Transcript ch_26_capacity.ppt

‫קיבולת‬
‫קבל הוא צמד מוליכים שאחד מהם טעון‬
‫במטען ‪ q‬והשני במטען ‪ .–q‬טעינת‬
‫המוליכים יוצרת שדה ופוטנציאל חשמלי‬
‫במרחב סביב המוליכים‪ .‬הקיבולת היא‬
‫מקדם הפרופורציה בין המטען על מוליך‬
‫אחד ובין הפרש הפוטנציאלים בין שני‬
‫המוליכים‪.‬‬
‫‪q  CV‬‬
‫הקיבולת ‪C‬‬
‫‪coul‬‬
‫‪[ C] ‬‬
‫‪ farad‬‬
‫‪volt‬‬
‫הקיבולת ‪ C‬תלויה אך ורק בגיאומטריה ובחומר הממלא את החלל‬
‫בין הטבלאות‪ .‬הוא אינו תלוי במטען‪ .‬הוא נותן את הפרש‬
‫הפוטנציאלים הנוצר בין המוליכים כאשר טוענים אותם במטען ‪.±q‬‬
‫צריך לזכור שהמטען הכולל על הקבל הוא אפס‪.‬‬
‫הקבל הוא התקן שאוגר אנרגיה‪ .‬טעינת קבל‬
‫‪C‬‬
‫דורשת עבודה‪ .‬העבודה הופכת לאנרגיה‬
‫מקור ‪+‬‬
‫מתח ‪-‬‬
‫האגורה בקבל ואת האנרגיה ניתן לקבל חזרה‪.‬‬
‫חישובי קיבולת‬
‫לחישוב קיבולת מבצעים את השלבים הבאים‪:‬‬
‫מפסק‬
‫‪ .1‬טוענים את המוליכים במטען ‪.±q‬‬
‫‪ .2‬מחשבים את השדה החשמלי ‪ E‬הנוצר מהטעינה‪.‬‬
‫‪ .3‬מחשבים‪ ,‬בעזרת ‪ ,E‬את הפרש הפוטנציאלים ‪ V‬בין המוליכים‬
‫‪ .4‬מחשבים את ‪ C‬מהיחס בין המטען ‪ q‬והפרש הפוטנציאלים ‪.V‬‬
‫‪0  E  dA  q‬‬
‫חישוב השדה ‪.E‬‬
‫חישוב הפרש הפוטנציאלים ‪V‬‬
‫‪f‬‬
‫‪Vf  Vi    E  ds‬‬
‫‪i‬‬
‫תמיד נבחר מסלול לאורך ‪,E‬‬
‫מהמוליך השלילי לחיובי‪E .‬‬
‫‪V   Eds‬‬
‫‪‬‬
‫תמיד אנטימקביל ל‪.ds -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .I‬קבל טבלאות מקבילות‬
‫מחוק גאוס (בקירוב טבלאות אינסופיות)‬
‫‪‬‬
‫‪qd‬‬
‫‪V   Eds  Ed ‬‬
‫‪ 0A‬‬
‫‪‬‬
‫‪q   0 EA‬‬
‫‪q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C   0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ .II‬קבל גלילי‬
‫נתון קבל גלילי שאורכו ‪ L‬ומורכב משני‬
‫גלילים קואקסיאליים בעלי רדיוס ‪( a‬פנימי)‬
‫ו – ‪( b‬חיצוני)‪ .‬נתון כי ‪( L>>b‬אין תופעות‬
‫קצה)‪.‬‬
‫משטח גאוסי )‪q   0 EA   0 E(2rL‬‬
‫בצורת גליל‬
‫‪q‬‬
‫שרדיוסו ‪ r‬ואורכו‬
‫‪E‬‬
‫‪.L‬‬
‫‪2 Lr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V   Eds  ‬‬
‫‪‬‬
‫) (‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0 L b r 2 0 L a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ds = - dr‬‬
‫‪q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C   20‬‬
‫‪V‬‬
‫) ‪ln( b a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .III‬קבל כדורי‪.‬‬
‫נתון קבל כדורי המורכב משני מוליכים כדוריים קונצנטריים בעלי‬
‫רדיוס ‪( a‬פנימי) ן – ‪( b‬חיצוני)‬
‫נבחר משטח גאוסי כדורי בעל רדיוס ‪.r‬‬
‫) ‪q   0 EA   0 E(4r 2‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪40 r‬‬
‫‪‬‬
‫‪q dr‬‬
‫‪q ba‬‬
‫‪V   Eds  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪40 b r‬‬
‫‪40 ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ds = - dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪C  40‬‬
‫‪ba‬‬
‫אם ∞→‪ b‬מקבלים קיבולת‬
‫של כדור בודד שרדיוסו ‪R‬‬
‫‪C  40 R‬‬
‫מסלול‬
‫האינטגרציה‬
‫חיבור קבלים‬
‫כאשר מחברים שני קבלים ניתן להחליפם בקבל שווה ערך‪ .‬כל קבל‬
‫מורכב משני מוליכים‪ .‬כלומר נתונים ‪ 4‬מוליכים בסידור נתון‪ .‬ננסה‬
‫לחשב את ערכו של הקבל שווה הערך‪ .‬קיימים שתי דרכים לחיבור‬
‫קבלים‪.‬‬
‫חיבור טורי‬
‫במקרה זה שני מוליכים מחוברים (מקוצרים) והשניים האחרים‬
‫נשארים חופשיים לחיבור למקור המתח במעגל החשמלי‪ .‬באופן‬
‫סימבולי חיבור טורי מתואר‬
‫‪C‬‬
‫נתון קבל טבלאות‬
‫מקבילות‪.‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C  0‬‬
‫‪d‬‬
‫נכניס לתוך הקבל לוח מוליך דק‬
‫המחלק את המרחק לשני חלקים‬
‫‪C2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫אם המוליך המרכזי דק מאוד ‪d  d1  d 2‬‬
‫השדה במוליך המרכזי הוא אפס‪ .‬כדי לקבל‬
‫מצב זה מטענים מושרים על שני צדדיו‬
‫ששווים למטענים המקוריים‪ .‬נוצרו לנו שני‬
‫קבלים המחוברים בטור‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C2  0‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪+‬‬
‫‪d‬‬
‫‪-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C1   0‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d   0  d1  d 2   0   0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪C C1 C 2‬‬
‫מסקנה נוספת שעל כל הקבלים בחיבור טורי יש אותו מטען‪ .‬ז"א‬
‫הפרש הפוטנציאלים עליהם שונה‪ .‬תוצאה של ‪V=q/C‬‬
‫חיבור מקבילי‬
‫כאן מחברים את ארבעת המוליכים בזוגות וכל‬
‫‪C‬‬
‫זוג למקור המתח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C2‬‬
‫נתבונן שוב בקבלי טבלאות‪ .‬נחבר את‬
‫הטבלאות‪ .‬קיבלנו קבל ששטח הטבלאות הוא‬
‫סכום שטחי הטבלאות של הקבלים המקוריים‪.‬‬
‫‪A  A1  A2‬‬
‫‪C2d‬‬
‫‪Cd‬‬
‫‪A2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪C  C1  C2‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪C1d‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫המטען על כל קבל שונה אבל‬
‫הפרש הפוטנציאלים שווה‪.‬‬
‫אנרגיה אגורה בשדה חשמלי‬
‫כדי לטעון קבל יש לעשות עבודה‪.‬‬
‫טעינת קבל היא מעבר מטען שלילי‬
‫’‪ dq‬מהקוטב החיובי לשלילי‪.‬‬
‫‬‫’‪dq‬‬
‫’‪-q‬‬
‫הקבל טעון להפרש פוטנציאלים ’‪.V‬העבודה‬
‫הדרושה להעביר מטען ’‪ dq‬היא ‪.dW‬‬
‫העבודה הכוללת לטעינת הקבל האנרגיה‬
‫הפוטנציאלית האגורה בו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ 2 CV  2 qV‬‬
‫‪2C‬‬
‫’‪+q‬‬
‫'‪q‬‬
‫' ‪dW  V' dq '  dq‬‬
‫‪C‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪W   q' dq' ‬‬
‫‪C0‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪U CV 2 1‬‬
‫צפיפות האנרגיה ‪V 2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫) ( ‪ 2 0‬‬
‫‪Ad 2Ad‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ u  1  E 2‬בכל מטר מעוקב של קבל טעון אגורה אנרגיה‬
‫‪0‬‬
‫התלויה ברבוע השדה החשמלי‪ .‬זוהי תוצאה כללית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קבל עם חומר דיאלקטרי‬
‫מילוי החלל בין הטבלאות בחומר מבודד‪ ,‬הקרוי גם חומר דיאלקטרי‬
‫מגדיל את הקיבולת פי ‪ ,κ‬שהוא הקבוע הדיאלקטרי של החומר‪.‬‬
‫כלומר ‪ C= κ C0‬אשר ‪ C0‬הוא הקיבולת ללא החומר הדיאלקטרי‪.‬‬
‫חיבור קבל למקור מתח גורם לטעינת‬
‫הקבל במטען ‪ q‬לפי הנוסחה‬
‫‪q  CV‬‬
‫מילוי הקבל בחומר שהקבוע שלו ‪ κ‬גורם‬
‫לקבל להטען במטען גדול יותר לפי‬
‫‪q '  CV  q‬‬
‫המטען הנוסף נמסר לקבל ע"י‬
‫מקור המתח‪.‬‬
‫אם טוענים את הקבל במטען ‪q‬‬
‫ומנתקים את מקור המתח‪ ,‬הפרש‬
‫הפוטנציאלים על הקבל יהיה‬
‫‪q‬‬
‫‪V0 ‬‬
‫‪C‬‬
‫ממלאים כעת את הקבל בחומר‬
‫דיאלקטרי ‪ κ‬הפרש הפוטנציאלים על‬
‫הקבל יקטן ויהיה‬
‫‪V0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪C ‬‬
‫אפשר להכליל את התוצאות של הכנסת חומר דיאלקטרי‬
‫בנפח מלא בחומר דיאלקטרי בעל קבוע דיאלקטרי ‪ κ‬כל המשוואות‬
‫האלקרוסטטיות שמופיע בהם ‪ ε0‬צריכות להשתנות בכך שמופיע‬
‫בהם האבר ‪.ε=κε0‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪E‬‬
‫שדה סביב מטען נקודתי בתוך חומר ‪2‬‬
‫‪40 r‬‬
‫שדה מחוץ לפני מוליך בתוך חומר‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 0‬‬
‫תמונה מיקרוסקופית של חומרים דיאלקטריים‬
‫מה קורה‪ ,‬ברמה אטומית או מולקולרית‪ ,‬כאשר מכניסים חומרים‬
‫דיאלקטריים לשדה חשמלי‪ .‬קיימות שתי אפשרויות התלויות במבנה‬
‫המוקולרי‪.‬‬
‫‪ .1‬חומרים דיאלקטריים פולריים (קוטביים)‪.‬‬
‫מולקולות כגון מולקולות של מים הן בעלות‬
‫מומנט דיפולי קבוע‪ .‬השדה החשמלי נוטה‬
‫לישר את הדיפולים בכיוון השדה‪ .‬בגלל‬
‫התנועה התרמית היישור אינו מושלם‬
‫ומשתפר בקירור‪ .‬היישור יוצר שדה חשמלי‬
‫מנוגד לשדה החיצוני‬
‫‪ .2‬חומרים דיאלקטריים לא פולרים‬
‫חומרים אלו מורכבים ממולקולות לא‬
‫פולריות‪ .‬אין להם מומנט דיפולי קבוע‪.‬‬
‫הכנסת החומר הדיאלקטרי הזה לקבל‬
‫טעון משרה מומנט דיפולי כיון שהשדה‬
‫החשמלי "מותח" את המולקולה‪ .‬השדה‬
‫המושרה מנוגד לשדה המשרה‪.‬‬
‫קרוב לטבלאות הקבל נוצר מטען מושרה‬
‫הפוך למטען המקורי‪ ,‬היוצר שדה‬
‫חשמלי ’‪ E‬הפוך לשדה המקורי ‪ E0‬של‬
‫הקבל‪ .‬השדה החשמלי הכללי בקבל‬
‫נחלש‪.‬‬
‫תומרים דיאלקטריים וחוק גאוס‬
‫חוק גאוס בקבל טבלאות ללא חומר‬
‫דיאלקטרי נותן‬
‫‪0  E  dA  0 E 0 A  q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0A‬‬
‫מילוי החלל בין הטבלאות בחומר‬
‫דיאלקטרי יוצר מטען מושרה ’‪.q‬‬
‫'‪ 0  E  dA  0 EA  q  q‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0 A‬‬
‫'‪q  q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪q'  q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q  q' ‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לחשב את המטען המושרה אבל הרבה יותר נוח להשתמש‬
‫במטען החופשי‪.‬‬
‫וחוק גאוס מקבל את הצורה‬
‫וקטור ההעתק‬
‫‪D  E‬‬
‫‪ 0  E  d A  q‬‬
‫‪0  D  dA  q‬‬