Transcript Vettori Attenzione: in questo documento un vettore è indicato con la

Vettori
Attenzione: in questo documento un vettore è indicato con la lettera in grassetto (es. P), al
posto della lettera con una freccia disegnata sopra.
La lunghezza di un vettore viene scelta proporzionalmente all'intensità (o modulo) del vettore,
e per questo è necessario scegliere una unità di misura, ossia un vettore di lunghezza
unitaria, detto versore, orientato come il vettore. Per esempio, il vettore P nella figura ha
modulo 3 perché il versore, chiamato u, è contenuto 3 volte in P. Vale allora l'uguaglianza
P=3u
P
u
Per il vettore Q, invece, varrà l'uguaglianza Q=-3u, in quanto Q è orientato nel verso opposto
di u:
Q
u
Scomposizione di un vettore lungo gli assi di un sistema di riferimento
Disegniamo un vettore e scegliamo un sistema di riferimento, costituito da due rette orientate
ortogonali dette assi cartesiani che si intersecano in un punto O detto origine del sistema di
riferimento. I disegni seguenti rappresentano uno stesso vettore “sistemato” in due diversi
sistemi di riferimento:
y
y
V
V
O
x
x
O
Nel sistema di riferimento di sinistra la retta orizzontale cresce verso destra, mentre nel
disegno di destra cresce verso sinistra. In entrambi, la retta verticale cresce verso l'alto.
Adesso scomponiamo il vettore V lungo gli assi cartesiani, in entrambi i sistemi di riferimento:
y
y
V
Vy
Vy
Vx
O
x
x
O
V
Vx
Possiamo allora scrivere che V=Vx+Vy.
Il vettore P inziale, è stato scritto come u motiplicato per un numero che indica la lunghezza
di P. Se indichiamo con ux e uy i versori orientati, rispettivamente, come l'asse x e l'asse y,
allora:
• Vx può essere scritto come ux moltiplicato per un numero che ne indica la lunghezza;
• Vy può essere scritto come uy moltiplicato per un numero che ne indica la lunghezza.
Perciò, quando si sceglie un sistema di riferimento, è necessario stabilire anche l'unità di
misura e, quindi, i versori ux e uy.
Per esempio, se i versori ux e uy sono quelli disegnati in figura, si può dire che Vx=5ux e
Vy=2uy.
y
V
Vy
uy
O
ux
x

Per il teorema di Pitagora, V = 5 222=  29 =5,4 (da notare che V non è scritto in
grassetto, quindi si intende il modulo del V (lunghezza del vettore V).
Se si considera l'altro sistema di riferimento, si avrà Vx= - 5ux e Vy=2uy (infatti Vx ha verso
opposto a ux).
y
Vy
uy
x
ux
V
O
Esercizio 1:
Supponete di avere un vettore V lungo 3, che sia inclinato di 60° rispetto all'asse delle x,
come in figura:
y
V
Vy
60°
O
x
Vx
Il triangolo formato dalla punta di V, dall'origine O e dalla punta di Vx è la metà di un triangolo
equilatero, perciò Vx è la metà di V, e per il teorema di Pitagora



1 2
1
3
V
3
V y = V 2− V  = V 2− V 2= V 2=  3=  3
2
4
4
2
2
Si potrà quindi scrivere:
Vx=
3
ux
2
Vy=
3
 3 uy
2
In definitiva:
V=
3
3
ux +
 3 uy
2
2
Esercizio 2:
Supponete di avere un vettore V lungo 3, disegnato come in figura:
ux
V
O
uy
x
y
Il vettore ha la stessa direzione dell'asse x, quindi non ha componente lungo l'asse y; inoltre,
poiché ha verso opposto a ux, sarà:
V=Vx=-3 ux