Document 9653471
Download
Report
Transcript Document 9653471
Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Fungsi-fungsi Monoton dan Teorema
Fundamental Pertama dalam Kalkulus
Pertemuan 13
Sasaran
Pengkajian tentang
Fungsi–fungsi Monoton Dan
Teorema Fundamental Pertama
Dalam Kalkulus
Bina Nusantara
Definisi
Suatu fungsi f: D R disebut monoton naik bila f(x1)
f(x2) untuk semua titik – titik x1 dan x2 dalam D
sedemikian sehingga x1 x2 . Suatu fungsi f: D R
disebut monoton turun bila f(x1) f(x2) untuk semua
titik – titik x1 dan x2 dalam D sedemikian sehingga x1
x2 . Bila suatu fungsi monoton naik atau monoton
turun, fungsi ini disebut fungsi monoton.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f: [a,b] R adalah monoton. Maka
f: [a,b] R adalah integrabel.
Bina Nusantara
Gambar
y
y = f(x)
f(b) – f(a)
(b – a)/n
0 a=x0 x1 x2 x3 x4
xn-2 xn-1 xn=b
x
U(f,P) – L(f,P) = (f(b) – f(a))(b – a)/n
Bina Nusantara
Contoh
Fungsi f: [0,1] R dimana f (x) e
untuk 0 x 1 adalah integrabel dengan menggunakan
teorema di atas dan monotonitas (naik) dari fungsi f.
x2
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f: [a,b] R kontinu. Maka fungsi f
adalah integrabel.
Bina Nusantara
Akibat
Misalkan fungsi f: [a,b] R terbatas dan fungsi f:
(a,b) R kontinu. Maka fungsi f: [a,b] R
integrabel.
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan fungsi f: [0,1] R di mana
Bila 0 < x 1
sin ( 1 ) bila x 0
x
f(x)
4
Fungsi f: [0,1] R adalah terbatas, dan fungsi f: (0,1) R adalah
kontinu.
Berdasarkan Akibat 9.7, fungsi f: [0,1] R integrabel.
Bina Nusantara
Contoh
Misalkan fungsi f: [a,b] R berharga konstan k pada interval terbuka (a,b).
Jelas bahwa fungsi f: [a,b] R tersebut adalah integrabel. Ambil partisi
sebarang P = { x0 , x1 ,..., xn } dari [a,b]. Maka untuk setiap indek i di mana
1 i n, mi k Mi . Jadi dan dengan definisi dan integral,
b
f
k (b a ).
a
Bina Nusantara
Proposisi
Misalkan fungsi f: [a,b] R terbatas. Untuk setiap bilangan alam n, misalkan
Pn adalah partisi dari [a,b]. Misalkan bilangan A punya sifat bahwa
Lim L( f , Pn ) A LimU ( f , Pn ).
n
n
Maka fungsi f: [a, b] R integrabel dan
b
f
a
Bina Nusantara
A.
Contoh
1
1
xdx
. Ambil fungsi f: [0,1]
Dengan Proposisi 9.8 dapat dibuktikan bahwa
2
0
R di mana f(x) = x untuk setiap x dalam [0,1]. Fungsi f: [0,1] R adalah
monoton naik.
1 1 n i 1
L( f , Pn ) mi ( xi xi 1 ) f ( xi 1 )
n n i 1 n
i 1
i 1
n
n
1 n
1 n(n 1) 1 1
2 (i 1) 2
.
n i 1
n
2
2 2n
Bina Nusantara
Contoh (Lanjutan)
Juga diperoleh,
U ( f , Pn )
1 1
.
2 2n
Jadi
1
LimL( f , Pn ) LimU ( f , Pn ) ,
n
n
2
1
1
1
1
xdx
,
yaitu
f
.
Sehingga
2
2
0
0
Bina Nusantara
Teorema
(Teorema Fundamental Pertama dari
Kalkulus)
Misalkan fungsi f: [a,b] R integrabel. Misalkan fungsi f: [a,b] R kontinu,
dan fungsi f: (a,b) R diferensiabel dengan
F(x) = f(x) untuk semua x dalam (a, b).
Maka
b
f F (b) F (a).
a
Bina Nusantara
Contoh
Misalkan > 0. Ambil fungsi f: [0,1] R di mana f(x) = x untuk semua x
dalam [0,1]. Karena fungsi f: [0,1] R kontinu maka fungsi itu differensiabel.
Dengan Teorema 9.9 di atas, dapat diperlihatkan bahwa
1
x
dx
0
Bina Nusantara
1
1
Akibat
Misalkan fungsi F: [a,b] R kontinu, fungsi F: [a,b] R diferensiabel, dan
derivatif F: (a,b) R adalah kontinu dan terbatas. Maka
b
'
F
(x)dx F (b) F (a).
a
Bina Nusantara