Transcript f) Geometrinen jono ja summa

2.4.1. Geometrinen jono
Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi
samalla luvulla
Määritelmä
Jono (an) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee,
että an+1 / an = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä
E.1.Voiko jono
a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,…
olla geometrinen
a) Kyllä
q=2
b) Ei
Lukujonon osoittaminen geometriseksi
Lasketaan an+1 / an mielivaltaisella kohtaa n.
Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen.
E.2. Osoita, että jono an = 4·5n on geometrinen
a n 1
an

4 5
n 1
4 5
n
5
n:stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen
Geometrisen jonon yleinen termi an
an = aqn-1
missä
a = jonon ensimmäinen termi
q = suhdeluku
Geometrisen jonon ratkaiseminen
Lasketaan kaavan an = aqn-1 yhtälöstä kysytyn suureen
(an, a, n tai q) arvo
TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla,
sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.
E.3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi?
a=3
q=6/3=2
a10 = 3  210-1 = 1536
E.4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi.
Mikä on ensimmäinen termi?
q = 8/4 = 2
a8 = 8
8 = a  27
a = 1/16
an = aqn-1
E.5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa
256, 128, 64, …?
a = 256
q = 128/256 = ½
1 = 256  (½)n-1
(½)n-1 = 1/256
lg(½)n-1 = lg(1/256)
TAI
(½)n – 1 = (½)8
n – 1= 8
n=9
n - 1 = lg(1/256)/lg(½)
n–1=8
n=9
an = aqn-1
E.6. Geometrisessa jonossa a1 = 8 ja a13 = 1/8.
Mikä on jonon suhdeluku?
1/8 = 8  q 13- 1
q 12 = 1/64
q=
1
 12 (
12
q
)
64
12
1
64
1
q
12
q
2

6
1
2
½

1
12
64
1
2
an = aqn-1
E.7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a7 = 3.
Mikä on jonon ensimmäinen termi?
a 7  aq
7 1
7 1
3  a (½)
3  a (½)
1
6
a3
64
a = 192
an = aqn-1
E.8. Geometrisen jonon a3 = 6 ja a7 = 24.
Määritä a1 ja q.
3 1

a

aq
 3

7 1

a

aq
 7
6

a  2
q

 24  aq 6

 6  aq 2

 24  aq 6
24 
6
q
2
q
6
6 q  24
4
q 2
q 4
4
a
6
q
2

6
( 2)
2
3
a
6
q
2

6
( 2 )
2
3
an = aqn-1
E.9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1,… on geometrinen.
2x 1
x2

x2
x
2x2 – x = x2 – 4x +4
x2 + 3x – 4 = 0
Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4
an = aqn-1
2.4.2. Geometrinen summa
= on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon
n
Sn = a1 + a1q+ a1
q2
+ … + a1
qn-1 =

a1 q
k 1
missä (ak) on päättyvä geometrinen jono
ks. E.1. s. 106
k 1
EI KIRJOITETA
Onko summa geometrinen
a) 8 + 16 + 32 + 64
on
10
b)
 100  1, 07
k 1
k 1
k:sta riippumaton vakio
on
c) 4 + 6 + 9 + 13
ei
a k 1
ak

100  1, 07
100  1, 07
k
k 1
 1, 07
Geometrisen summan kaava
Sn =

a (1  q )
n
n
aq
k 1
k 1

1 q
kun q ≠ 1
n
Sn =  a
 a  a  a  ...  a  na
kun q = 1
k 1
missä
a = ensimmäinen yhteenlaskettava
q = suhdeluku
n = yhteenlaskettavien lkm
E.10. Laske S10 summasta 2 + 4 + 8 + …
a=2
a (1  q )
10
1 q
2 (1  2 )
10

n
1 q
q=4:2=2
S 10 
a (1  q )
1 2
 2046
E.11. Geometrisessa summassa S10 = 1000 ja q = 2.
Mikä on ensimmäinen termi?
a (1  2 )
10
1000 
1 2
a(1 – 210) = -1000
a = 1000/1023
a (1  q )
n
1 q
E.12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava,
jotta summa ylittäisi 5115?
a=5
q=2
a (1  q )
n
Sn 
1 q
5 (1  2 )
5 (1  2 )
1 2
1 2
n

n
5(1 – 2n) = -5115
1 – 2n = -1023
-2n = -1024
2n = 1024
2n = 210
n = 10
V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115
 5115
Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109
1.9.
10 senttiä
2.9.
a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä
20 senttiä
a (1  q )
n
3.9.
40 senttiä jne.
1 q
b) Kuinka paljon syyskuun lopussa?
a = 10
q=2
a) n = 10
b) n = 30
10 (1  2 )
10
S 10 
1 2
V: 102,30 €
 10230
10 (1  2 )
30
S 30 
1 2
 1073741823 0
V: 107 374 182,30 €
E.3.
Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille
a (1  q )
n
1 q
Vuotuinen korko 3,0 %.
Korko tilille kuukausittain
a) Kolmen vuoden kuluttua?
b) Milloin 41 000 €?
Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 %
1. talletus
500  1,002536
(36 kuukautta tilillä)
2. talletus
500  1,002535
(35 kuukautta tilillä)
500  1,0025
(kuukauden tilillä)
…
viimeinen
3. vuoden kuluttua rahaa tilillä:
500  1,002536 + 500  1,002535 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,002536 )
 500 
1, 0025 (1  1, 0025
1  1, 0025
36 n
)
 18857 ,31
a (1  q )
b)
n
Säästämisaika n kuukautta
1 q
1. talletus
500  1,0025n
2. talletus
500  1,0025n-1
…
Viimeinen
500  1,0025
500  1,0025n + 500  1,0025n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,0025n )
1, 0025 (1  1, 0025 )
n
500 
1  1, 0025
  200500 (1  1, 0025 )
-200 500(1 - 1,0025n) = 41000
1 - 1,0025n = -82/401
-1,0025n = -483/401
1,0025n = 483 / 401
n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5
n