Transcript 1 Metode Numerik II 28 June 2016

28 June 2016
Metode Numerik II
1
Mata kuliah : K0624 - Metode Numerik II
Tahun
: 2010
Pertemuan 10
Sistem Persamaan non Linear
28 June 2016
Metode Numerik II
2
Pandang dua persamaan yang tidak linear :
f(x,y) = 0 dan g(x,y) = 0
dengan x = xr dan y = yr merupakan jawaban eksak.
Bila xi dan yi merupakan jawaban pendekatan, maka expansi
deret Taylor di sekitar titik ( xi, yi ) adalah :
f 
f 
f(xi , yi ) = f(xi , yi ) + h  + j  + ...= 0
x  i
y  i
g 
g 
g(xi , yi ) = g(xi , yi ) + h  + j  + ...= 0
x  i
y  i
28 June 2016
Metode Numerik II
3
dimana :
xr = xi + h
yr = yi + j
dan
f 
f 
 j  x=x

x  i
x  y=yi
i
,
g 
g 
 j  x=x

x  i
x  y=yi
i
f 
f 
h  + j  =  f(xi , yi )
x  i
y  i
g 
g 
h  + j  =  g(xi , yi )
x  i
y  i
28 June 2016
Metode Numerik II
4
dengan menyelesaikan persamaan (B) yaitu persamaan dalam
h dan j maka kita dapat memperbaiki nilai xi dan yi yaitu :
xi+1 = xi + h
dan
yi+1 = yi + j
dimana xi+1 dan yi+1
mendekati xr dan yr
Contoh :
Cari akar dari persamaan :
f(x,y) = x2 + 2y2 – 22 = 0
g(x,y) = -2x2 + xy – 3y + 11 = 0
28 June 2016
Metode Numerik II
5
Jawab :
Turunan parsialnya adalah :
f
= 2x
x
f
= 4y
y
g
= - 4x + y
x
g
= x 3
y
misalkan xi = 1.5 dan yi = 2
f(xi,yi) =
( 1.5)2 +
2(2)2 – 22
= - 11.75
g(xi,yi) = -2(1.5)2 + (1.5)(2) – 3(2) + 11 = 3.5
28 June 2016
Metode Numerik II
6
f
= 2(1.5)  3
x
f
= 4(2)  8
y
g
= - 4(1.5) + 2 = -4
x
g
= 1.5  3
 1.5
y
diperoleh persamaan :
3h + 8j = 11.75
-4h – 1.5j = -3.5 diperoleh h = 0.337 dan j = 1.327
xi+1 = 1.5 + 0.377 = 1.877
yi+1 = 2 + 1.327 = 3.327
28 June 2016
Metode Numerik II
7
Dengan mengulangi langkah di atas akan diperoleh
h = 0.136 dan j = -0.313
dan xi+1 = 1.877 + 0.136 = 2.013
yi+1 = 3.327 – 0.313 = 3.014
Nilai eksak adalah x = 2 dan y = 3
28 June 2016
Metode Numerik II
8
28 June 2016
Metode Numerik II
9