Transcript JEHLAN

Jehlan – povrch, objem, výpočty
Autor: Mgr. Jolana Sobotková
Vytvořeno: březen 2014
Název: VY_32_INOVACE_MA_01_Rovinná a prostorová geometrie_11
9. ročník
Vzdělávací oblast, tematický okruh, téma vzdělávacího materiálu:
Matematika, Rovinná a prostorová geometrie, Jehlan
Metodický list, anotace:
Pomocí prezentace lze vysvětlit základní pojmy a vlastnosti jehlanu, i komolého
jehlanu.
Odvozeny jsou i vzorce pro objem a povrch a v závěru prezentace je příklad na
výpočet objemu jehlanu v jednodušší i obtížnější verzi pro nadané žáky.
JEHLAN
Jehlan je těleso s podstavou n-úhelníku.
Stěny pláště tvoří rovnoramenné
trojúhelníky
PLÁŠŤ
PODSTAVA
Jehlan, jehož výška je kolmá k podstavě – kolmý jehlan.
Jehlan, který vznikne odříznutí části s vrcholem – komolý jehlan.
- vázy, květináče, hrníčky…
Objem jehlanu
Jehlan zaujímá 1/3 objemu kolmého
hranolu se shodnými podstavami
- vyjdeme-li z obecného vzorce pro
objem hranolu V = Sp . V , pak
objem kužele se vypočítá podle
vzorce
V=
𝑆𝑝 .𝑣
3
Povrch jehlanu
Povrch se skládá z obsahu
podstavy (n-úhelníku) a obsahů
příslušného počtu trojúhelníků
pláště.
V tomto případě
vs
a
va
S = Sp + 5.S∆
S = 5.
𝑎 .𝑣𝑎
2
+ 5.
𝑎 .𝑣𝑠
2
Čtvercová podstava:
𝑎 .𝑣
S = a2 + 4. 2 𝑎
Obdélníková podstava:
𝑎 .𝑣
𝑏 .𝑣
S = a . b + 2 . 2𝑎 + 2 . 2𝑏
Vs – výška stěnového
trojúhelníku
Va – výška
trojúhelníku v
podstavě
a – hrana podstavy
•
Varianta A
• Vypočítej přibližnou hmotnost obelisku z mrákotínské žuly na nádvoří
Pražského hradu - spodní základna je čtvercová o hraně délky 181,5 cm,
vysoký je 15,42 m. Horní hrana - také čtvercového tvaru – má hranu o
délce 123,4 cm (jedná se tedy o komolý jehlan, přičemž výška celého
jehlanu by byla 48,16 m. Hmotnost mrákotínské žuly je 2,640 t/m³.
• Řešení:
•
•
•
•
•
Vypočítáme objem celého jehlanu a pak „vršku“, který chybí, a získáme tak objem
obelisku. V1 – V2
a1 = 1,815m, v1 = 48,16m, a2 1,234m, v2 = 32,74m
V1 = (a12 . v1) : 3 V2 = (a22 . v2) : 3
V1 = 52,88 m3, V2 = 16,62 m3
V1 – V2 = 36,26 m3
hmotnost: m = 36,26 . 2,64 = 95,7264 tuny
Varianta B - obtížnější
•
Vypočítej přibližnou hmotnost obelisku z mrákotínské žuly na nádvoří
Pražského hradu - spodní základna je čtvercová o hraně délky 181,5 cm,
vysoký je 15,42 m. Horní hrana - také čtvercového tvaru – má hranu o
délce 123,4 cm (jedná se tedy o komolý jehlan) Hmotnost mrákotínské žuly
je 2,640 t/m³.
Řešení: (Obtížnost spočívá v nutnosti si na základě podobnosti dopočítat celou výšku jehlanu)
1542+𝑥
90,75
x
61,7cm
15,42m
=
𝑥
61,75
1542 + x = 1,471 . X
1542 = 0,471 . x
x = 3274 cm …. To je výška té části, co tam není, tedy
celá výška je 32,74+ 15,42 = 48,16 m
90,75cm
•
Další postup je již shodný s variantou A
Zdroje obrázků:
Galerie Microsoft Office