Transcript Document 9653482

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Derivatif dari Fungsi
Pertemuan 09
Sasaran
Pengkajian yang lebih mendalam mengenai derivatif
dari fungsi. Juga dikaji contoh-contoh dan latihan
soal-soal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Definisi
Misalkan I suatu interval terbuka yang membuat titik x 0 .
Fungsi f: I  R
disebut
diiferensiabel di x0 bila
f x  f x0 
lim
x x0
x  x0
ada, dalam hal ini limitnya ditulis sebagai f(x0) dan disebut dengan derivatif dari f di x0 ; yaitu
f x f x0
xx0
x  x0 .
f ' x0  lim
Bina Nusantara
Definisi (Lanjutan)
Bila fungsi f: I  R diferensiabel di setiap titik dalam I,
dikatakan bahwa f diferensiabel dan fungsi f: I  R
disebut derivatif dari f.
Untuk fungsi f: I  R yang diferensiabel di x0 ,
garis lurus yang disajikan dengan persamaan :
y = f(x0) + f(x0)(x - x0), untuk semua x dalam R
disebut garis singgung pada kurva f di titik (x0 ,f(x0)).
Bina Nusantara
Gambar
y
x,f(x))
f(x)-f(x0)
(x0,f(x0))
x– x0
y = f(x)
0
Bina Nusantara
x0
x
x
Proposisi
Untuk bilangan alam n, bentuk fungsi f: R  R
dengan f(x) = xn. Maka fungsi f diferensibel dan f(x)
= n xn-1 untuk semua x dalam R.
Bina Nusantara
Contoh
Fungsi f: R  R dengan f(x) = |x| adalah tidak differensiabel di x = 0.
Diamati, bahwa
Lim
f ( x)  f ( x0 )
|x|
 Lim
1
x  0, x  0 x
x  x0
Lim
f ( x)  f ( x0 )
|x|
 Lim
 1.
x  0, x  0 x
x  x0
x  0, x  0
x  0, x  0
Jadi Lim
x0
f ( x )  f ( 0)
, tidak ada. Dapat diperlihatkan bahwa bila x  0, maka f: R 
x0
R differensiabel di x, dan f(x) = 1 untuk x > 0 sedangan f(x) = -1 untuk x < 0.
Bina Nusantara
Proposisi
Misalkan I suatu interval terbuka yang memuat titik
x0 . Bila fungsi f: I  R diferensiabel di x0 , maka f
kontinu di x0 .
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval terbuka yang memuat titik x 0 . Misalkan juga fungsifungsi f: I  R dan g: I  R differensiabel di x 0 . Maka
i.
f + g : I  R differensiabel di x 0 dan (f+g) (x0)=f(x0)+g(x0),
ii.
f – g : I  R differensiabel di x 0 dan (f – g) (x0)=f(x0) – g(x0),
iii.
fg : I  R differensiabel di x 0 dan (fg) (x0)=f(x0)g(x0)+ f(x0)g(x0),
dan
iv.
bila g(x)  0 untuk semua x dalam I, maka f/g : I  R differensiabel di
'
 f 
g ( x0 ) f ' ( x0 )  f ( x0 ) g ' ( x0 )
. g ( x0 )
x0 dan   ( x0 ) 
2
g
(
g
(
x
))
 
0
Bina Nusantara
Proposisi
Untuk bilangan bulat n, ambil
R bila n  0,
S
R \ 0bila n  0
Maka fungsi f: S  R dengan f(x) = xn untuk semua x dalam S diferensiabel dan
f ' ( x)  nx n 1 untuk semua x dalam S.
Bina Nusantara
Akibat
Untuk polinom-polinom p: R  R dan q: R  R,
ambil S={x dalam R: q(x)0}. Maka hasil bagi p/q :
S R diferensiabel.
Bina Nusantara