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單元六
非參數法衡量生產力變化
發展過程之介紹
 非參數法最先是以Caves, Christensen and
Diewert(1982a、1982b)
所
提
出
的
Malmquist生產力變動指數為代表，其應
用DEA理論於不同基期下，來定義並衡量
生產力的變動情況(本單元亦將僅探討投
入導向)：
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Slide #1
CCR模式
 投入導向：
其實TE=1/d,例如邊界最低投入為20(即TE1=1),
此DMU2之投入高達100,因此其相對效率=0.2,
若改由d來算:d=max[0 , 5]=5∴TE=1/5=0.2
在固定規模報酬(C)與strong free disposability(S)[又稱
前述的無效率公設]之假設下，定義第t期之投入距離
函數為：
Dit(Yt，XtC，S)=max{d：Xt/dLt(Yt)，d≧0C，S}。
d Xt
---------(1)
Lt(Yt)
再定義第t+1期之投入可能集合Lt+1(Yt+1)若作為第t期
投入產出(Xt，Yt)之參考集合，則投入距離函數為：
Dit+1(Yt，XtC，S)=max{d：Xt/dLt+1(Yt)，d≧0C，S}
。
---------(2)
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 以及第t期之Lt(Yt)若作為第t+1期投入產出(Xt+1
，Yt+1)之參考集合，則投入距離函數為：
Dit (Yt+1，Xt+1C，S)=max{d：Xt+1/dLt (Yt+1)，
d≧0C，S}。
---------(3)
第(2)式是指就第t期之(Xt，Yt)，但以第t+1期
之技術水準來衡量投入上之最大可行的比率；
同理，第(3)式則是指就第t+1期之(Xt+1，Yt+1)，
但以第t期之技術水準來衡量投入上之最大可行
的比率。
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 由 於 Caves, Christensen and Diewert(1982a，
1982b)曾定義Malmquist生產力變動指數為：
t 1
t
t 1
D (X , Y )
M 
D t (X t , Y t )
t
---------(4)
第(4)式是以第t期技術水準為基礎，計算由第t
期至第t+1期間在生產力上之變動情況。同樣，
若以第t+1期技術水準為基礎所計算Malmquist
生產力變動指數為：
M
t 1
t 1
t 1
t 1
D (X , Y )

D t 1 ( X t , Y t )
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---------(5)
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 Fare, Grosskopf, Lindgren and Roos(1989)乃將上
述不同基期的指數，以幾何平均的方式重新定
義第t期至第t+1期之Malmquist投入導向之生產
力變動指數為下述第(6)式：
t 1
t 1
t 1
M i (Y , X , Y , X C , S )  [
t
t
t
t
t 1
t 1
Di (Y , X C , S ) Di (Y t 1 , X t 1 C , S )
t
t
Di (Y , X C , S )
t 1
Di (Y t , X t C , S )
]
1
2
第(6)式可看出，分別是以第t期與第t+1期的技
術水準為基礎，作兩期的投入產出之比較，並
採幾何平均方式代表生產力之變動百分比。第
(6)式又可分解成下式兩項乘積：
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 Mi( Yt+1，Xt+1，Yt，XtC，S)
t 1
t 1
t 1
t
t 1
t 1
t
Di (Y , X C , S ) Di (Y , X C , S ) Di (Y t , X t C , S ) 12

[ t 1 t 1 t 1
]
t
t 1
t
t
t
t
Di (Y , X C , S ) Di (Y , X C , S ) Di (Y , X C , S )
---------(7)
由於第t期相對投入管理技術效率Hit(Yt，XtC，
S)= 1/Dit(Yt，XtC，S), t=1,…,T，因此第(7)式
可改寫成下述第(8)式：管理效率改變
技術變動
Mi( Yt+1，Xt+1，Yt，XtC，S)

t
i
t
H (Y , X C , S )
t 1
t 1
t 1
t
t 1
[
t 1
t 1
t 1
t
t
H i (Y , X C , S ) H i (Y , X C , S )
t
t 1
t 1
t
H i (Y , X C , S ) H i (Y , X C , S ) H i (Y t , X t C , S )
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]
1
2
 明顯地，第(8)式第一項是為第t期與第t+1期之管理技
術效率比，可衡量管理技術效率改變的情況，若其比
值為1，則表兩期間之管理技術效率並無改變；若其
比值大於或小於1，則表兩期間之管理技術效率有下
降或改善。第二項雖仍為幾何平均型態，但卻表示效
率邊界投入線在兩期間是沿著(Xt，Yt)、(Xt+1，Yt+1)
所在射線上移動，因此第t+1期與第t期之邊界移動比
在該兩點的幾何平均值，可衡量技術變動的情況，若
其值為1，則表兩期間之技術無變化，亦即效率邊界
投入線均無沿著上述任一條射線上移動；若其值大於
或小於1，則表兩期間之技術變動有衰退或進步。
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 須注意的是以第(8)式而言，Malmquist投入導
向之生產力變動指數小於1即表生產力有成長
，因此無論是該式第一項管理效率改變或第二
項技術變動情況，只要有任一項的值小於1即
是生產力成長之主要來源。
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Slide #8
 以右圖為例，設有
一種產出Y與兩種
投入X1、X2，且技
術水準為固定規模
報 酬 ， 又 Lt(Yt) 與
Lt+1(Yt+1)分別表第t
期與第t+1期之投入
可能集合。若期間
有技術進步的情況
，則在Yt = Yt+1 下
Lt(Yt)⊆Lt+1(Yt+1)，
即效率邊界投入線
將由Ft左下移至Ft+1
。
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X2 Ft+1
Ft
Xt+1
0
C
Lt(Yt)
B
Xt0
D
E
A
G
Lt+1(Yt+1)
O
X1
圖 固定規模報酬之生產力變動(投入導向)
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 第 ( 8 ) 式 若 以 上 圖 表 示 ， 則 在 Yt=Yt+1 下
Malmquist投入導向之生產力變動指數將可寫成
：
Mi(Yt+1，Xt+1，Yt，Xt C，S)
OE
OA
OG
1
OD
OB
OD
(
)[(
)(
)] 2
OA
OC
OE
OB
OB
OD
OE
管理效率改變
OA OG 12
OD
---------(9)
(
)(
)
OA
OC OE 技術變動
OB
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 又就投入導向而言，可定義第t期之規模效率,即Sit(Yt
，Xt)為：
即CCR模式之TE
即BCC模式之PTE
Sit(Yt，Xt)=Hit(Yt，XtC，S)/Hit(Yt，XtV，S)
因此第t期相對投入管理技術效率Hit(Yt，XtC，S)可寫
成：
Hit(Yt，XtC，S)=Hit(Yt，XtV，S)Sit(Yt，Xt)--------(9)
故Malmquist投入導向之生產力變動指數又可寫成：
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 Mi(Yt+1，Xt+1，Yt，Xt C，S)
H it (Y t , X t V , S )
S it (Y t , X t )
t 1
t 1
t
t
---(10)
 t 1 t 1 t 1
TC
(
Y
,
X
,
Y
,
X
C
,
S
)
i
H i (Y , X V , S ) S it 1 (Y t 1 , X t 1 )
其中技術變動(Technical Change)TCi(Yt+1，Xt+1，Yt，
XtC，S)
[
H it 1 (Y t 1 , X t 1 C , S ) H it 1 (Y t , X t C , S )
t
i
t 1
H (Y , X
t 1
t
i
t
t
C , S ) H (Y , X C , S )
]
1
2
。因此
Malmquist生產力變動指數可分解成純粹管理技術效率
變動、規模效率變動、及技術變動之乘積。同理，上
述只要有任一項的值小於1即是生產力成長之主要來源
。
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但若以產出導向衡量，則恰好與投入導向相反，即Malmquist產出
導向之生產力變動指數大於1為生產力有成長，且無論第一項效
率改變或第二項技術變動情況，只要有任一項的值大於1即是生
產力成長之主要來源。
Y2
 以右圖為例，設有兩種
C
產出Y1、Y2 與一種投入 Ft+1
X， 且 技 術 水 準 為 固 定
規 模 報 酬 ， 又 Pt(Xt) 與
B
Pt+1(Xt+1)分別表第t期與
第t+1期之產出可能集合
。若期間有技術進步的
情 況 ， 則 在 Xt=Xt+1 下
Pt(Xt)⊆ Pt+1(Xt+1)，即效
Ft
Yt+1o
D
A
E
G
Yto Pt(Xt)
Pt+1(Xt+1)
O
Y1
率邊界產出線將由 Ft 右
圖 固定規模報酬之生產力變動(產出導向)
上移至Ft+1。
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參考文獻
 1 . Byrnes,
P., R. Fare and S. Grosskopf(1984),
“Measuring Productive Efficiency：An Application to
Illinois Strip Mines”, Management Science, 30, 671-681.
 2.Caves, D., L. Christensen and W. E. Diewert(1982a),
“The Economic Theory of Index Numbers and the
Measurement of Input, Output, and Productivity”,
Econometrica, 50, 1393-1414.
 3.Caves, D., L. Christensen and W. E. Diewert(1982b),
“Multilateral Comparisons of Output, Input, and
Productivity Using Superlative Index Numbers”,
Economic Journal, 92, 73-86.
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Chapter 3: The Goods Market
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 4.Fare, R., S. Grosskopf, B. Lindgren and P. Roos(1989),
“Productivity Developments in Swedish Hospitals：A
Malmquist Output Index Approach”, Discussion Paper
89-3, Department of Economics, Southern Illinois
University, Carbondale.
 5.Fare, R. and S. Grosskopf(2000), “Research Note.
Decomposing Technical Efficiency with Care”,
Management Science, 46, 167-168.
 6 . Grosskopf, S.(1986), “The Role of the Reference
Technology in Measuring Productive Efficiency”,
Economic Journal, 96, 499-513.
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