Transcript Matice

Matice
Matice typu n  m
m, n jsou přirozená čísla
 aijR pro každé i = 1, …, n
a každé j = 1, …, m
 a11 a12 ... a1m 


 a 21 a 22 ... a 2m 


...
...
...
...
(aij) =


a

a
...
a
n2
nm 
 n1


m  n obdélníková matice typu n  m

m = n čtvercová matice řádu n

prvek aij stojí v matici na místě ij
Totožné matice
říkáme, že se rovnají

mají stejný typ

jejich prvky na odpovídajících místech jsou
stejné
řádek matice a sloupec matice
termíny používáme v obvyklém smyslu
 matice typu n  m má tedy n řádků a m
sloupců

hlavní diagonála - prvky a11, a22, …, ann
Součet dvou matic
A = (aij) a B = (bij)
obě matice jsou typu n  m
A + B = (aij + bij)
 je typu n  m
 na místě ij má součet prvků stojících
v maticích A a B na místě ij
 matice sčítáme po složkách
Příklad



A=
B=
C=
 1 2  1


 0 1 3
3 1 0


 1 3 1
1
 2 1


 1 2  2

A+B=
 1 0  1


1
2 3
 3 1 0



B + C, A + C
není definováno
Součin matic A, B (v tomto
pořadí)
A = (ais) je matice typu n  m
B = (bsj) matice typu m  k
m

  a isb sj 
 AB =  s 1
typu n  k


na místě ij je skalární součin i-tého řádku matice A
a j-tého sloupce matice B
 řádky matice A mají stejný počet prvků jako
sloupce matice B (m)

Příklad
 1 2  1


 0 1 3
A=
AC =
=
C=
 1 0  1


1
2 3
 3 1 0


 1.1  2.2  1.3 1.0  2.3  1.1 1. 1  2.1  1.0 


 0.1  1.2  3.3 0.0  1.3  3.1 0. 1  1.1  3.0 
 2 5 1


11 6 1
Příklad
C=
CA
 1 0  1


1
2 3
 3 1 0


není definováno
A=
 1 2  1


 0 1 3

Pro dané matice A, B může být definován
součin AB a nemusí být definován součin
BA.

Jsou-li definovány oba součiny, jsou AB a
BA čtvercové matice, které nemusí mít
stejný řád.

Oba součiny existují a mají stejný řád právě
tehdy, když jsou A a B čtvercové matice
stejného řádu.

Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv.
komutujících maticích.

Matice A a B mají definovaný součet právě
tehdy, mají-li matice A a B stejný typ.
Součet A + B má potom stejný typ jako
matice A a B.

Součin AB matic A, B je definován jen
tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců
jako matice B řádků; součin AB má pak
stejný počet řádků jako matice A a stejný
počet sloupců jako matice B.
Pro sčítání a násobení matic
platí:
1.
A+B = B +A
2.
A + (B + C) = (A + B) + C
3.
AB  BA
4.
A(BC) = (AB)C
5.
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
Nulová matice typu n  m

matice O = (aij), kde aij = 0 pro každé
i = 1, …, n a j = 1, …, m
0

0
O= 

0

0  0

0  0




0  0
Opačná matice k matici A =
(aij) typu m  n

matice –A = (–aij) stejného typu
  a11  a12   a1n 


  a 21  a 22   a 2n 
 –A =  

 


a

 m1  a m 2   a mn 
O je nulová matice typu n  m
A je matice typu n  m

A+O=O+A=A

A + (–A) = (–A) + A = O
Jednotková matice řádu n
matice E = (ij), kde

ij = 1
pro

ij = 0
pro
1

0
E= 


0

0  0

1  0




0  1
i, j = 1, …, n, i = j
i, j = 1, …, n, i  j
E je jednotková matice řádu n
m je přirozené číslo

pro každou matici A typu n  m
EA = A

pro každou matici B typu m  n
BE = B

pro každou čtvercovou matici C řádu n
CE = EC = C
Násobení matic skaláry
A = (aij) je matice typu n  m
c je reálné číslo
cA = (c.aij)
c-násobek matice A
 cA je typu n  m
 na místě ij má c-násobek prvku, který
v matici A stojí na místě ij
Příklad
  4 1 0  2

A = 
0
 1 2 1
 8  2 0 4

–2A = 
  2  4 2 0
A, B jsou matice, které je
možno sečíst, resp. vynásobit;
c, d  R
Potom platí:
1.
c(A + B) = cA + cB
2.
(c + d)A = cA + dA
3.
(cd)A = c(dA)
4.
c(AB) = (cA)B = A(cB)
Transponovaná matice
k matici A

A = (aij) je matice typu n  m

AT = (bji) typu m  n ,
kde pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m
bji = aij
Příklad
 1 2 5 2 1


A =  0 3 2 4 1
 1 0 1 2 1


AT =
1

2
5

2
1

0 1

3 0
2 1

4 2

1 1
A, B jsou matice, které je
možno sečíst, resp. vynásobit,
cR
Potom platí:
1.
(A + B)T = AT + BT
2.
(AB)T = BTAT
3.
(cA)T = cAT
4.
(AT)T = A
Hodnost matice
Elementární úpravy
Diagonální matice

každá matice, která má mimo hlavní diagonálu
samé nuly

Př.:
0 0 0
1


 0  5 0 0
0

0
2
0


odstupňovaná matice

každý nenulový řádek začíná větším počtem
nul než řádek předcházející (pokud tento
existuje)

druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň
jednou nulou

třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami

i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami
Odstupňované matice
1 3 1 2


 0 0 1 2
 0 0 0 3


1
2 3 4
0

0
0

0

1
0
0
0
1

2
0

0 
horní trojúhelníková
A = (aij) je čtvercová matice řádu n
 pro každé i, j = 1, ..., n, i > j, je aij = 0


Př.:
1

0
0

0
0

2 0 1 3

2 2 3 1
0 1 1 0

0 0 1 2

0 0 0 3
dolní trojúhelníková
A = (aij) je čtvercová matice řádu n
 pro každé i, j = 1, ..., n, i < j, je aij = 0


Př.:
1

1
3

0
2

0 0 0 0

2 0 0 0
2 1 0 0

1 2 1 0

3 0 0 3
Hodnost matice A

Maximální počet lineárně nezávislých řádků
matice A

Značíme h(A)
Hodnost matice AT
h(A) = h(AT)
Transponováním se hodnost matice nemění.
Maximální počet lineárně nezávislých řádků
matice AT
 Maximální počet lineárně nezávislých
sloupců matice A

Řádkové elementární úpravy matice
Výměna dvou řádků.
 Vynásobení některého řádku nenulovým
číslem.
 Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému
řádku (c  R).

Podobně definujeme sloupcové elementární
úpravy.
ekvivalentní matice A, B

jednu z nich lze převést v druhou konečným
počtem elementárních úprav
Označujeme: A  B
h(A) = h(B)

Provádění řádkových a sloupcových
elementárních úprav nemění hodnost
matice.
Hodnost matice A typu n  m
h(A)  min(n, m)
Regulární matice

čtvercová matice řádu n

h(A) = n
Singulární matice

čtvercová matice řádu n

h(A) < n
Praktický výpočet hodnosti
matice:

Pomocí elementárních úprav převedeme
danou matici na odstupňovaný tvar.

Vynecháme nulové řádky.

Počet nenulových řádků v této matici je
roven její hodnosti (řádky v odstupňované
matici jsou lineárně nezávislé).
Praktický výpočet hodnosti
matice:

Jestliže je hodnost h matice A stejná jako
počet řádků matice n (h = n), jsou řádky
matice A lineárně nezávislé.

Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a
lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně
nezávislých řádků.
Inverzní matice

Pro dané matice A, B může být definován
součin AB a nemusí být definován součin BA.

Jsou-li definovány oba součiny, jsou AB a BA
čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád.

Oba součiny existují a mají stejný řád právě
tehdy, když jsou A a B čtvercové matice
stejného řádu.

Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv.
komutujících maticích.

Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B
je inverzní k matici A a značíme ji A-1.
Inverzní matice

Inverzní maticí k matici A budeme rozumět
matici A-1, pro kterou je AA-1 = A-1A = E.

Matice A, ke které inverzní matice existuje,
se nazývá invertibilní.

Inverzní matice k invertibilní matici A je
maticí A určena jednoznačně.
Invertibilní matice
A=
2 1 1


1 2 1
1 1 2


1 2

B = 
3 4
 3  1  1

1
A-1 = 4   1 3  1
 1 1 3


1
 2
 2

1
-1
B = 
 
2
 3
Invertibilní matice
čtvercová řádu n
 regulární
h(A) = n

Matice není invertibilní:
 obdélníková
 singulární h(A) < n
(AB)-1 = B-1 A-1
A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž
matice AB je invertibilní a je
(AB)-1 = B-1 A-1
 Důkaz:
(AB).(B-1 A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E
a podobně (B-1 A-1).AB = E
Matice AB a B-1 A-1 jsou tedy navzájem inverzní.

(AT)-1 = (A-1)T

Jestliže je A čtvercová invertibilní matice,
T
potom je matice A rovněž invertibilní a je
(AT)-1 = (A-1)T
Praktický výpočet inverzní matice:

Převedeme-li řádkovými elementárními
úpravami matici A v jednotkovou matici E,
pak tytéž elementární úpravy převedou
jednotkovou matici E v matici inverzní A-1.
Praktický výpočet inverzní matice:





Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E.
Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám
převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou
provedeme v matici A, provedeme také v matici E.
Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom
v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní
diagonálou samé nuly.
Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly
samé nuly.
Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě
původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A-1.
K matici A najděte matici inverzní
1 0 2


A  3 1 0
 0 2 3


1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0


 
 3 1 0 0 1 0   0 1  6  3 1 0 
0 2 3 0 0 1 0 2 3 0 0 1


 
0 0
 1 0 2 1 0 0   1 0 2 1



 0 1  6  3 1 0  0 1  6  3 1 0 
 0 2 3 0 0 1   0 0 15 6  2 1 


 
1 0 2 1

0 1  6  3
0 0 1 6
15

0
1
2
15
1 0 0
0


0   0 1 0
0 0 1
1 

15 
4  2
 3

1
1
A  9 3
6 
15 

6

2
1


3
15
9
15
6
15
4
15
3
15
2
15
2
15
6
15
1
15





maticová rovnice AX = B
AX = B
A-1AX = A-1B
AXA-1= BA-1
EX = A-1B
X = A-1B
zkouška: l = AA-1B = EB = B
p=B
maticová rovnice XA = B
XA = B
XAA-1 = BA-1
A-1XA= A-1B
XE = BA-1
X = BA-1
zkouška: l = BA-1A = BE = B
p=B
Určete matici X, která vyhovuje
rovnici XA = B, kde
A = 1  1

1

1
 3 0

B = 
 2 1
XA = B  X = B A-1
A-1 =
1
2
 1 1


  1 1
 3 0  1  1 1
 2 
 =
X = 
 2 1   1 1
1
2
 3 3


 1 3