Analisi Matematica II Equazioni differenziali Esercizio 1.

Determinare la soluzione dei problemi ai limiti seguenti (1) y ′′ + 3 y ′ = 0 , y (0) = 0 , y (3) = 0 (2) y ′′ − y = 2 e t , y (0) = − 1 , y (1) = 0 (3) y ′′ + π 2 y = 0 , y (0) = 0 , y (1) = 0, (4) y ′′ + 4 y ′ + 8 y = 2 t + 1 , y (0) = 0 , y ( π ) = π 4 (5) y ′′ + 4 y = 3 cos t, y (0) = 0 , y ( π ) = − 1 Determinare la soluzione dei problemi ai limiti seguenti, al variare di β ∈ R , (6) y ′′ ( x ) + βy ( x ) = 0 , y ( − 2) = 0 , y (2) = 0, (7) y ′′ ( x ) + βy ( x ) = 0 , y ′ (0) = 0 , y (3) = 0, (8) y ′′ ( x ) + βy ( x ) = 0 , y (0) = 0 , y ′ (4) = 0, Esercizio 2.

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (1)    y ′ 1 y ′ 2 = 3 = y y 1 1 + + 3 y y 2 2   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 (2)    y ′ 1 y ′ 2 = = y − 2 y 1   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 (3)    y ′ 1 y ′ 2 = = y − 1 y + 5 1 − y 3 2 y 2   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 (4)    y ′ 1 y ′ 2 = = y y 1 1 + + y y 2 2 + t   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 (5)    y ′ 1 y ′ 2 = 4 = − y 2 1 y + 1 y + 2 y + 36 2 + 2 t e   y 1 (0) = 0 , y 2 (0) = 1 t (6)    y ′ 1 y ′ 2 = = − y 1 3 y − 1 y − 2 y 2   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 (7)    y ′ 1 y ′ 2 = − = 4 y 2 1 y 1 − + 2 y y 2 2 + sin + cos   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 t t 1

(8)    y ′ 1 y ′ 2 = = − y 1 3 y + 1 y − 2 4 + y t 2 + 2   y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 t (9)       y ′ 1 y ′ 2 = = y y 2 1 + + y y 3 3      y ′ 3 y 1 = y 1 + (0) = 1 y , y 2 2 (0) = 1 , y 3 (0) = 1 (10)       y ′ 1 y ′ 2 = = y y 2 3      y ′ 3 y 1 = y 1 (0) = 1 , y 2 (0) = 1 , y 3 (0) = 1 (11)       y ′ 1 y ′ 2 = 2 = y y 1 1 + 2 + 3 y y 2 2 − − y y 3 3      y ′ 3 y 1 = − y 1 (0) = 2 + 2 , y 2 y 2 + 2 y (0) = 1 3 , y 3 (0) = 1 (12)       y ′ 1 y ′ 2 = 3 = y y 1 1 − + 2 y y 3 2 − y 3      y ′ 3 y 1 = y 1 + (0) = 1 y , y 3 2 (0) = 1 , y 3 (0) = 2 (13)       y ′ 1 y ′ 2 = 2 = 3 y y 1 2 − − y 8 2 y 3      y ′ 3 y 1 = y 1 + (0) = 1 y , y 2 2 − 2 y 3 (0) = 8 , y 3 (0) = 1 Esercizio 3.

Determinare gli eventuali punti di equilibrio, e tracciare il diagramma di fase per le seguenti equazioni differenziali. Determinare, inoltre, la traiettoria di fase che soddisfa le condizioni iniziali date.

(1)    x ′ y ′ = xy = xy 5 / 3   x (0) = 1 , y (0) = 1 (2)    x ′ y ′ = = x 2 y xy (1 − y )   x (0) = 1 , y (0) = 2 (3)    x ′ y ′ = 1 y = 2 xy   x (0) = 0 , y (0) = − 1 2

(4)    x ′ y ′ = = y x log(1 + log(1 + x x 2 2   x (0) = 0 , y (0) = + + y y − 1 2 2 ) ) (5)    x ′ y ′ = x ( y = x ( y + 1) + 1) cos 2 y   x (0) = 1 , y (0) = 0 (6)    x ′ y ′ = = x 2 xy y 2 log y   x (0) = 1 , y (0) = e (7)    x ′ y ′ = 2 x 3 y = x ( y 2 + 1)   x (0) = 1 , y (0) = − 1 Esercizio 4.

Determinare gli eventuali punti di equilibrio, e tracciare il diagramma di fase per le seguenti equazioni differenziali. Determinare, inoltre, la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali date.

(1) ( u ′′ = ( u ′ ) 2 − u 2 u ′ u u (0) = 1 , u ′ (0) = 2 (2) ( u ′′ = ( u ′ ) 2 +1 2 u u (1) = 1 , u ′ (1) = 1 (3) (4) ( u ′′ = 1 u 3 u ( 1 2 ) = 1 , u ′ ( 1 2 ) = 1 ( u ′′ = − ( u ′ ) 2 +1 u u (1) = 1 , u ′ (1) = 1 (5) ( u ′′ = − 1 2 u 3 u (0) = 1 , u ′ (0) = 1 (6) ( u ′′ = 1 − ( u ′ ) 2 u u (0) = 1 , u ′ (0) = 2 oppure u ′ (0) = 1 (7) ( u ′′ = ( u ′ ) 2 − ( u − 1) u ′ u (0) = 2 , u ′ (0) = 2 3