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Teorema de Pitágoras
• Demostración geométrica
• Ejercicios de aplicación
• Problemas de aplicación
En todo triángulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos
a
2
2
2
c
a =b +c
b
Demostración geométrica del
Teorema de Pitágoras
Haz clic con el ratón
2 de áreas
LasDibujamos
figuras noen
ocupadas
poresquinas
estos cuatro
triángulos
son dos
cuadrados
las cuatro
del lado
primer
cuadrado
cuatro
triángulos
LaDibujamos
figura interior
un
cuadrado
a
,
luego
su
área
es
Trasladamos
los cuatro
triángulos
al2 de
otroTienen
cuadrado
de
la
manera
siguiente
dos es
cuadrados
iguales.
por
tanto
la
misma
área
2
b
y
c
rectángulos iguales de lados a (hipotenusa), b y c (catetos)
a
a
c
b
a2
c
c2
b2
a
b
Las áreas no ocupadas por estos cuatro triángulos son iguales en ambos cuadrados
a2
=
b2
+
c2
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Haz clic con el ratón
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Vamos a calcular la longitud de x en cada uno de los siguientes casos:
x
2 cm
x
5 cm
x
7cm
3 cm
x
3 cm
3 cm
Índice
Haz clic sobre el que quieras resolver
Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden:
x cm la hipotenusa y 5 cm y 7 cm los dos catetos.
x
5 cm
7cm
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
y resolvemos la ecuación resultante:
x2 = 52 + 72
x2 = 25 + 49
x2 = 74
x=
Volver
74 = 8’6 cm
Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden:
2 cm la hipotenusa y x cm ambos catetos.
2 cm
x
x
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
y resolvemos la ecuación resultante:
22 = x2 + x2
4 = 2x2
2 = x2
x=
Volver
2 = 1’41 cm
Se trata de un triángulo isósceles dividido en dos triángulos
rectángulos iguales cuyos lados miden:
3 cm la hipotenusa y x cm y 1’5 cm los dos catetos.
3 cm
Trabajaremos en uno de los
dos triángulos rectángulos
3 cm
x
1’5 cm
3 cm
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
y resolvemos la ecuación resultante:
32 = x2 + 1’52
9 = x2 + 2’25
6’75 = x2
Volver
x = 6'75 = 2’60 cm
Índice
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 y 8 cm.
2. Calcula el perímetro de un rectángulo del que la diagonal mide 10 cm. y
uno de los lados, 6 cm.
3. Una escalera de 5m. De larga está apoyada sobre una pared de forma que
su extremo inferior se encuentra a 1’2 m. de la misma. ¿Qué altura alcanza
el extremo superior?
4. Una antena está sostenida por cuatro tirantes de cable de acero. El
extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m.
El extremo inferior de cada uno está amarrado al suelo a 30 m de la base de
la antena. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?
Índice
Haz clic sobre el que quieras resolver
Dibujamos el rombo y vemos que
para calcular el perímetro hemos
de hallar la longitud l de un lado,
el cual es la hipotenusa de uno de
los cuatro triángulos rectángulos
que componen el rombo.
Aplicamos el teorema de Pitágoras
en uno de esos triángulos en el que
los catetos miden 2’5 y 4 cm (la
mitad de las diagonales del rombo)
2’5 cm
l
5 cm
4 cm
8 cm
l 2 = 2’52 + 42 = 6’25 + 16 = 22’25
l=
22'25  4'72 cm
El perímetro del rombo será
Volver
P = 4 l = 4 ·4’72 = 18’88 cm
Dibujamos el rectángulo y su diagonal.
Conocemos un lado, por lo que para
calcular el perímetro hemos de hallar la
longitud l del otro lado, el cual es un
cateto de uno de los dos triángulos
rectángulos que componen el rectángulo.
l
10 cm
6 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el
que el otro cateto mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm:
y resolvemos la ecuación resultante:
102 = l 2 + 62
100 = l 2 + 36
64 = l 2
l = 64 = 8 cm
El perímetro del rectángulo será P = 2 · 8 + 2 · 6 = 28 cm
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Dibujamos la escalera cuyos
extremos estarán, uno en el
suelo a 1’2 m de la pared y el
otro apoyado sobre ésta a una
altura h del suelo, que es lo
que tenemos que calcular.
h
5m
1’2 m
La figura formada por la escalera con la pared y el suelo es un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa mide 5 m y los catetos, h y 1’2 m.
Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:
52 = h2 + 1’22
y resolvemos la ecuación resultante:
25 = h2 + 1’44
23’56 = h2
La altura que alcanza la escalera es:
h = 23'56 = 4’85 m
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Dibujamos la antena y uno de los
tirantes. Ambos forman junto con la
línea del suelo un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 40 m
y 30 m, y cuya hipotenusa h es la
longitud del tirante.
40 m
h
30 m
Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:
h 2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500
h=
2500  50 m
Como son cuatro los tirantes que sujetan la antena, el total de cable
utilizado será 4 ·h = 4 · 50 = 200 m
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Fin
Presentación realizada por
Jesús Martínez Navarro
Profesor del Departamento de Matemáticas
I.E.S. Bajo Aragón