Transcript Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari

Grandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari: sono completamente definite da un
numero
esempi: massa, lunghezza, tempo.
Grandezze vettoriali: sono definite da lunghezza,
direzione e verso
esempi: velocità, forza.
1
Vettori
verso
direzione
modulo
𝐯
Punto di applicazione
del vettore
2
Proprietà di un vettore
𝒚
𝒙
Questi vettori sono uguali perché hanno:
 lo stesso modulo
 lo stesso verso
 appartengono a rette parallele tra loro
3
Componenti di un vettore
Il vettore va disegnato in un sistema di riferimento.
Il sistema di riferimento generalmente usato è quello cartesiano,
individuato da una coppia di assi ortogonali tra loro.
𝑦
𝒗𝒚
𝐯
𝒗𝒙
𝑥
Componenti di un vettore
𝑦
5
4
𝒗𝒚
3
𝐯 = (𝟖, 𝟓)
2
1
(𝟎, 𝟎)
𝑣𝑥 = 8
𝑣𝑦 = 5
1
2
3
4
5
6
𝒗𝒙
componenti del vettore
7
8
9
𝑥
5
Modulo di un vettore

v  v x2  v 2y
esempio:

v  v x2  v 2y  82  52  64  25  89  9.4
6
Angolo in radianti
s
q 
r
𝑦
r
s
arco
q
𝑥
7
Angolo: radianti e gradi
𝝅
𝟗𝟎° =
𝟐
18𝟎° = 𝝅
𝟎°
36𝟎° = 𝟐𝝅
27𝟎° =
𝟑
𝝅
𝟒
8
Seno e coseno
𝑦
c𝒐𝒔𝜽
𝒓
q
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑥
9
Seno e coseno
funzione seno
funzione coseno
10
Componenti di un vettore
𝑦
𝐯
𝑣𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒗𝒚
𝑣𝑦 = 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃
q
𝒗𝒙
𝑥
11
Esercizio 1
Dato un vettore v di componenti vx=12 cm e vy=14 cm, determinare
l’angolo q che il vettore forma con l’asse x ed il suo modulo.
Rappresentare graficamente il vettore.
Esercizio 2
Dato un vettore v di modulo |v|=10 cm che forma un angolo q=30°
con l’asse x, determinare le sue componenti vx e vy. Rappresentare
graficamente il vettore.
12
13
Somma di vettori: metodo grafico
𝐚
𝐚
𝐛
𝐒
𝐛
𝐚
𝐝
𝐛
14
Somma di vettori: metodo grafico
1. Si fanno coincidere i punti di applicazione dei due vettori
2. Si costruisce il parallelogramma
3. S = diagonale maggiore
4. d = diagonale minore
15
Somma di vettori: metodo per componenti
y
𝐚
𝒂𝒚
𝐛
by
𝒂𝒙
a = 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦
b = 𝑏𝑥 , 𝑏𝑦
bx
s = 𝑠𝑥 , 𝑠𝑦
x
𝑠𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑠𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
16
Somma di vettori: esempi
a = 3,1
b = 4, −2
𝐚
𝐛
𝐬
𝑠𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 3 + 4 = 7
𝑠𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 1 − 2 = −1

s  s x2  s 2y  7 2  (1) 2  49  1  50  7.1
17
Somma di vettori: esempi
|v| = 8 𝑚
|u| = 12 𝑚
v
45°
2
𝑣𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠45° = 8
= 5.65 𝑚
2
2
𝑣𝑦 = 𝑣 𝑠𝑒𝑛45° = 8
= 5.65 𝑚
2
−30°
s
u
𝑢𝑥 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠30° = 12 ∙ 0.87 = 10.4 𝑚
𝑢𝑦 = 𝑢 𝑠𝑒𝑛30° = 12 ∙ −0.5 = −6.0 𝑚
𝑠𝑥 = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 = 10.4 + 5.65 = 16.05 𝑚
𝑠𝑥 = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 = −6.0 + 5.65 = −0.35 𝑚
18
Esercizio 3
Dato un vettore a di componenti (5, -4) ed un vettore b di componenti
(-5, 2), determinare, sia graficamente che analiticamente:
1.
s= a + b
2.
u= 2a - 3b
3.
Gli angoli  e β che i vettori a e b formano con l’asse delle x.
19
20
1. Prodotto di un vettore per uno scalare
𝒗∙𝒔=𝒖
Il risultato è un vettore 𝑢:
• di modulo 𝑢 = 𝑣 ∙ 𝑠
• di direzione coincidente con quella di 𝑣;
• di verso:
 pari a 𝑣 se s>0,
 opposto a 𝑣 se s<0
21
1. Prodotto di un vettore per uno scalare
y
𝑎
3𝑎
−3𝑎
x
2. Prodotto scalare tra due vettori
𝒔 = 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃𝒄𝒐𝒔𝝑 = 𝒂𝒙 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 𝒃𝒚
Il risultato è uno scalare s.
𝐚
𝝑
𝐛
23
3. Prodotto vettoriale tra due vettori
𝒗 = 𝒂 × 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝝑
Il risultato è un vettore 𝒗 :
• di modulo = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗;
• di direzione perpendicolare al piano contenente 𝒂 e 𝒃;
• di verso stabilito dalla regola della mano destra.
24
Prodotto di vettori: esempi
𝒂┴ 𝒃
𝑎 =3
y
Prodotto vettoriale
𝑏 =2
𝐚
𝑐 = 𝑎 × 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3 ∙ 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛90° = 6
Prodotto scalare
𝜃
𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠90° = 0
𝐛
x
y
𝒂 // 𝒃
Prodotto vettoriale
𝑐 = 𝑎 × 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3 ∙ 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛0° = 0
𝜃
𝐛
Prodotto scalare
𝐚
x
𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠0° = 6
25