Transcript Metode Numerik - Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Metode Numerik
Integrasi Numerik
Umi Sa’adah
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
2012
PENS-ITS
1
Metode Numerik
Topik
•
•
•
•
•
•
Integral Reimann
Trapezoida
Simpson 1/3
Simpson 3/8
Kuadratur Gauss 2 titik
Kuadratur Gauss 3 titik
PENS-ITS
2
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK
• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu
integral dan turunan(derivative)
• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara
yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh
jawaban hampiran (aproksimasi) dari
pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan
secara analitik.
PENS-ITS
3
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK
• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
• Fungsi yang rumit misal :
2

0
3
2  cos(1  x 2 )
1  0.5 sin x
e 0.5 x dx
n 1
ax
n
ax
 dx  n  1  C
ax
e
ax
e
 dx  a  C
1 cos(ax  b)  C
sin(
ax

b
)
dx



a
1 sin(ax  b)  C
cos(
ax

b
)
dx


a
1
 x dx  ln | x | C
 ln | x |dx  x ln | x |  x  C
PENS-ITS
4
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK
• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak
keperluan.
• digunakan untuk menghitung luas daerah yang
dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
• Penerapan integral : menghitung luas dan volumevolume benda putar
PENS-ITS
5
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik
 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
f(x)
x0

b
a
n
f ( x)dx   ci f ( xi )
i 0
 c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  ...  cn f ( xn )
x1
xn-1
PENS-ITS
xn
x
6
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik
• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat
awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih
mendekati jawaban eksak.
12
10
8
6
4
2
0
3
5
7
PENS-ITS9
7
11
13
15
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
b
b
a
a
I   f ( x )dx   fn ( x )dx
 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x)  a0  a1 x    an1 x
PENS-ITS
n1
 an x
n
8
 fn (x) bisa fungsi linear
 fn (x) bisa fungsi kuadrat
PENS-ITS
Metode Numerik
9
Metode Numerik
 fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi
PENS-ITS
10
Metode Numerik
 Polinomial dapat didasarkan pada data
PENS-ITS
11
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK
• Luas daerah yang diarsir
L dapat dihitung dengan
:
b
• L =  f  x dx
a
PENS-ITS
12
Metode Numerik
Metode Integral Reimann
0.5
x *cos(3*x )*ex p(-2*x)+0. 35
x *cos(3*x )*ex p(-2*x)+0. 35
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0
0.5
1
1.5
PENS-ITS
2
2.5
3
13
Metode Numerik
Metode Integral Reimann
• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x
= [a,b]
• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi
panjang dimana Li  xi. f ( xi)
PENS-ITS
14
Metode Numerik
Metode Integral Reimann
• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
L  L0  L1  L2  ..  Ln
 f x0 x0  f x1 x1  f x2 x2  ...  f xn x3
n
  f xi xi
i 0
• Dimana
• Didapat
x0  x1  x2  ...  xn  h
b
n
a
i 0
 f x dx  h f xi 
PENS-ITS
15
Metode Numerik
Contoh
1
L =  x 2 dx
0
• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x
untuk range x = [0,1]
1
x **2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
PENS-ITS
0.6
0.7
0.8
0.9
1
16
Metode Numerik
Contoh
• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L  h. f ( xi )
i 0
 0.10  0.01  0.04  0.09  0.16  0.25  0.36  0.49  0.64  0.81  1.00
 0.13,85  0,385
• Secara kalkulus :
1
1 3 1
L   x dx  x |0  0,3333.....
3
0
2
• Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
•
= 0,052
PENS-ITS
17
Metode Numerik
Algoritma Metode Integral Reimann
•
•
•
•
•
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N
L  h. f ( xi )
i 0
PENS-ITS
18
Metode Numerik
Metode Integrasi Trapezoida
• Aproksimasi garis lurus (linier)

b
a
1
f ( x )dx   c i f ( x i )  c0 f ( x0 )  c 1 f ( x1 )
i 0
h
  f ( x0 )  f ( x 1 )
2
f(x)
L(x)
x0
PENS-ITS
x119 x
Metode Numerik
Aturan Komposisi Trapesium

b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn  1
f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx    
f ( x )dx
h
 f ( x0 )  f ( x 1 )   h  f ( x 1 )  f ( x 2 )     h  f ( x n 1 )  f ( x n ) 
2
2
2
h
  f ( x0 )  2 f ( x1 )    2f ( x i )    2 f ( x n1 )  f ( x n )
2

f(x)
ba
h
n
x0
h
x1
h
PENS-ITS
x2
h
x3
h
x420 x
Metode Numerik
Metode Integrasi Trapezoida
1
Li   f  xi   f  xi 1 .xi
2
atau
1
Li   f i  f i 1 .xi
2
 1
L   Li
i 0
n 1
1
h
L   h f i  f i 1    f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n1  f n 
2
i 0 2
n 1

h
L   f 0  2 f i  f n 
2
i 1

PENS-ITS
21
Metode Numerik
Algoritma Metode Integrasi
Trapezoida
• Definisikan y=f(x)
• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)
• Tentukan jumlah pembagi n
• Hitung h=(b-a)/n
• Hitung
n 1

h
L   f 0  2 f i  f n 
2
i 1

PENS-ITS
22
Aturan Simpson 1/3
Metode Numerik
• Aproksimasi dengan fungsi parabola
2
b
ci f ( xi )  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  c2 f ( x2 )
a f ( x)dx  
i 0
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
L(x)
f(x)
x0
h
x
PENS-ITS 1
h
x2 23 x
Metode Numerik
Aturan Komposisi Simpson
ba
h
n
f(x)
…...
x0 h x1 h x2 h x3 h
PENS-ITS
x4
xn-2 xn-1
xn
24
x
Metode Numerik
Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2
yang melalui ketiga titik tsb
p2 x  f ( x0 ) 
x
x ( x  h) 2
x
x ( x  h) 2
f ( x0 ) 

f
(
x
)

f


f

 f0
0
0
0
2
2
h
2!h
h
2!h
PENS-ITS
25
Polinom Interpolasi
Newton Gregory
PENS-ITS
Metode Numerik
26
Polinom Interpolasi
Newton Gregory
Metode Numerik
Bentuk Umum
PENS-ITS
27
Metode Numerik
Cara II
(Buku Rinaldi Munir hlm 285)
• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
2h
L
2h
 f ( x)dx   p xdx
2
0
0
x
x ( x  h) 2 

L    f 0  f 0 
 f 0 dx
2
h
2
!
h

0
2h
 x3
x2
x2
L  f0 x 
f 0   2 
2h
4h
 6h
 2 x2h
 f 0 | x 0

 8h 3 4 h 2  2
4h 2
 f 0
L  2hf0 
f 0   2 
2h
4h 
 6h
 4h

L  2hf0  2hf 0    h 2 f 0
 3

h
L  2hf0  2hf 0  2 f 0
3
PENS-ITS
28
Metode Numerik
Cara II
(Buku Rinaldi Munir hlm 286)
• Mengingat
f 0  f1  f 0
2 f 0  f1  f 0  ( f 2  f1 )  ( f1  f 0 )  f 2  2 f1  f 0
• Maka selanjutnya
h 2
 f0
3
h
L  2hf0  2h( f1  f 0 )  ( f 2  2 f1  f 0 )
3
h
2h
h
L  2hf0  2hf1  2hf0  f 2 
f1  f 0
3
3
3
h
4h
h
L  f0 
f1  f 2
3
3
3
h
L  ( f 0  4 f1  f 2 )
3
L  2hf0  2hf 0 
PENS-ITS
29
Metode Numerik
Kaidah Simpson 1/3 (total)
Ltotal =

b
a
f ( x)dx 
x2
x4
xn
x0
x2
xn 2
 f ( x)dx   f ( x)dx  ...  f ( x)dx
h
h
h
( f 0  4 f 1  f 2)  ( f 2  4 f 3  f 4)  ...  ( fn  2  4 fn  1  fn)
3
3
3
n 1
n2
h
 ( f 0  4  fi  2  fi  fn)
3
i 1, 3, 5
i  2, 4, 6

• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap
PENS-ITS
30
Metode Integrasi
Simpson 1/3
Metode Numerik
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang
dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai
berikut:
N=0–n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
h
h
h
h
L   f 0  4 f1  f 2    f 2  4 f3  f 4    f 4  4 f5  f 6   ...  f n2  4 f n1  f n 
3
3
3
3
• atau dapat dituliskan dengan:
L

h 

f

4
f

2
f

f


0
i
i
n

3
i ganjil
i genap

• Disyaratkan jml pias (n) genap
PENS-ITS
31
Metode Numerik
Contoh
• Hitung integral
1
 2 x dx
3
0
Ltotal
Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10))
= 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864
+2.744+2.048+5.832+2)
= 0.0333333 * 15
= 0.5
Nilai eksak = 1 2 x 4 |10 = 0.5
Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0
PENS-ITS
32
Metode Numerik
Aturan Simpson 3/8
 Aproksimasi dengan fungsi kubik

b
a
3
f ( x )dx   c i f ( x i )  c0 f ( x0 )  c 1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )  c 3 f ( x 3 )
i 0

3h
 f ( x0 )  3 f ( x 1 )  3 f ( x 2 )  f ( x 3 ) 
8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
PENS-ITS
x2
h
x3
33
x
Metode Integrasi
Simpson 3/ 8
Metode Numerik
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari
daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X
dapat dihitung sebagai berikut:
N=0–n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
3
3
3
3
L  h f 0  3 f1  3 f 2  f 3   h f 3  3 f 4  3 f 5  f 6   h  ...  h f n3  3 f n2  3 f n1  f n 
8
8
8
8
• atau dapat dituliskan dengan:
PENS-ITS
34
Metode Numerik
Latihan Soal
• Hitung Integral dengan menggunakan
1
1
0 1  e x dx
– Integral Reimann
– Integrasi Trapezoida
– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8
PENS-ITS
35
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss
• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)
 berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan
batasan :
– h sama
– Luas dihitung dari a sampai b
• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup
besar.
PENS-ITS
36
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss
• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
1
h
I   f ( x)dx   f (1)  f (1)  f (1)  f (1)
2
1
h  1  (1)  2
• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
1
I
 f ( x)dx c
1
f ( x1 )  c2 f ( x2 )
1
• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1  menjadi metode trapezoida
• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut
sehingga error integrasinya minimum
PENS-ITS
37
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss
• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah
yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan
yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode
trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi
linier.
• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi
integral pada interval integrasi [-1, 1]
• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
PENS-ITS
38
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss
1
I
 f ( x)dx c
1
f ( x1 )  c2 f ( x2 )
1
1
f ( x)  1   1dx  x | xx 11  1  (1)  2  c1  c 2
1
1
f ( x)  x   xdx  1 x 2 | xx 11  1 (1) 2  1 (1) 2  0  c1 x1  c 2 x 2
2
2
2
1
1
f ( x)  x   x 2 dx  1 x 3 | xx 11  1 (1) 3  1 (1) 3  2  c1 x12  c 2 x 22
3
3
3
3
2
1
1
f ( x)  x   x 3 dx  1 x 4 | xx 11  1 (1) 4  1 (1) 4  0  c1 x13  c 2 x 23
4
4
4
3
1
PENS-ITS
39
Metode Numerik
Sekarang sudah didapatkan 4
persamaan simultan sbb :
c1  c2  2
apabila dipecahkan
menghasilkan
c1 x1  c2 x 2  0
c1 x1  c 2 x 2  2
2
2
c1  c 2  1
x1 
x2 
3
c1 x1  c 2 x 2  0
3
1
3
1
3
 0.577350269
 0.577350269
3
Sehingga :
1
I
 f ( x)dx  f (
1
PENS-ITS
1
3
) f(
1
3
)
40
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss
• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss
Legendre 2 titik
1
1
1 f ( x)dx  g ( 3 )  g ( 3 )
1
• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di
dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan
mengevaluasi nilai fungsi g pada x  1 3 dan x  1 3
PENS-ITS
41
Metode Numerik
Transformasi
b
1
Li   f ( x)dx
Li   g (u)du
1
a
•
•
•
•
Range [a,b]
x
f(x)
dx




PENS-ITS
[-1,1]
u
g(u)
du
42
Metode Numerik
Transformasi
x  a u 1

ba
2
2 x  2a  (u  1)(b  a)
2 x  (u  1)(b  a)  2a
b  a  bu  au  2a
x
2
(b  a) (b  a)
x

u
2
2
(b  a)
dx 
du
2
a
x
b
-1
u
1
PENS-ITS
43
Metode Numerik
Transformasi
1
b
Li   f ( x)dx   g (u)du
a
1
 (b  a) (b  a)  (b  a)
g (u )  f 

u
2
 2
 2
(b  a)
 (a  b) (b  a) 
1 g (u)du  2 1 f  2  2 u du
1
1
PENS-ITS
44
Metode Numerik
Analisa
• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,
Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih
sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena
hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
• Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu
menjadi
1
 g (u)du
1
PENS-ITS
45
Algoritma
Metode Numerik
Integrasi Kuadratur Gauss
dgn Pendekatan 2 titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
x
(b  a) (b  a)

u
2
2
(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:
g (u ) 
(5) Hitung:
(b  a)  (b  a) (b  a) 
f

u
2
2
 2

 1   1 
L  g 
  g

3  3

PENS-ITS
46
Metode Numerik
PENS-ITS
47
Metode Numerik
Metode Gauss Legendre 3 Titik
1
I
 f ( x)dx c
1
f ( x1 )  c2 f ( x2 )  c3 f ( x3 )
1
• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran
bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi
2
berikut :
f ( x)  1; f ( x)  x; f ( x)  x
f ( x)  x 3 ; f ( x)  x 4 ; f ( x)  x 5
• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan
5
8
5
c1  ; c 2  ; c3 
9
9
9
x1   3 5  0.774596669
x2  0
x3  3 5  0.774596669
PENS-ITS
48
Metode Numerik
Metode Gauss Legendre 3 Titik
Sehingga rumus luasannya menjadi :
5 
3 8
5  3






g
(
u
)
du

g


g
0

g
1
9 
5  9
9  5 
1
PENS-ITS
49
Metode Numerik
Algoritma Metode Integrasi Gauss
dengan Pendekatan 3 Titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
x
(b  a) (b  a)

u
2
2
(b  a)  (b  a) (b  a) 
(4) Tentukan fungsi f(u) : g (u) 
f

u
2
2
 2

5 
3 8
5  3


1 g (u )du  9 g   5   9 g 0  9 g  5 




1
(5) Hitung:
PENS-ITS
50
Metode Numerik
Metode Gauss n-Titik
PENS-ITS
51
Metode Numerik
Beberapa Penerapan Integrasi
Numerik
• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan
Gambar
• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
PENS-ITS
52
Metode Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan
Gambar
9
6
3
Skala 1:100000
0
•
•
5
10
15
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau
membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak
mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100
m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini
n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
PENS-ITS
53
Metode Numerik
Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan
menggunakan 3 macam metode:
• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
16
L  h yi  73.5
i 0
• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
15
h

L   y0  2 yi  y16   73.5
2
i 1

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

h

L   y0  4  yi  2  yi  y16   74
3
i  ganjil
i  genap

PENS-ITS
54
Metode Numerik
Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar
• Luas benda putar:
b
L p  2  f ( x ) dx
a
• Volume benda putar:
b
V p     f ( x) dx
2
a
PENS-ITS
55
Metode Numerik
Contoh :
5
cm
7
cm
I
II
6
cm
4
cm
III
IV
12
cm
7
cm
satuan dalam cm
• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
• Bagian I: LI  2 (4)(7)  56
• Bagian III: LIII
VI   (4)(7) 2  196
 2 12(12)  288 VIII  2 1212  3456
2
PENS-ITS
56
Metode Numerik
Contoh :
•
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area ,
misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
•
•
Pada bagian II dan IV: LII  LIV dan V  V
II
IV
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
4

h
LII ( LIV )  2  y0  y5  2 yi   108
2
i 1

4

h 2
2
VII  VIV     y0  y5  2 yi2   1187.5
2
i 1

PENS-ITS
57
Metode Numerik
Contoh :
• Luas permukaan dari botol adalah: L
 LI  LII  LIII  LIV
 56  108  288  108
 560
 1758.4
• Luas = 1758.4 cm2
• Volume botol adalah:
V  VI  VII  VIII  VIV
 196  1187.5  3456  1187.5
 6024
• Volume = 18924.78 cm3
PENS-ITS
58