Transcript Wykład nr 4 - Techniki sieciowe

Zarządzanie Projektami
Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk
e-mail: [email protected]
www.chwastyk.pwsz.nysa.pl
Wprowadzenie do technik sieciowych
Wykorzystanie metod sieciowych w planowaniu przedsięwzięć składa się z
kilku etapów:
1. Punktem wyjścia metod sieciowych jest sporządzenie listy czynności
(zadań cząstkowych) składających się na przedsięwzięcie, ustalenie
zależności pomiędzy nimi (kolejności ich wykonywania) i czasów ich
trwania. W zależności od tego jak określone są czasy trwania czynności
wyróżnia się m.in. metody sieciowe deterministyczne i stochastyczne.
Deterministyczne modele sieciowe zakładają, że czasy trwania czynności są
określone jednoznacznie (jedną liczbą), a najbardziej znaną jest tu metoda
CPM (Critical Path Method) oraz jej rozszerzenie o analizę czasowokosztową CPM-COST.
Modele stochastyczne zakładają, że czasy trwania czynności można określić
tylko z pewnym prawdopodobieństwem a najpopularniejszą z nich jest
PERT (Program Evaluation and Review Technique) oraz PERT-COST.
Wprowadzenie do technik sieciowych
2. Następnie przedsięwzięcie przedstawia się w postaci wykresu sieciowego
(sieci zależności, sieci czynności). Podstawowymi elementami każdego
wykresu sieciowego są: czynności i zdarzenia.
Czynność to dowolnie wyodrębniona część przedsięwzięcia charakteryzująca
się czasem trwania i zużywaniem środków. Obrazem graficznym czynności są
strzałki (wektory). Kierunek strzałki (łuku) wskazuje kierunek przebiegu
czynności w czasie (kolejność ich wykonywania):
Czynność pozorna, to szczególny typ czynności, dla których
charakterystyczne jest to, że nie zużywają czasu (czas ich trwania jest równy
zeru) ani środków, a służą jedynie do przedstawienia zależności między
czynnościami. Graficznym obrazem czynności pozornej jest strzałka
przerywana:
Wprowadzenie do technik sieciowych
Zdarzenie w modelu sieciowym oznacza osiągnięcie stanu zaawansowania prac
przy realizacji przedsięwzięcia, jest to moment rozpoczęcia bądź zakończenia
jednej lub więcej czynności. Zdarzenia przedstawiamy graficznie za pomocą
kółek (lub innych figur geometrycznych, np. prostokąta, rombu):
Zdarzeniom przyporządkowuje się zwykle kolejne numery i = 1, 2, ..., n,
natomiast czynność charakteryzuje para wskaźników i-j, gdzie i jest numerem
zdarzenia, w którym czynność się rozpoczyna, a j — numerem zdarzenia w
którym czynność się kończy.
Wprowadzenie do technik sieciowych
Przy konstrukcji sieci obowiązują pewne reguły. Wymaga się mianowicie, aby w
modelu sieciowym przedsięwzięcia:
a) istniał dokładnie jeden wierzchołek (zdarzenie) początkowy i jeden
wierzchołek końcowy (postulat ten można spełnić wprowadzając tzw.
czynności pozorne)
b) wierzchołki i łuki (zdarzenia i czynności) były odpowiednio uporządkowane,
tzn. każdy poprzednik ma mieć mniejszy numer lub wcześniejszą literę od
następnika (zatem numerując zdarzenia należy zwracać uwagę na to, by
zdarzenie wcześniejsze miało mniejszy numer i < j); wymóg ten w praktyce
wyklucza wystąpienie cyklu (tzn. sytuacji, gdy wychodząc z jednego
wierzchołka i poruszając się po krawędziach, można do tego wierzchołka
wrócić);
c) dwa zdarzenia były połączone tylko jedną czynnością; jeżeli kilka czynności
wykonywanych równolegle poprzedza jedną, należy wprowadzić czynności
pozorne;
d) strzałki obrazujące czynności nie przecinały się.
Wprowadzenie do technik sieciowych
3. Wyznaczenie podstawowych charakterystyk sieci dotyczących zarówno
poszczególnych czynności i zdarzeń, jak i całego projektu
(najwcześniejszych możliwych i najpóźniej szych dopuszczalnych momentów
zaistnienia zdarzeń, zapasów czasu dla zdarzeń i czynności).
4. Wyznaczenie terminu końcowego realizacji całego przedsięwzięcia oraz
ścieżki krytycznej.
Metoda CPM - przykład
Rozważmy przykład zamontowania silnika do
samochodu.
Czynności
składające
się
na
to
przedsięwzięcie, kolejność ich wykonywania oraz czasy
trwania (w minutach) ustalone przed konstrukcją projektu
zestawiono w tabeli.
Przeprowadzić analizę sieciową tak sformułowanego
przedsięwzięcia, przyjmując jako kryterium optymalności
minimalizację czasu realizacji projektu.
Metoda CPM - przykład
Czynności
Opis czynności
Czas
trwania
Czynności
poprzedzające
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
r
s
t
zaczepić silnik hakami uchwytu
podnieść silnik do góry
opuścić silnik na poduszki zawieszenia silnika
podnieść skrzynię biegów wraz z tylną poprzeczką
zamocować poprzeczkę do podłogi
przykręcić wspornik rury wydechowej do skrzynki biegów i do rury wydechowej
połączyć linkę napędu licznika km do przekładni napędu prędkościomierza
przykręcić linkę wyłącznika sprzęgła do widełek
przykręcić przewód masy i przyłączyć przewody elektryczne do wyłącznika świateł cofania
podnieść wał napędowy
przyłączyć drążek zmiany biegów do dźwigni
zamontować przewód doprowadzający paliwo do pompy
przyłączyć przewód serwa podciśnieniowego
przyłączyć przewody gumowe łączące silnik z nagrzewnicą
założyć chłodnicę na wspornik w nadwoziu
zamocować chłodnicę u góry do szkieletu nadwozia
przyłączyć przewody gumowe do termostatu i pompy wodnej
przyłączyć wszystkie przewody elektryczne
napełnić układ chłodzenia płynem niezamarzającym
sprawdzić, czy kurki spustowe są dobrze zakręcone
założyć filtr powietrza na gaźnik wraz z oprzyrządowaniem
dokonać regulacji silnika
sprawdzić poprawność instalacji elektrycznej
sprawdzić poprawność montażu
wykonać test silnika na hamowani
3
2
4
5
7
10
5
7
8
3
8
3
2
7
5
10
10
17
5
1
30
10
8
15
23
—
a
b
a
c, d
c, d
e, f
e, f
g.h
i
j
j
j
k, 1, m
c, d
o
p
i
r
t
n, u
s, w
s, w
v, x
y
u
w
x
v
y
z
Metoda CPM - przykład
Dla każdego zdarzenia w sieci wyznacza się:
• najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia (t),
• najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia (T),
• zapas czasu (L).
Charakterystyki te wpisuje się do zdarzeń zazwyczaj w następujący sposób, przy czym i jest
numerem zdarzenia:
Metoda CPM - przykład
Rozważmy fragment analizowanego przedsięwzięcia, a mianowicie czynności k,
1, m i n. Czynność n musi być poprzedzona wykonaniem czynności k, 1, m. Ze
względu na konieczność spełnienia przedstawionych wymagań (punkt c),
czynności te nie mogą być narysowane równolegle pomiędzy zdarzeniami 13 i 17
jak to przedstawiono na rysunku.
Dlatego wprowadzamy tzw. czynności pozorne odzwierciedlające tylko następstwo
w czasie (czas ich trwania jest równy zeru) i wykres prawidłowo wygląda jak na
rysunku.
Metoda CPM – przykład – analiza w przód
Ponieważ zdarzenie
można uznać
za zrealizowane
dopiero
wówczas,
gdy zostaną
zakończone
Natomiast
najwcześniejszy
możliwy
moment
zaistnienia
zdarzenia
następnego
(j)
Analizę
ilościową
rozpoczynamy
od
określenia
najwcześniejszych
możliwych
wszystkie
prowadzące
do
niego
czynności,
dlatego
w
przypadku,
gdy
do
zdarzenia
dochodzi
więcej
niż
Wyznaczając
w tennajwcześniejszego
sposób najwcześniejsze
możliwe
momentyzaistnienia
zaistnieniazdarzenia
wszystkich
jest
równy
sumie
możliwego
momentu
momentów
zaistnienia
każdegomożliwy
zdarzenia
— zaistnienia
ti (wypełnienia
lewej jest
ćwiartki).
jedna
czynność
— najwcześniejszy
moment
tego zdarzenia
równy
kolejnych
zdarzeń,
stwierdzamy,
że
najwcześniejszy
możliwy
moment
zaistnienia
poprzedniego
oraznajwcześniejszy
czasu
trwania
prowadzącej
do zdarzenia
(czas
maksymalnej
z się,
tak(i)
obliczonych
wielkości,
czyli czynności
Przyjmuje
że
możliwy
moment
zaistnienia
zdarzenia
zdarzenia
końcowego
(tn — t23się
) wynosi
130
min.
trwania
czynności
i-j
oznacza
zwykle
jako
t ).
t
=
max
{t
początkowego jest równy zeru, tzn.
j t1 = 0. i +i-jti-j}
i tak np.w
dlanaszym
zdarzeniaprzykładzie
4
A zatem
dla zdarzenia 2:
t4 = max
+ 4; 3 + 5} = 9 minut.
t2 = t{5
l + t1-2 = 0 + 3 = 3.
Metoda CPM – przykład – analiza w tył
Obecnie
będziemywięcej
najpóźniejsze
Jeżeli
do wyznaczać
zdarzenia dochodzi
niż jedna dopuszczalne
czynność — momenty
wybieramyzaistnienia
wielkość
Następnie
wyznaczamy
najpóźniejsze
dopuszczalne
terminy
dla
wszystkich
poszczególnych
najmniejszą,
czylizdarzeń, zaczynając od zdarzenia końcowego i poruszając się w
pozostałych
zdarzeń. Najpóźniejszy
dopuszczalny
moment zaistnienia
zdarzenia
kierunku przeciwnym
do zwrotu
strzałek.
Aby
przedsięwzięcie
zrealizować
w
Ti = min {Tj - ti-j}
poprzedniego
(i)
obliczamyczasie,
odejmując
od najpóźniejszego
dopuszczalnego
terminu
najkrótszym
możliwym
przyjmuje
się,
że
najpóźniejszy
dopuszczalny
Przykładowo, dla zdarzenia 13
zdarzenia
czas trwaniakońcowego
czynności i-j.jest równy najwcześniejszemu
moment następnego
zaistnieniaT(j)zdarzenia
13 = min {45-2; 45-3; 45 -8} = 37 minut,
terminowi
jego zaistnienia,
tzn. Tn =13tnwynosi
. Wielkość
tę wpisujemy
amożliwemu
więc najpóźniejszy
dopuszczalny
termin zdarzenia
37 minut.
arbitralnie w prawej ćwiartce zdarzenia końcowego.
Metoda CPM – przykład – zapasy czasu
Również dla poszczególnych czynności można wyznaczyć najwcześniejsze
Mając wyznaczone najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne
możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty rozpoczęcia i zakończenia oraz
momenty zaistnienia zdarzeń (t oraz T), obliczamy zapasy czasu dla
zapasy czasu. Zapasy czasu dla czynności wyznacza się według wzoru:
poszczególnych zdarzeń. Zapas czasu zdarzenia jest różnicą między
Z = (Tj – ti-j) - ti
najpóźniejszym dopuszczalnym i-j
a najwcześniejszym możliwym terminem jego
I tak np. dla czynności d (2-4) : Z2-4 = (9 - 5) - 3 = 1, dla czynności b (2-3): Z2-3 = (5 zaistnienia, czyli:
2) - 3 = 0
Lj = Tj – tj
np.: L15 = T15 – t15 = 45 – 40 = 5 minut
Metoda CPM – przykład – ścieżka krytyczna
Znając
termin
końcowy
realizacji
całego przedsięwzięcia
przedsięwzięcia należy
wyznaczyć
Tak więc
termin
końcowy
realizacji
Tk = jeszcze
130 min
(termin
ścieżkę
krytyczną.
Drogą
ścieżką wasieci
nazywamy
ciąg czynności
i zdarzeń
zamontowania
silnika
do albo
samochodu),
na ścieżce
krytycznej
leżą następujące
umożliwiający
przejście od początkuJak
do już
końca
sieci (każda
ścieżka
krytyczna
czynności a-b-c-f-h-i-j-k-n-w-x-y-z.
zauważono,
ścieżka
krytyczna
jest
rozpoczyna
się wwzdarzeniu
początkowym,
kończy
w zdarzeniu
najdłuższą drogą
sieci, a czas
jej trwania a(suma
czasów
kolejnychkońcowym).
czynności
Ścieżką
nazywamy
drogę,jest
której
czas przejścia
jestkońcowemu
najdłuższy (wszystkie
leżącychkrytyczną
na ścieżce
krytycznej)
równy
terminowi
(w tym
czynności
być Dla
zakończone).
Czynności
zdarzenia że
leżące
na niej może
mają
przypadku muszą
130 min).
uzupełnienia
należy izaznaczyć,
w sieciach
zerowe
zapasy
czasu.niż jedna ścieżka krytyczna.
występować
więcej
Metoda CPM – przykład – ścieżka krytyczna
Wyznaczenie ścieżki krytycznej ułatwia kontrolę przebiegu realizacji
przedsięwzięcia i dotrzymanie terminu końcowego. Umożliwia także
szybką ocenę, jak zmiany lub opóźnienia terminów rozpoczęcia czynności
wpłyną na terminowe ukończenie przedsięwzięcia.
Znajomość czynności krytycznych ułatwia planowanie, kierowanie i
koordynację realizacji przedsięwzięcia, ponieważ przekroczenie terminu
zakończenia którejkolwiek czynności krytycznej powoduje opóźnienie
wykonania całego projektu.
Warto jednak zauważyć, że nie można wyłączyć spod kontroli czynności
leżących poza ścieżką krytyczną, bowiem ich opóźnienia nie mają wpływu
na termin końcowy i ścieżkę krytyczną tylko wówczas, gdy opóźnienia te
mieszczą się w granicach posiadanych zapasów czasu. Jeżeli natomiast
zniknie zapas czasu dla jakiegokolwiek ciągu czynności niekrytycznych,
natychmiast pojawi się nowa ścieżka krytyczna, która będzie wpływać na
termin realizacji przedsięwzięcia. Ciągi czynności niekrytycznych,
wykazujące nieznaczne zapasy czasu, określane są jako drogi podkrytyczne
i przy analizie sieci czynności wymagają również szczególnej uwagi.
Metoda PERT- przykład
Dla każdej czynności dane są trzy oceny czasu jej trwania:
a - czas optymistyczny (czas trwania czynności w najbardziej sprzyjających warunkach),
b - czas pesymistyczny (czas trwania czynności w najmniej sprzyjających warunkach),
m - czas modalny, najbardziej prawdopodobny (czas, który najczęściej występuje przy
wielokrotnym powtarzaniu czynności).
Spełniona jest przy tym relacja: a ≤ m ≥ b.
Na podstawie tych trzech ocen oblicza się oczekiwany czas trwania czynności te wg
następującego wzoru:
te 
a  4m  b
6
i wariancję czasu oczekiwanego:

2
i j
ba


 6 
2
która określa spodziewane odchylenie rzeczywistego czasu trwania czynności od
wyznaczonego czasu oczekiwanego.
Metoda PERT– przykład
Mając dane czynności składające się na przedsięwzięcie P, ich następstwo oraz
czasy trwania (tabela) należy określić:
a) najkrótszy czas trwania przedsięwzięcia,
b) prawdopodobieństwo dotrzymania założonego terminu td = 30 dni.
Czynności
i-j
a
m
b
1-2
1-3
1-4
2-5
2-7
3-5
3-6
4-5
5-6
5-7
6-7
6-8
7-8
1
3
1
2
1
3
1
5
2
1
6
4
4
2
5
4
3
5
6
2
10
8
2
6
5
4
3
7
7
4
9
9
3
15
14
3
6
6
4
Czasy (w dniach)
Czasy oczekiwane te
2
5
4
3
5
6
2
10
8
2
6
5
4
Metoda PERT– przykład
Tak więc wg wzoru podanego na początku tego podrozdziału obliczamy
wariancje
σ2i-j dlaoczekiwane
czynności krytycznych:
Biorąc
pod uwagę
czasy trwania czynności te, podobnie jak przy
przeprowadzonych
wynika,
że 5spodziewana
wielkość
odchylenia
WZ tym
jednak wypadkuobliczeń
termin
zakończenia
wielkością
7 1
25
2
 15i możliwe
 przedsięwzięcia
 14  jest
Ścieżka
przebiega
przez
zdarzenia
czynności:
metodziekrytyczna
CPM wyznaczamy
najwcześniejsze
i
najpóźniejsze
dopuszczalne





 1 
 
  4
rzeczywistego
terminu
wykonania
przedsięwzięcia
od
wyznaczonego
z sieci
losową,
rzeczywisty
termin
końcowy
może
się
od
niego
mniej
6
6
9
6

 lub bardziej
– 4 – 5 – 6 –termin
7 – 8, realizacji przedsięwzięcia
terminy zaistnienia zdarzeń
i 1oczekiwany
oraz
terminuStąd
oczekiwanego
dni)znajomość
wynosi
±2,78.
różnić.
niezbędna(32jest
tego
odchylenia
—
wariancji
 zdarzenia,
4
 6  6 te
zakończenia
 4iprzedsięwzięcia
a najwcześniejszy
oczekiwany
termin
wynosi
32
ścieżkę
krytyczną (przechodzącą
przez
czynności
których
zapasy



0





  0 przedsięwzięcia).
oczekiwanego terminu wykonania
(czyli
czasu
trwania
6 zaznaczono
 6 pogrubionymi

 strzałkami

dni. Ścieżka
zaznaczona
czasu
są równekrytyczna
zeru). Najest
wykresie
czynności
krytyczne
pogrubionymi
2
Wariancja terminu wykonania (σ Tw) jest sumą wariancji czynności krytycznych.
strzałkami.
2
2
2
1 4
2
2
45
2
56
2
2
2
67
2
 Tw  1 
25
9
400 
2
7 8
70
9

 Tw 
70
9
 2 , 78
Metoda PERT– przykład
Znając oczekiwany termin wykonania oraz jego wariancję można także obliczyć
prawdopodobieństwo, że przedsięwzięcie będzie zakończone w pewnym
narzuconym z góry (dyrektywnyni) terminie td. Aby określić to
prawdopodobieństwo oblicza się statystykę daną następującym wzorem:
x 
td  tw
2
 Tw
gdzie: td jest narzuconym z góry terminem, tw — oczekiwanym terminem
wykonania przedsięwzięcia (najwcześniejszym możliwym terminem zdarzenia
końcowego), a σ2Tw - wariancją terminu wykonania.
Dla obliczonego współczynnika x z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego
odczytuje się prawdopodobieństwo dotrzymania narzuconego z góry terminu, tzn.
P t d  t w   F  x 
Metoda PERT– przykład
W rozpatrywanym przykładzie tw= 32, a załóżmy, że interesuje nas
prawdopodobieństwo dotrzymania terminu td = 30. Wobec tego
x 
30  32
70

2
2 , 78
  0 , 71
9
a
F(-0,71) = 0,236651
Jeżeli wartości prawdopodobieństwa dotrzymania terminu planowanego znajdują
się w granicach od 0,25 do 0,6, to dotrzymanie tego terminu jest realne. Jeśli F(x)
≤ 0,25 (tak jak w tym przykładzie), to istnieje znikoma szansa dotrzymania
terminu dyrektywnego. Jeśli F(x) > 0,6, to istnieją nie wykorzystane moce
produkcyjne (istnieje nadmiar zasobów siły roboczej, maszyn, urządzeń itp.) do
wykonania przedsięwzięcia w terminie dyrektywnym.
Metoda PERT– przykład
Omawiając metody planowania sieciowego, zwracaliśmy uwagę przede
wszystkim na analizę ilościową. Niemniej ważnym zagadnieniem
programowania sieciowego jest aspekt ekonomiczny i możliwość
modyfikacji modelu przez kompresję sieci wynikającą ze zbyt długiego dla
inwestora lub odbiorcy okresu realizacji przedsięwzięcia. Względy
ekonomiczne sprawiają, że należy wówczas rozpatrzyć techniczne
możliwości skrócenia terminu wykonania całego programu w taki sposób,
aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe. A zatem
określenie optymalnego terminu realizacji przedsięwzięcia wiązać się
będzie z takim ułożeniem programu przyspieszenia, aby największa
akceleracja przypadała na te czynności krytyczne, których koszty
przyspieszenia będą najniższe. Wynika to z faktu, że każde przyspieszenie
terminu wykonania czynności powoduje wzrost kosztów (wyłączając
drobne usprawnienia organizacyjno-techniczne), a odbiorca oczekuje
efektu przy minimum wzrostu kosztów.
Metoda CPM-COST - przykład
Przed przystąpieniem do prezentacji analizy CPM-COST należy podać
podstawowe określenia i oznaczenia:
tn - normalny czas trwania czynności, któremu odpowiadają najniższe koszty
wykonania czynności Kn,
tgr - czas graniczny, najkrótszy możliwy ze względów technicznych i
technologicznych czas wykonania czynności przy koszcie granicznym Kgr.
Zakładając liniowy przebieg zależności kosztów wykonania czynności od czasu jej
trwania, możemy wyznaczyć tzw. średni gradient kosztu S, wg następującego
wzoru:
S 
K gr  K n
t n  t gr
 tg 
Współczynnik ten określa przyrost kosztów wykonania czynności spowodowany
skróceniem czasu jej wykonania o jednostkę.
Metoda CPM-Cost – przykład
Algorytm kompresji sieci jest następujący:
1. Na podstawie normalnych czasów trwania czynności wyznaczyć termin
końcowy i ścieżkę krytyczną.
2. Zestawić czynności krytyczne i obliczyć dla nich gradienty kosztów S.
3. Wyeliminować z zestawienia te czynności krytyczne, dla których
średni gradient kosztów nie istnieje, tzn. tn = tgr .
4. Proces skracania rozpocząć od czynności krytycznej o najniższym
gradiencie kosztów S.
5. Przy skracaniu czasu trwania czynności należy czas o jak największą
liczbę jednostek czasu (dni), dwa ograniczenia:
• czas graniczny danej czynności tgr,,
• pojawienie się nowej ścieżki krytycznej.
6. Nowa ścieżka krytyczna pojawi się, jeżeli zniknie zapas czasu w ciągu
czynności niekrytycznych.
7. Jeżeli występują dwie lub więcej ścieżek krytycznych w sieci, należy
skracać czas o tę samą wielkość na wszystkich równoległych ścieżkach
krytycznych.
Metoda CPM-Cost – przykład
8. Najkrótszy termin wykonania programu sieciowego uzyskuje się, gdy
wszystkie czynności leżące na którejkolwiek drodze krytycznej
osiągną czasy graniczne tgr.. Dalsze skracanie czasu wykonania
programu jest wówczas niemożliwe.
9. Koszty przyspieszenia na każdym etapie oblicza się jako iloczyn
gradientu kosztów (S) dla danej czynności i liczby jednostek czasu
(dni), o które dana czynność krytyczna została skrócona. Łączne
koszty przyspieszenia są sumą kosztów poniesionych na
poszczególnych etapach.
Zaprezentowany algorytm do wyznaczania optymalnego programu
akceleracji czynności i określenia najkrótszego czasu wykonania
całego przedsięwzięcia przy minimum kosztów stosuje się zarówno
do sieci CPM, jak i PERT.
Metoda CPM-Cost – przykład
Mając dane charakteryzujące przedsięwzięcie P (tabela) dokonać
skrócenia całkowitego czasu wykonania programu tak, aby koszt
przyspieszenia terminu ukończenia przedsięwzięcia był jak
najmniejszy.
i-j
tn
tgr
Kn
Kgr
S
1-2
1-4
2-3
8
10
6
6
5
4
280
100
300
400
150
400
60
10
50
3-6
4-5
12
15
10
15
260
150
300
150
20
—
5-6
10
2
200
1290
360
1780
20
Metoda CPM-Cost – przykład
Po wykreśleniu siatki zależności (rysunek) wyznaczamy ścieżkę krytyczną, która
przebiega przez zdarzenia 1 – 4 – 5 – 6.
i-j
tn
tgr
Kn
Kgr
S
1-2
8
6
280
400
60
1-4
10
5
100
150
10
2-3
6
4
300
400
50
3-6
12
10
260
300
20
4-5
15
15
150
150
—
5-6
10
2
200
360
20
1290 1780
40
12
8
40
18
14
30
26 30
26
55
6
5
5
20 20
Czynnością, która znajduje się na ścieżce krytycznej, a której czas wykonania
może jeszcze ulec przyspieszeniu, jest czynność 5 - 6. Czas graniczny dla tej
Rozpoczynamy
czynności
o najmniejszym
wzrostu
kosztów
S,teja
czynności
jest od
równy
2. Zauważmy
jednak,
że agdybyśmy
czas
trwania
Termin wykonania
przedsięwzięcia
wynosi
35współczynniku
dni,
zapas czasu
ciągu
czynności
więc
od czynności
dla
S = Skrócenie
10.
Czas trwania
tej czynności
możemy
czynności
skrócili1-2-3-6
do1—4,
2 dni,
to której
i tak9 termin
końcowy
przedsięwzięcia
wyniósłby
26
niekrytycznych
wynosi
dni.
czasu
całkowitego
wykonania
skrócić
dni (tgr =
5 dni).czas
Tym
samym
czas wykonania
całego
dni
(bo do
tyle5 można
wynosi
obecnie
trwania
drugiej
drogi
w sieci),
aprzedsięwzięcia
ponieślibyśmy
programu
uzyskać
dzięki
skróceniu
czasów
trwania
czynności
zostanie
skrócony
30 dni,naatym
wzrost
kosztów
spowodowany
tym skróceniem
niepotrzebne
koszty.doDlatego
etapie
czas wykonania
tej czynności
zostanie
krytycznych.
wyniesie:
skrócony tylko do 6 dni (o 4 dni). Termin ukończenia ostatniego zdarzenia
K1 = Swzrosną
· Δt — 10
wyniesie 26 dni, a koszty
o: · 5 = 50 jedn. pieniężnych.
K — 4 · 20 = 80 jedn. pieniężnych.
Metoda CPM-Cost – przykład
i-j
tn
tgr
Kn
Kgr
S
1-2
8
6
280
400
60
1-4
10
5
100
150
10
2-3
6
4
300
400
50
3-6
12
10
260
300
20
4-5
15
15
150
150
—
5-6
10
2
200
360
20
1290
1780
0
14
8
0
26
26
5
6
5
5
20
20
Można skrócić czas czynności 5-6 jeszcze o 4 dni, aż do osiągnięcia czasu granicznego 2
W
sytuacji powstaną
ścieżki
dni.tejRównocześnie
jednak dwie
należyrównoległe
skrócić o tyle
samokrytyczne:
czas wykonania czynności leżących
1 – 2 – 3 3-6
– 6 (o 2 dni) i 2-3 (o 2 dni). O kolejności
na drugiej ścieżce krytycznej, a więc czynności
oraz
skracania czasu czynności decyduje niższy gradient kosztów. Czas ukończenia całego
przedsięwzięcia będzie zredukowany do
związane ze skróceniem czasu na
1 –224dni,
– 5 a– koszty
6
tym tego
etapiemomentu
wyniosą: skracania należy dokonywać równolegle na obydwu ścieżkach.
Od
5 –programu
6
· 20 =możliwe,
80
Skracanie czasu wykonania
jest 4nadal
bo na obu ścieżkach
6
2 · 20 =które
40 nie osiągnęły czasów
krytycznych znajdują się3 – jeszcze
czynności,
2–3
2 · 50 = 100
granicznych.
K3 = 220
Metoda CPM-Cost – przykład
3
Dalsze skracanie czasu programu jest niemożliwe, bowiem wszystkie czynności
leżące na drodze krytycznej 1-4-5-6 osiągnęły czasy graniczne. Wykres sieciowy
po dokonanych skróceniach przedstawiono na rysunku.
Całkowity koszt przyspieszenia czasu wykonania przedsięwzięcia (Ko) z 35 do 22
dni jest równy sumie kosztów skracania poniesionych na kolejnych etapach i
wynosi:
Ko = K1 + K2 + K3 = 50 + 80 + 220 = 350 jedn. pieniężnych.