Transcript Document 9653494

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Derivatif Fungsi Inverse dan Fungsi
Komposisi
Pertemuan 10
Sasaran
Pengkajian mengenai derivatif fungsi inverse dan
fungsi komposisi. Juga dikaji contoh-contoh dan
latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan fungsi f:
R R dengan f(x) = x3 . Dapat diperlihatkan bahwa f
adalah differensiabel, naik tajam, f(R)=R dan f
-1
: R R kontinu. Tetapi fungsi
inversnya tidak differensiabel di x = 0. Sebagai bukti, untuk x0,
1
f 1 ( x)  f 1 (0) x 3
1

 2 ,
x0
x
x 3
Sehingga
f 1 ( x)  f 1 (0)
Lim
tidak ada
x 0
x0
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval terbuka yang memuat x 0 dan fungsi f: I  R adalah
monoton tajam dan kontinu. Misalkan juga f differensial di x 0 dan f (x0)0.
Ambil J = f(I). Maka fungsi inverse f -1 : J  R adalah differensia-bel di titik y0 =
f(x0) dan
( f 1 )' ( y0 ) 
Bina Nusantara
1
.
'
f ( x0 )
Akibat
Misalkan I suatu interval terbuka dan fungsi f: I  R adalah monoton tajam dan
differensiabel dengan f (x)0 untuk semua x dalam I. Ambil J = f(I). Maka
fungsi inverse f -1 : J  R adalah differensiabel dan
( f 1 )' ( x) 
Bina Nusantara
1
'
1
f ( f ( x))
Untuk semua x dalam J.
Proposisi
Untuk bilangan alam n, fungsi g (0,)  R dengan g(x)=x1/n adalah differen1
1 n 1
'
siabel dan g ( x)  x untuk semua x > 0.
n
Bina Nusantara
Teorema
(Aturan Rantai)
Misalkan I suatu unterval terbuka yang memuat titik
x0 dan fungsi f: I  R adalah diferensiabel di x0.
Ambil J suatu interval terbuka sedemikian sehingga
f(I) J, dan misalkan fungsi g: J  R adalah
diferensiabel di f(x0). Maka fungsi komposisi gof: I
 R adalah diferensiabel di x0 , dan
(gof)(x0) = g(f(x0)) f(x0).
Bina Nusantara
Proposisi
Untuk bilangan terukur r, fungsi h: (0,)  R dengan
h(x) = xr adalah diferensiabel dan h(x) = r xr-1 untuk
x > 0.
Bina Nusantara
Teorema
(Aturan L’Hopital)
Misalkan I suatu interval teruka yang memuat titik x 0. Misalkan fungsi – fungsi
g: I  R dan h: I R adalah differensiabel di titik x 0 dan g(x0)=h(x0)=0. Bila
g(x)0 untuk x dalam I dengan xx0 dan g (x0)0, maka
h( x) h ' ( x0 )
Lim
 '
.
x  x0 g ( x)
g ( x0 )
Bina Nusantara
Contoh
4x  x4
Lim
 4 dan Lim
3
x  x0
x  x0
xx
Bina Nusantara
x2  1
1 x
2

 2
2
2 .