Matice Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín

Definice

• Tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné.

• • • Tato matice má dva řádky a tři sloupce. Prvky matice se značí pomocí indexů, namísto velkého písmene se používá malé písmeno: a 11 0 nebo a 23 = 51. První index udává řádek a druhý index sloupec.

=

•

Druhy matic

Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků jako sloupců.

• Nulová matice je matice, která má na všech pozicích nuly. a ij = 0.

• Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava.

• Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek.

• Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = A T . Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že a ij = a ji .

• Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −A T . Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a = −a = 0.

• Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno.

• Matice transponovaná k matici A je matice A T , u které platí a ij = a T ji , tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka zaměníte řádky matice za sloupce.

Operace s maticemi

• • • Sčítání (odčítání) matic: matice stejného typu (stejný počet sloupců a řádků) Výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. Sčítáme matice A + B = C, pak platí a ij + b ij = c ij .

• • Sčítání matic je komutativní a asociativní. A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C

• • •

Násobení matic nenulovým reálným číslem:

Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice. k· A = k· a ij .

• • • • Násobení matic: (matice musí splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice) Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé matice. Vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd. Tím získáte v nové matici C prvek c 11 .

• Nebo graficky:

Příklady:

Proveďte A + B, B – C, 2A – C, A * B, B * A, B * C - A

Determinant matice

• • • • Definovaný pouze na čtvercových maticích Číslo Je zapisován buď jako det A nebo |A| Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:

Laplaceova metoda pro výpočet determinantu

• • • Provádíme rozvoj podle nebo sloupce Rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí sloupec, jelikož se zde nachází nula (případně nejvíce nul).

První číslo: 2 + 1, tj. vyškrtneme druhý řádek a první sloupec, tím získáme submatici

Příklad:

Vypočítej determinant matice Sarrusovým pravidlem a Laplaceovou metodou

Využití determinantu matice při řešení soustavy rovnic

x

1 

A

1 ,

A x

2 

A

2 ,

A x

3 

A

3 ,

A

...

• |A| je determinant matice bez pravé strany, tj. bez čísel za rovnítkem • |A k | je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce čísly za rovnítkem

Příklad: Řešte soustavy rovnic

• 2x +3y = 4, x – y = 0 • x - y + 2z = 7, 2x - 3y + 5z = 17, 3x – 2y – z = 12 • x + 2y + 2z = 7, 2x + 3y = 7, x + 5y + z = 2

Inverzní matice

• • • Úpravou matice a připojené jednotkové matice získáme matici jednotkovou a inverzní.

Značíme A -1 Platí: A * A -1 = A -1 * A = E (jednotková matice) • Gauss - Jordanovou eliminační metodou

Výpočet inverzní matice

Gauss - Jordanova eliminační metoda • • • Postup: Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby: – – – záměna řádků vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem) přičtení násobku jednoho řádku k jinému Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.

• Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Příklad:

Ověřte zda jsou matice k sobě inverzní

Hodnost matice

• • • • Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků matice, zpravidla se označuje h Hodnost matice najdeme úpravami matice tak, že se snažíme vytvořit nulový řádek, který se v matici nezapisuje Nulová matice má hodnost h = 0 Hodnost matice se určuje u libovolné matice

Příklad: Určete hodnost matice

A

   2  1 4 4  3 2 1  6  3 5 4    , 4

B

1     3 2  2  6 4   1 3 2    ,

Využití inverzní matice – šifrování zprávy

• Vezmeme čtvercovou matici druhého řádu šifrovací

• • Zpráva se zapíše po sloupcích do matice. Matice se vynásobí zleva maticí šifrovací.

• Zprávu sepíšeme po sloupcích a můžeme poslat.

• Příjemce si najde inverzní matici k šifrovací

• Pomocí inverzní matice dešifrujeme zprávu: Poznámka: Zkuste šifrování pomocí matice třetího řádu.

•

Využití matic - násobení

Hospodyně si vedla záznamy svých nákupů a vytvořila si tuto tabulku:

Mléko - 1 l Sýr - 100 g Máslo - 250 g

Nákup č. 1 Nákup č. 2 Nákup č. 3 2 1 2 3 1 2 1 0 1 • Potraviny se dají koupit v různých cenách Mléko - 1 l Sýr - 100 g Máslo - 250 g

Kč - Tesco

13,50 11,50 22

Kč - Lidl

10 9 18 • Určete cenu nákupu, nakoupíme-li v Tescu

Využití matic

• Čtyři města A, B, C, D jsou spojena autobusovými linkami. Přímé spojení je dáno tabulkou: A B C D 1 2

A

0 1 0 1

B

1 0 0 1

C

1 0 1 0

D

2 1 • Nakreslete plán spojení