvitaan koko joukko
auktoriteettiuskoa (esim. hissi toimii nappia
painamalla moitteettomasti) sekä runsaasti
perustietoja eri aloilta (esim. sähkön kulkeminen virtapiireissä, kun sulake on palanut).
Mutta muuttuvassa yhteiskunnassa tarvitaan
näiden lisäksi intuitiivista menettelyä: intuition
avulla saadaan uusia ideoita ja entisen
totuuden arvo asetetaan kyseenalaiseksi.
2
Mihin luovuus liittyy?



Yleensä ihmiset ajattelevat, että luovuudella ja
matematiikalla ei ole mitään tekemistä
toistensa kanssa.
Mutta luovuus ei ole vain taiteilijoille ja
tieteilijöille kuuluvat ominaisuus, vaan se on
myös osa jokapäiväistä elämää.
Opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana
(formaalina) yleistavoitteena on luovuuden
kehittäminen (OPH 2004).
3
Logiikka ja luovuus
4
Matematiikka ja luovuus


Joustava ajattelu (luovuuden osa) on eräs
tärkeimmistä ominaisuuksista, joita
menestyksekäs ongelmanratkaisija
tarvitsee.
Matematiikassa tarvitaan kahta erilaista
ajattelumoodia: Luovaa ajattelua ja
analyyttista ajattelua.
5
Logiikka


Loogiseksi ajatteluksi sanotaan sellaista
ajattelua, joka perustuu logiikkaan.
Tällöin ajatellaan logiikan olevan ns.
kaksi-arvoista propositiologiikkaa, jossa
jokainen väite on joko tosi (1) tai epätosi
(0), kolmatta vaihtoehtoa ei ole.
6
Mitä on luovuus?


Luovuus on käsite, joka on koettu hankalaksi
määritellä (ks. Haylock 1987).
Kun määrittely ei ole ollut mahdollista, niin
kirjallisuudessa on ollut tyypillistä kuvailla
luovuus sellaisten henkilöiden käyttäytymisen
kautta, joita yleisesti pidetään luovina (ts.
prototyypin avulla määrittely).
esim. Arkhimedes, Darwin
7
Määritelmiä


Esim. Matti Bergström (1985) kuvailee
luovuutta “esiintymisenä, jossa yksilö
tuottaa jotakin uutta ja ennaltaarvaamatonta”.
Mm. Torrance (1974) kehitti testejä
luovuuden neljän komponentin
mittaamiseksi: ideavuolaus, ideajoustavuus, originaalisuus, viimeistely.
8
Divergoiva ja konvergoiva ajattelu


Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan
lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa,
epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen
hyppivää, pääasiassa ohjaamatonta
ajattelua.
Konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti
tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua.
9
10
Luova ajattelu


Luova ajattelu määritellään loogisen
ajattelun ja divergentin ajattelun
tavoitteellisena yhdistelmänä.
On olemassa monia tekniikkoja tuottaa
divergoivaa ajattelua ja sillä runsaasti
ajatuksia (ideoita),
kuten kysymyslistat, aivoriihi, tuumatalkoot ja kaukaiset ajatusmallit.
11
Luovuuden yhteys
matematiikkaan
12
Luova ongelmanratkaisu


Ongelmanratkaisu tilanteissa ratkaisija joutuu
vuorottelemaan kriittisen ajattelun ja luovan
ajattelun välillä siirtyen ideasta toiseen, idean
kriittisestä arvioinnista sen kehittämiseen
(McGregor 2007).
Luovaa ongelmanratkaisua voidaan pitää
laajana kokonaisvaltaisena prosessina, johon
liittyy erilaisia menetelmiä, mutta ennen
kaikkea vanhojen luutuneiden ajattelutapojen
ja asenteiden muuntamista joustaviksi ja
vastaanottavaisiksi.
13




Bergström (1985) kirjoitti paljon matematiikan
ja luovuuden välisistä yhteyksistä 1980-luvulla.
Hän korosti kouluopetuksessa logiikan ja
luovuuden välistä tasapainoa.
Jos yksilö painottaa loogista ajattelua liian
paljon, hän vastaavasti vaimentaa luovuuttaan.
Luovuus vaatii kehittyäkseen toiminnanvapautta ylenmääräisestä paineesta ja
kontrollista.
14
Oppimispsykologisia
tutkimustuloksia



Matematiikka ei ole vain laskemista, vaan
opetuksen päämääränä pitäisi olla myös
ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelun
kehittäminen.
Psykologiset tutkimukset ovat kuitenkin
osoittaneet, että (matematiikankin) oppiminen
on vahvasti tilannesidonnaista.
Tavanomainen opetus soveltuu tosiasioiden
oppimiseen, mutta toimintatapojen oppimiseen
tarvitaan uusia menetelmiä, jotka panostavat
oppilaiden omaehtoiseen opiskeluun.
15


Tutkimuksessa on todettu, että sääntöjen ja
algoritmien jatkuva painotus saattaa estää
luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen
kehittymisen (esim. Bergström 1985).
Sellaiset oppimisympäristöt, jotka tarjoavat
oppilaille mahdollisuuksia tutkimiseen, nonverbaaliin ilmaisuun, laboratoriotyöskentelyyn
ja moniaistiseen oppimiseen, antavat oppilaille
mahdollisuuksia saavuttaa uusia tasoja
matematiikassa.
16
Avoin lähestymistapa



Japanissa kehitettiin 1970-luvulla ns. avoin
lähestymistapa matematiikanopetukseen, jonka
tavoitteena on kehittää oppilaiden luovuutta ja
luokkahuoneessa mielekästä keskustelua.
Samoihin aikoihin Englannissa otettiin
käyttöön ns. tutkimustehtävät (investigations),
jotka tulivat suosituiksi matematiikanopetuksessa.
Siksi 1980-luvulla ajatus käyttää avoimia
tehtäviä jossakin muodossa luokkahuoneessa
levisi yli koko maailman.
17
Opetussuunnitelmissa


Ajatus käyttää avoimien ongelmia koulumatematiikassa on kirjoitettu joissakin maissa
jopa opetussuunnitelmaan.
Esimerkiksi Hampurin (Saksa) yhtenäiskoulun
matematiikan opetussuunnitelmassa on varattu
noin viidesosa opetusajasta sisältövapaaksi,
jotta opettajat innostuisivat käyttämään
matemaattisia aktiviteetteja (Anon. 1990).
18
Japanilainen lähestymistapa


Japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy
luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa.
Siinä ei olekaan keskeistä ongelmatehtävien
ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen
erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts.
luovuuden kehittäminen matematiikan
opetuksen puitteissa.
19
Tutkimustehtävät




Tutkimustehtäville on tyypillistä, että siinä
annetaan lähtötilanne, jonka puitteissa oppilas
itse muotoilee ongelmansa ja ratkaisee sen.
Tutkimustehtävät voidaan jakaa strukroituihin
ja ei-strukturoituihin.
Näistä jälkimmäiset ovat Englannissa käytössä:
oppilaalle annetaan tehtävätilanne ja muutama
alkuongelma, jonka jälkeen he jatkavat
itsenäisesti.
Strukturoituja tutkimustehtäviä kutsutaan
myös ongelmakentiksi.
20
Esimerkki 1 (Neliön jako)

Jaa neliö neljään yhtenevään osaan
viidellä eri tavalla!
21
Jatkokysymyksiä



Tälle ongelmalle on olemassa useita ratkaisuja,
joten voidaan jatkaa esim. seuraavilla
kysymyksillä:
• Pystytkö löytämään kuudennen erilaisen
ratkaisun? Entä seitsemännen?
• Kuinka monta erilaista ratkaisua arvelet
olevan kaikkiaan? Onko enemmän kuin 10?
Tämän jälkeen jatko riippuu siitä, mitä opetusryhmä saa ratkaisuina.
Ratkaisuja on ääretön määrä, peräti
ylinumeroituvasti ääretön määrä.
22

Seuraava tehtävä, joka ei välttämättä ole
suunniteltu kovin avoimeksi, vaikka on
selkeästi non-standardi ongelma, on
suoraan peruskoulun matematiikan
oppikirjasta Laskumatikainen 8.
23
Esimerkki 2 (monikulmion pinta-ala)

Kuinka monta prosenttia monikulmion
pinta-ala kasvaa, kun sivun pituus kasvaa
25 %?

Miten arvelette oppilaiden lähtevän tätä
ratkaisemaan?
24
Ongelmanasettelu
luovuuden kehittäjänä
25
Ongelmanratkaisu edistää luovuutta,
mutta ...



Ongelmanratkaisussa on luova elementti,
mutta ei paljonkaan vapautta, ja luovuus vaatii
vapautta.
Jotta oppilaille annettaisiin enemmän vapautta,
luonnollinen ratkaisu on sallia oppilaiden itse
asettaa omat kysymyksensä.
Ongelma saattaa olla avoin siten, että se
ehdottaa toisten ongelmien muotoilemista,
jolloin tuloksena oleva toiminta on
ongelmanasettelua.
26
Mitä on ongelmanasettelu?



Ongelmanasettelu (problem posing) tarkoittaa
ongelmatilanteessa ongelman muotoilua siten,
että se saadaan ratkaistavaan muotoon.
Yksinkertaisimmillaan ongelmanratkaisu on
yksinkertaisen kysymyksen (ongelman)
esittämistä ja kun siihen on saatu vastaus, niin
ongelmanratkaisua on opiskeltu.
Mutta jokaisen tällaisen ongelman takana on
suuri joukko potentiaalisesti kiinnostavia
ongelmia (alkuperäisen ongelman variaatioita).
27
Esimerkki 3 (Ulamin spiraali)

Positiiviset kokonaisluvut on kirjoitettu
spiraalin muotoon,
ns. Ulamin spiraali.
Keksi matemaattinen
ongelma, joka
perustuu ko. lukuspiraaliin, ja koeta
ratkaista se.
17
16
15
14
13
18
5
4
3
12
19
6
1
2
11
20
7
8
9
10
21
22
…
28
Esimerkissä 3 pitää ratkaisijan ensin keksiä
sopiva ongelma ja muotoilla se (ongelman
asettaminen).


Mahdollisista ongelmista pari esimerkkiä:
• “Löytyykö keskipisteestä lähtevässä
diagonaali-jonossa 1, 3, 13, … mitään
säännönmukaisuutta?”
• “Mikä on em. lukujonon n:s termi?”
Ulamin spiraalista voidaan kehittää loputon
määrä hyvin matematiikanopetukseen
soveltuvia ongelmia.
29
Miten ongelmanasettelua toteutetaan?


Alkuperäisestä ongelmasta voidaan
kehittää monia uusia ongelmia (ongelman
variointi) muuttamalla siinä olevaa
tunnettua tietoa, kysyttyä tietoa tai
ongelman rajoituksia.
Kaikkein tavallisimpia muunnoksia ovat:
• Vaihdetaan tunnettu ja kysytty
keskenään.
• Pudotetaan tehtävän rajoitus pois,
jolloin uusia ongelmia saadaan esille. 30
Miten ongelmanasettelu edistää
luovuutta?

Opettaja mallintaa prosessia henkilökohtaisesti
hämmästelemällä avoimesti oppilaiden kanssa,
tukemalla vapaata ideoiden vaihtamista ja
aktiivisesti rohkaisemalla heitä yhteistyöhön,
kunnioittamalla oppilaiden spontaaneja
“entäpä-jos”-arveluita ja ratkaisuarvauksia
sekä olemalla yhtä kiinnostunut siitä, kuinka
oppilaat ajattelevat ongelmasta kuin mitä he
saavat tulokseksi (Moses & al. 1990).
31
Strategioita ongelmanasettelun
edistämiseksi (Moses & al. 1990)



Käytä oppikirjan tehtäviä pohjana ongelmanasettelussa.
Vältä sellaisia kysymyksiä, joihin on vain yksi vastaus.
Ohjeita luokkahuoneen opiskeluilmapiirin
parantamiseksi:
- Anna oppilaiden valita, mitä ongelmia he yrittävät
ratkaista.
- Vältä aikapainetta ongelmanratkaisussa.
- Toteuta aivoriihitoimintaa oppilaillesi kanssa,
rohkaise heitä kommunikointiin ja yhteistyöhön.
32
Esimerkki 5

Jotkut luvut voidaan esittää peräkkäisten positiivisten kokonaislukujen
summana, kuten
9 = 2 + 3 + 4 , 11 = 5 + 6 .
Millä luvuilla on tällainen
ominaisuus?
33
Lopuksi


Koulun matematiikanopetus voi
kehittyä ajattelua ja ymmärtämistä
painottavaan suuntaan, kun opettajat
itse ryhtyvät aktiivisiksi.
Luokassa käytetty opetusmateriaali
ei sinänsä tee opetuksesta hyvää –
oleellista on opettajan oma
henkilökohtainen panos.
34
Lopuksi (jatk.)


Siksi opettajien ei pitäisi enää tyytyä
valmiiseen materiaaliin, vaan ryhtyä
itse kehittämään ja muotoilemaan
oppikirjan tehtäviä edelleen.
Opettajien innostus ja luovuus on
edellytys oppilaiden matemaattisen
luovuuden kehittymiselle.
35