Transcript Metode Numerik

Metode Numerik
PENDAHULUAN
Komputer, Manusia, dan Persoalannya
• Membantu manusia menanggulangi persoalan :
–
–
–
–
Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.)
Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.)
Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.)
Dalam sains (pergerakan benda ruang angkasa, dsb.)
• Dng. modelling, persoalan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk
formula matematis.
• Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal :
– Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut
mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu
wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati
kawasan yg. buruk, dsb.
• Utk. dapat jawaban perlu metoda.
• Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari.
• Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada
titik-titk tertentu dng. metode numerik.
2
Beberapa Model Matematis
• Sistem Persamaan Linear (SPL)
– Bentuk Umum :
Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi :
Ax = b
A : matriks berukuran N X N
b : vektor berukuran N
– Contoh :
• Cari x yang memenuhi :
x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 3
2x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 2
5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5
-3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2
• Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya
berbeda.
• Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian
memori.
3
Beberapa Model Matematis
• Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL)
– Bentuk Umum :
Cari x yg. memenuhi :
f1(x1,x2,...,xN) = 0
f2(x1,x2,...,xN) = 0
... = ...
fN(x1,x2,...,xN) = 0
– Contoh :
x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0
x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0
x2 + y2 + z2 + z = 0
• Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
– Bentuk Umum :
A  xx  B  xy  C  yy  F ( x , y ,  ,  x ,  y )
A, B, C : konstan
4
Beberapa Model Matematis
– Contoh :
Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat :
Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1
Syarat batas :
x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x)
x = 1 : u(1,y) = f4(y)
; y = 1 : u(x,0) = f2(x)
Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :
5
Beberapa Model Matematis
• Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB)
– Bentuk Umum :
y’ = f(x,y), y(x0) = y0
didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar
sistem).
– Contoh :
Model dinamika populasi dan
sistem persamaan 2non-linier :
2
y
x
; y '  yx  y 
x '  x  xy 
10
20
Nilai awal : x ( 0 )  2 , y ( 0 )  1 untuk 0  t  30
Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :
6
Beberapa Model Matematis
– PDB ada 2 macam :
• PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan
nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya.
• PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak
terlalu berbeda jauh.
– PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah
proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier.
• Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model
lain, misal :
– PDP bisa menjadi PDB
– SPNL harus melalui proses SPL
7
Metode Numerik
• Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat
dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa
(tambah, kurang, kali, dan bagi).
• Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi
metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung
dengan menggunakan angka-angka.
Metode Numerik
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar
kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan
menjenuhkan
• Karena itu diperlukan bantuan komputer
untuk melaksanakannya
Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan”  analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan  numerik
Persoalan matematika
Bagaimana cara menyelesaikannya ?
1. Tentukan akar2 persamaan polinom
23.4x7 - 1.25x6+ 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0
2. Selesaikan sistem persamaan linier
1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f + 100g = 18
0.9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f - 10g = 17
4.6a + 3b – 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19
3.7a – 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6
2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7.5f + 18g = 9
5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e – 25f + 10g = 0
1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5
Metode Analitik versus Metode
Numerik
• Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu
berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang
biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik
yang selanjutnya fungsi mateamatik tersebut dapat
dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
• Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh
solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati
sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
(approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi
hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi
hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga
ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan
galat (error).
Metode Analitik versus Metode
Numerik
• Kebanyakan persoalan matematika tidak
dapat diselesaikan dengan metode analitik.
• Metode analitik disebut juga metode exact
yang menghasilkan solusi exact (solusi sejati).
• Metode analitik ini unggul untuk sejumlah
persoalan yang terbatas.
• Padahal kenyataan persoalan matematis
banyak yang rumit, sehingga tidak dapat
diselesaikan dengan metode analitik.
Metode Analitik vs Metode Numerik
• Kalau metode analitik tidak dapat diterapkan,
maka solusi dapat dicari dengan metode
numerik.
• Metode Numerik adalah teknik yang
digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematika sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *)
Perbedaan Metode Numerik dan Metode
Analitik
• Metode Numerik
– Solusi selalu berbentuk angka
– Solusi yang dihasilkan solusi pendekatan sehingga
terdapat error
• Metode Analitik
– Solusi dapat berupa fungsi matematik
– Solusi yang dihasilkan solusi exact
Contoh kasus Metode Numerik
• Pemodelan tumpahan minyak, peringatan dini
penanggulangan, dan analisis tingkat
kerusakan lingkungan di indonesia
• Prakiraan cuaca
• Pergerakan benda-benda langit
MOTIVASI METODE NUMERIK VS
ANALITIK
Contoh
• Selesaikan integral di bawah ini
I 
 4  x dx
1
2
1
• Metode Analitik
Contoh
• Metode Numerik
• Error = |7.25-7.33| = 0.0833
Motivasi Metode Numerik di Bidang
Rekasaya Termodinamika
• Contoh
Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100C,
kemudian pada saat t=0, bola itu dimasukkan ke dalam air
yang bersuhu 30C. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang
menjadi 70C. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit.
Diketahui tetapan pendinginan bola logam tersebut adalah
0,1865
Hukum pendinginan Newton, laju pendingian bola setiap
detiknya DT/dt = -k(T-30)
Dengan k=tetapan pendinginan bola logam
• Metode analitis matematikawan
Penyelesaian = metode kalkulus diferensial
Solusi umum T t = c𝑒 −𝑘𝑡 + 30
Nilai awal yang diberikan adalah T(0) = 100, dengan
menggunakan nilai awal solusi khusus persamaan diferensial
adalah T t = 70𝑒 −0.1865𝑥22.78 + 30 = 31 C
Jadi suhu bola setelah 22.78 menit adalah 31 C
Motivasi Dari Persamaan Non Linear 2
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur didapat
persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan
produksi dalam satu hari sebagai berikut:
C  13000 N
1
 158 . 11 N
 0 .5
 N  0 . 0025 N
dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
2
Motivasi Dari Persamaan Non Linear 3
• Contoh
Suatu pengiriman barang yang
memproduksi coklat dengan
campuran krem, cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan
pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-
masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah
dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah :
2

 3 ( 2 x  3 y );
f ( x, y )  

 0;
0  x  1, 0  y  1
u n tu k x ya n g la in
 
a. Tunjukkan
  f ( x, y ) dx dy  1
 
b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x <
1
2
;
1
4<
y<
1
2}
26
Jawab:
a.
 
1 1
 

2 ( 2 x  3 y )d xd y 
5
f ( x, y )d xd y 
 
0 0
1


(2 
5
x 1
1

;
 
1/ 4
1/ 2


1/ 4
0
dy
x0
2
1
6y
2 y 3y
)d y  (

)
5
5
5
 2 3 1
5
5
0
1
1
<
y
<
2
4
)
1
2
1/ 2 1/ 2

6 xy

5
0
0
b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x <
2
2x
5
x 1 / 2
1/ 2
2 (2 x  3 y ) dxdy 
5

2x
5
2

6 xy
5
x 0
1/ 4
1/ 2
2
3y
y
3y
1
( 
)dy  ( 
)
10
5
10
10
dy
 13
160
1/ 4
27
Motivasi untuk interpolasi
Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu.
Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa
yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang
dibandingkan dengan nilai sekarang.
Tingkat suku bunga
F/P (n = 20 tahun)
15
20
25
16,366
38,337
86,736
30
190,050
Motivasi Interpolasi
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang
dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut
pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi
linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian,
kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga
metode tersebut.
Peranan Komputer dalam
Metode Numerik
• Program = FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC,
dan sebagainya.
• aplikasi = MathLab, MathCad, Maple,
Mathematica, Eureka, dan sebagainya
Penyelesaian persoalan numerik
1. Identifikasi masalah
2. Memodelkan masalah ini secara matematis
3. Menyederhanakan model
4. Formulasi Numerik
- Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk
menyelesaikannya dengan taksiran analisis galat awal (yaitu taksiran
galat, penentuan ukuran langkah)
- Pertimbangan memilih metode : apakah metode tersebut teliti,
mudah diprogram?
- Menyusun algoritma dari metode yang dipilih
5.
6.
7.
Pemrograman=Implementasi metode ini dalam komputer
Operasional=uji coba
Evaluasi
Metode Numerik VS Analisis Numerik
• Analisis Numerik = kajian baru setelah metode
numerik  analisis untuk mengetahui metode
numerik yang digunakan apakah sudah
memberikan solusi hampiran yang paling
tepat
• Metode = algoritma persoalan masalah secara
numerik
• Analisis = analisa metode