1 Metode Numerik II 28 June 2016
Download
Report
Transcript 1 Metode Numerik II 28 June 2016
28 June 2016
Metode Numerik II
1
Mata kuliah : K0624 - Metode Numerik II
Tahun
: 2010
Pertemuan 4
Integral
28 June 2016
Metode Numerik II
Jumlah Rieman
Misalkan f(x) kontinu dalam
suatu interval [ a , b ] yang
dibagi atas beberapa bagian
sehingga a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b , maka :
b
n
f(x) dx = f(t )x
i
a
28 June 2016
i
dimana
ti [ xi-1 ,xi ]
i=0
Metode Numerik II
3
•
Midpoint
=
Untuk midpoint
xi - xi-1
ti =
2
Luas satu strip
f(ti )x
Luas = f(t1)(x1-x0) + f(t2)(x2-x1)
+f(t3)(x3-x2) + f(t4)(x4-x3)
4
Contoh :
Hitung
1
1 x dx
dengan menggunakan midpoint ( k = 10 )
28 June 2016
Metode Numerik II
4
5
10
f(t
1
28 June 2016
k
)x 1.382835001
1
0 x dx =
10
f(t
Metode Numerik II
k
) x = 1.382835001
1
5
Leftpoint
tk = xi-1 Luas satu strip =
4
1
1 x dx =
10
f(t
k
f(ti )x
) x = 1.50576103
1
Midpoint
28 June 2016
Leftpoint
Metode Numerik II
6
f(tk ) x 0.3 0.230769 0.1875 0.157894 0.136363 0.12 0.107142 0.096774 0.088235 0.081081
28 June 2016
Metode Numerik II
7
Rightpoint
tk = xi Luas satu strip = f(ti )x
4
1
1 x dx =
k
tk
f(tk)
f(tk)x
1
1.3
0.769230
0.230769
28 June 2016
10
f(t
k
) x = 1.28076103
1
2
1.6
0.625
0.1875
3
4
5
1.9
2.2
2.5
0.526315 0.454545 0.4
0.157894 0.136363 0.12
6
2.8
0.357142
0.107142
Metode Numerik II
7
3.1
0.322580
0.096774
8
3.4
0.294117
0.088235
9
3.7
0.27027
0.081081
10
4
0.25
0.075
8
4
1
1 x dx =
10
f(t
k
) x 0.3 0.230769 0.1875 0.157894 0.136363
1
0.12 0.107142 0.096774 0.088235 0.081081
= 1.50576103
Double Integral :
b d
n
m
f ( x, y)dydx = f(x , y
i
a c
28 June 2016
j
)dy dx
j = 1i = 1
Metode Numerik II
9
Contoh :
Hitung :
5 5
4 2x
2
5 y dydx
2
-5 -5
2
f(x,y) = 4 + 2x + 5y
10
2
10
4 + 2(-5 + i )2 + 5( -5 + j)2
j = 1i = 1
28 June 2016
Metode Numerik II
10
4+2(-5+i )
= 1010 ,
10
untuk j =1,
2
+ 5(-5+1)
2
4+2(-5+i )
10
untuk j =2,
i=1
4+2(-5+i )
2
+5(-5+3)
2
=
4+2(-5+i )
410, untuk j =4,
2
+5(-5+4) 2 = 260,
i=1
10
2
+5(-5+5)
2
=
4+2(-5+i )
10
210, untuk j =6,
i=1
28 June 2016
4+2(-5+i )
10
i=1
untuk j =5,
+ 5(-5+2) 2 = 660,
i=1
10
untuk j =3,
2
2
+5(-5+6) 2 = 260 ,
i=1
Metode Numerik II
11
4+2(-5+i )
10
untuk j =7,
2
+5(-5+7)
2
=
410, untuk j =8,
i=1
4+2(-5+i )
4 + 2(-5 + i )
+5(-5+8) 2 = 660,
= 1010, untuk j =10, 4+2(-5+i ) +5(-5+10) =
10
2
+5(-5+9)
2
2
i=1
10
2
i=1
10
untuk j =9,
4+2(-5+i )
10
2
146
i=1
10
2
+ 5( -5 + j) 2
= 1010+660+410+260+210+260+410+660+1010+1460
j = 1i = 1
= 6350
5 5
Secara analisis :
4 2 x 2 5 y 2 dydx= 623.33333
-5 -5
28 June 2016
Metode Numerik II
12
Contoh :
Hitung :
1 1
8e
x2 y 2
dydx
0 0
1 1
8e
0 0
28 June 2016
x y
2
2
10
10
1
1
dxdy =
8e
10 j = 1 10 i = 1
1 2
1 2
i
j
100
100
Metode Numerik II
13
10
8
e
100 i = 1
1 2
1
i
( j 1)2
100
100
1
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
10
8
e
100 i = 1
10
8
e
100 i = 1
1
( j 3) 2
100
1 2
1
i
( j 5) 2
100
100
1 2
1
i
( j 7) 2
100
100
1
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
28 June 2016
1
( j 9) 2
100
= 0.565995466
= 0.522479666
= 0.445227802
= 0.350228594
1
,
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
,
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
,
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
,
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
1
1
1
= 0.254318156
,
1
1
( j 4) 2
100
1
( j 6) 2
100
8 10 100 i 2
e
100 i = 1
Metode Numerik II
1
( j 2) 2
100
= 0.487156812
= 0.398850263
1
( j 8) 2
100
= 0.549267772
= 0.301444544
1
( j 10) 2
100
= 0.210310722
14
Lanjutan
1
10
contoh
1 10
1 2
i
100
8e
1 2
- 100
j
10 j = 1 10 i = 1
1 1
Secara analisis :
8e
= 4.085279798
x2 y 2
dydx = 4.4619703
0 0
28 June 2016
Metode Numerik II
15
Metode Kuadrat Gauss
1 1
I =
f ( x, y) dx dy
-1 -1
Dihitung sebagai berikut :
n
I = f ( x, y) dx dy = wi f (xi , y ) dy
-1 -1
-1 i=1
1 1
1
n
n
n
= w j wi f (xi , y j ) = wi w j f (xi , y j )
j=1
i=1
i=1 j 1
n
dimana w, x dan y dapat dilihat dalam tabel
28 June 2016
Metode Numerik II
16
Dengan cara yang sama untuk triple integral
diperoleh :
1 1 1
I=
f ( x, y, z ) dx dy dz
-1 -1 1
n
n
n
= wi w j wk f (xi , y j ,zk )
i=1 j 1 k 1
28 June 2016
Metode Numerik II
17
Contoh
Hitung integral berikut dengan menggunakan Kuadrat Gauss untuk 2 titik.
2
I=
4
3
5 xy 3 z 2 dx dy dz
z=0 y=1 x 1
Selanjutnya dilakukan transformasi variabel :
x=
(b - a )x + a + b
(3+1)x -1+3
=
=2x +1
2
2
(b - a )y + a + b
(4-1)y +1+4
y=
=
= 1.5 y + 2.5
2
2
(b - a )z + a + b
(2-0)z +0+2
z=
=
=z +1
2
2
28 June 2016
Metode Numerik II
18
Dari persamaan di atas diperoleh :
dx = 2dx , dy = 1.5 dy
,
dz = dz
sehingga integral menjadi :
1 1 1
I=
3
2
5(2
x
1)(1.5y+2.5)
(
z
+
1)
dx dy dz
-1 -1 1
Dengan Kuadrat Gauss untuk 2 titik :
2
2
2
I = wi w j wk f (xi , y j , zk )
i=1 j 1 k 1
28 June 2016
Metode Numerik II
19
f (xi , y j , zk )
dimana nilai-nilai nya sebagai berikut :
i
1
1
1
1
2
2
2
2
Hasil Integrasi menjadi
Hasil exact = 3400.
28 June 2016
j
1
1
2
2
1
1
2
2
k
1
2
1
2
1
2
1
2
f (xi , y j , zk )
3066.80835
220.186966
350.808624
25.1869297
-220.186905
-15.8087111
-25.186924
-1.80833995
3400.00000
Metode Numerik II
20
28 June 2016
x
y
z
f(x,y,z)
0.5773503
0.5773503
0.5773503
3066.808674
0.5773503
0.5773503
-0.5773503
220.1869155
0.5773503
-0.5773503
0.5773503
350.8087044
0.5773503
-0.5773503
-0.5773503
25.18692711
-0.5773503
0.5773503
0.5773503
-220.1870376
-0.5773503
0.5773503
-0.5773503
-15.80871511
-0.5773503
-0.5773503
0.5773503
-25.18694108
-0.5773503
-0.5773503
-0.5773503
-1.808340675
Metode Numerik II
21
Tabel Kuadrat Gauss
n
Nilai xi
wi
1
0
0.5773503
2
0
0.77459667
0.88888889
0.33998104
0.65214515
0.86113631
0.34785485
0
0.53846931
0.56888889
0.90617985
0.23692689
0.23861918
0.46791393
2
3
4
5
6
28 June 2016
Metode Numerik II
1
0.55555555
0.47862867
22
TERIMA KASIH
23