Transcript Harmonijski oscilator

Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
HARMONIJSKI
OSCILATOR
FIZIKA 1
elongacija
- udaljenost od ravnotežnog položaja
jednadžba gibanja/titranja
perioda T
- vrijeme trajanja 1 titraja
učestalost ili frekvencija titranja
amplituda A
- putanja, x=x(t)
n = 1/T
- maksimalna elongacija
FIZIKA 1
- gibanje materijalne točke kod kojega se ona vraća u početni položaj
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Titranje
Njihalo
Opruga s utegom
x=A
x=0
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Elongacija i amplituda titranja
x=-A
x=-A
x=0
x=A
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Titranje opruge
-
povratna sila ili elastična sila opruge Fe
nastoji uteg vratiti u ravnotežni položaj
Fe = − k (x-xo)= − k Dx
Položaj
otklona
Ravnotežni
položaj
elongacija
konstanta elastičnosti opruge
(ovisi o njezinim dimenzijama,
obliku i materijalu od kojega je izrađena)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
+
FIZIKA 1
Titranje opruge – elastična sila
Elastična sila
Fe = − k Dx
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Titranje opruge – Hookeov zakon
ravnotežni
položaj
+
-
Uvjet ravnoteže
-kx
elastična sila
mg sila teža
R = Fe+ Fg =0
-kDx - mg =0
-kDx = mg
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Titranje opruge
rezultanta
R = Fe+ Fg
= -kDx – mg
= -k s
Harmonijska sila
Tijelo koje titra pod utjecajem harmonijske sile nazivamo harmonijski oscilator
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Titranje opruge
Bilo koji položaj
Fe   ks
2. Newtonov zakon – općenit izraz za silu
F  Fe
sila koja djeluje u fizičkom sustavu
(npr. elastična)
m s   ks
:m
k
Jednadžba gibanja
s 
s0
Jednadžba harm. oscilatora
m
Diferencijalna jednadžba (d.j.) harmonijskog oscilatora
(vrsta: homogena, drugog reda)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
F  ma  m s
FIZIKA 1
Harmonijski oscilator – jednadžba gibanja
Rješenje je periodična funkcija oblika
Odnos konstanti određuje se uvrštavanjem rješenja u d.j.
Kružna frekvencija
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Harmonijski oscilator – rješenje jednadžbe
Harmonijski oscilator – frekvencija
 
FIZIKA 1
Kružna frekvencija
k
Općenito vrijedi
(relacija veze kružne frekvencije i periode)

2
T
f 
1
k
2
m
 2  f
Frekvencija titranja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
m
Rješenje d.j. harmonijskog oscilatora
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Harmonijski oscilator – rkešenje jednadžbe
x t   A  sin   t   0 
brzina
v t   x ( t )  A    cos   t   0 
ubrzanje
2
2
a t   x( t )   A    sin   t   0      x t 
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
putanja
FIZIKA 1
Harmonijski oscilator – s,v,a
4k
4m
m,k,A
4k, 4m
2A
Applet by Garrett Heath
http://kspark.kaist.ac.kr/Human%20Engineering.files/oscillator/oscillator.htm
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Harmonijski oscilator – mijenjanje parametara
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
MATEMATIČKO NJIHALO
J
l
m
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
MATEMATIČKO NJIHALO
FIZIKA 1
J
l
T
Napetost niti
m
Gt
Gn
G=mg
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
MATEMATIČKO NJIHALO
J
Gt = mg sin J
l
Gn = mg cos J
T
m
Gt
Gn
G=mg
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
MATEMATIČKO NJIHALO
MATEMATIČKO NJIHALO
J
FIZIKA 1
Gt = - mg sin J
l
mat = - mg J
T
jer je
m
Gt
Gn
G=mg
at = -g J
at = la
aJ
l J =- g J
kutno ubrzanje
Diferencijalna jedn. matemat. njihala
Homogena, drugog reda
J  g/l J 0
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Gaussove aproksimacije za mali J vrijedi: sin J J
J
d.j. harm.oscilatora
l
rješenje
T
m
Gt
Gn
J  J sin(  t   0 )
o
 
l
perioda T 
G=mg
g
2

Kružna
frekv.
 2
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
J  g/l J  0
FIZIKA 1
MATEMATIČKO NJIHALO
l
g
f 
1
g
2

f 
1
k
2
m
Vlastita frekvencija - ovisi o geometrijskim i fizikalnim
(elastičkim, inercijskim...) svojstvima
sustava
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Vlastita frekvencija titranja f=1/T
Projekcije vektora na osi
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Rotirajući vektor ili fazor
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
OP’ - rotirajući vektor ili fazor
dt
2

k
s0
d.j. harm.oscilatora
m
=v
2
d s
dt
v
dv

ds
mv
dv
k
2
=v
d  ds  dv ds
dv ds
dv




v


dt  dt  dt ds
ds dt
ds
s0
m
m
 ks  0
ds
mvdv  ksds  0
ds
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
2
d s
FIZIKA 1
Energija titranja
mvdv  ksds  0
 mvdv   ksds
0
m  vdv  k  sds  C
m
v
2
2
Kinetička
energija
k
s
2
 E
2
Potencijalna
energija
Ukupna energija
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Energija titranja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Energija titranja
v=0
Ek= 0
Ep= max
v= max
Ek= max
Ep= 0
v=0
Ek= 0
Ep= max
Ukupna energija
je očuvana
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Energija titranja
FIZIKA 1
okretište
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Energija titranja
okretište
Kinetička energija
T 
mv
2
Potencijalna energija
2

1

k A x
2
2
2

U    F dx     kx dx 
E
E UK
U
T
x
1
2
kx
2
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Energija titranja
E 
1
kA
2
2
Amplituda titranja je mjera za
energiju kojom sustav titra!
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Energija titranja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
PRIGUŠENO TITRANJE
- titranje kod kojega postoji gubitak energije (npr. zbog trenja)
- spec. slučaj
Ftr   bv
brzina
koeficijent trenja
jer sila trenja i brzina imaju suprotan smjer
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
PRIGUŠENO TITRANJE
F  ma  m s
Sile u fizičkom sustavu
Fe   ks
Ftr   bv   b s
F  Fe  Ftr
elastična sila
sila trenja
m s   ks  b s
s 
b
m
s 
k
:m
s0
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
2.N.z.
FIZIKA 1
PRIGUŠENO TITRANJE – jednadžba gibanja
m
Diferencijalna jednadžba prigušenog titranja
PRIGUŠENO TITRANJE – jednadžba gibanja
m
s 
k
s0
m
o2
2d
vlastita frekvencija titranja
koeficijent prigušenja
s  2 d s   o s  0
2
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
s 
b
FIZIKA 1
Diferencijalna jednadžba prigušenog titranja - oblik
PRIGUŠENO TITRANJE – jednadžba gibanja
s  2 d s   2 s  0
Rješenje je oblika
s t   Ae
 d t
 sin  t   o 
Amplituda titranja - eksponencijalna funkcija
s
Ae
 d t
t
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Diferencijalna jednadžba prigušenog titranja - rješenje
PRIGUŠENO TITRANJE – promjena amplitude
es
Eksponencijalna funkcija koja guši titranje Ae
 d t
x = A sin 0t
A
T/2
T
3T/2
2T
t
-A
Rezultantna funkcija – prigušena sinusioda
s t   Ae
 d t
 sin  t   o 
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Neprigušeno titranje – periodička funkcija sin  t   o 
FIZIKA 1
Amplituda prigušenog titranja
PRIGUŠENO TITRANJE- promjena frekvencije
Rješenje d.j. prigušenog titranja
s t   Ae
 d t
 sin  t   o 
Rješenje zadovoljava dif. jednadžbu prigušenog titranja s  2 d s   s  0
2
Uvrštavanjem rješenja u jednadžbu dobije se relacija:
o  d    0
2
2
2
  0  d 2
2
Frekvencija prigušenog titranja
je manja od
vlastite frekvencije oscilatora
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Frekvencija prigušenog titranja
Prigušeno titranje - amortizer
cilindar
ulje
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Prigušeno titranje - Taipei 101 tower
Taiwan, dovršen 2004.
visina 509 m, 101 kat
Najviša zgrada do strukturnog vrha,
Najviši iskoristivi kat,
Najbrže dizalo (16,8 m/s)
problemi stabilnosti
potresi
tajfuni
http://www.emporis.com/en/wm/bu/?id=100765
http://en.wikipedia.org/wiki/Taipei_101_tower
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Kako prigušiti titranje?
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Taipei 101 maseni prigušivač
– 800 t maseni prigušivač (mass damper)
pomaže stabilizaciji pri jakim vjetrovima i
potresima
– konstruiran u obliku kugle (lijepljene
čelične ploče), koja visi na 4 snopa čelične
užadi, s donje je strane učvršćena
cilindričnim amortizerima
– ponaša se kao ogromno njihalo koje
prigušuje njihanje zgrade (amlitude
titranja se prigušuju za 30-40%)
– najveća moguća amplituda gibanja kugle
je 1,65 m.
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Taipei 101 maseni prigušivač
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Taipei 101 maseni prigušivač
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Prigušeno titranje - primjena
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
PRISILNO TITRANJE
F ( t )  F0  sin  t
povećavanje amplitude titranja
- realni sustav: postoji prigušenje
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
- titranje kod kojega djeluje vanjska oscilatorna sila F(t)
FIZIKA 1
Prisilno titranje
Prisilno prigušeno titranje
(pogonjeni prigušeni oscilator)
F  ma  m s
Sile u fizičkom sustavu
Fe   ks
F  Fe  Ftr  F p
elastična sila - titranje
Ftr   bv   b s
F p  Fo sin  t
sila trenja - prigušenje
vanjska oscilatorna sila
(prisilno titranje)
m s   ks  b s  Fo sin  t :m
s 
b
m
s 
k
m
s
Fo
sin  t
m
Diferencijalna jednadžba prisilnog prigušenog titranja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
2.N.z.
FIZIKA 1
Prisilno titranje s prigušenjem
PRIGUŠENO TITRANJE – jednadžba
m
s 
k
s
m
Fo
sin  t
m
o2
2d
Ao
vlastita frekvencija titranja
koeficijent prigušenja
s  2 d s   o s  A o sin  t
2
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
s 
b
FIZIKA 1
Diferencijalna jednadžba prisilnog prigušenog titranja - oblik
PRISILNO PRIGUŠENO TITRANJE – rješenje
s  2 d s   o s  A o sin  t
2
Rješenje je oblika
s t   A ( ) sin  t   
Amplituda titranja – ovisna o frekvenciji
Kašnjenje (zbog gušenja)
u fazi u odnosu na
vanjski oscilator
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Diferencijalna jednadžba prisilnog prigušenog titranja - rješenje
PRISILNO PRIGUŠENO TITRANJE – amplituda
F0
A   
m

2
0

2

2
 4d 
2
2
gušenje spriječava
porast amplitude do
beskonačnih vrijednosti
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Amplituda titranja
Bez ovog člana u potkorjenskom izrazu amplituda bi bila
A ( ) 
F0
m ( 0   )
  o
2
2
prisilno titranje
bez prigušenja
A 
rezonancija
m ( 0   )
2
F0
A   
2
m
Neprigušeno titranje

2
0

2

2
 4d 
Prigušeno titranje
A ( )
0,5
1
0,5
rezonancija
  0
2
2
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
A ( ) 
F0
područje vlastitih frekvencija titranja
unutrašnjih organa čovjeka, f < 15 Hz → područje
frekvencija INFRAZVUKA
Titranja unutrašnjih organa
nefiziološka pojava
male amplitude - fiziološki poremećaji
velike amplitude titranja - moguć smtrtni
ishod
učinci preostaju dugo vremena
Rezonancija na unutrašnjim organima izazvana infrazvukom - moćno oružje
bez primjene (do sada...)
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
Primjer rezonancije – medicina - titranje unutarnjih organa
Primjer rezonancije – građevinarstvo – Tacoma Narrows Bridge (USA)
(aerolastic fluttering)
Energija koju je vjetar doveo mostu
neutralizirala je prirodno
prigušenje strukture pa se
amplituda oscilacija povećavala
do rušenja
Brzina vjetra koja izaziva fenomen
tzv. flutter velocity bila je 68 km/s.
Fenomen moguć i kod sporijih
vjetrova stalnog toka !
http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_%281940%29
http://www.ketchum.org/billah/Billah-Scanlan.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Aeroelasticity#Flutter
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Torzijske ocilacije uzrokovane aeroelastičnim podrhtavanjem (lepršanjem)
FIZIKA 1
July - November 1940.
Svaki sustav može se potaknuti na titranje
Sustav titra vlastitom frekvencijom, koja ovisi o
geometrijskim i fizikalnim svojstvima sustava
Sustav će titrati amplitudom, koja ovisi o energiji kojom
sustav titra
Ako djeluje vanjska periodična sila frekvencije usklađene s
vlastitom frekvencijom sustava dolazi do rezonancije
(maksimalnog prijenosa energije → raste amplituda
titranja)
Titranje sustava se u realnim uvjetima prigušuje (gubitak
energije titranja→ smanjuje se amplituda titranja).
Doc.dr.sc. Marta-Žuvić Butorac, nastupno predavanje, 2007
REZIME