Transcript TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA Pertemuan 3 – Teori Statistika II

Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
TEORI PENARIKAN CONTOH DAN
SEBAGAINYA
Pertemuan 3
Outline Materi :
• Sebaran t dan F
• Limit Fungsi Pembangkit Momen
• Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam
Peluang
Bina Nusantara University
2
1. Sebaran t dan F
Peubah acak T 
Z dengan Z sebagai peubah acak normal
Ur
baku dan U adalah peubah acak yang menyebar 2(r) di mana Z
dan U adalah dua peubah acak bebas.
Fungsi kepekatan t adalah
τr  1 2
1
f t  
.
πr τr 2  1  t 2 r r  1 2


- t 
U r1
Peubah acak F 
., dengan
V r1
U dan V adalah bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dan
menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r1 dan r2.
Bina Nusantara University
3
Fungsi kepekatan peluang peubah acak F adalah
τr1  r2  2 ωr1 2 - 1
f ω 
τr1 2 τr2 2 1  r1 ω r2  r1  r2  2
r1
r2  r1
2
= pengganti f untuk membedakan f sebagai notasi fungsi.
Bila ingin membandingkan ragam dua sebaran normal N(, 12)
dan N(2, 22). Contoh acak bebas diambil dengan ukuran
masing-masing n1 dan n2 sehingga
nisbah
2
S12
σ2
S2 2
σ2
2
 n1 - 1 S1 


2
 σ1


 n 2 - 1 S2 2 


2
 σ 2

n1 - 1
n 2 - 1
Dengan S12 dan S22 ragam contoh dari populasi 1 dan populasi
4
2.
Bina Nusantara University
Nisbah ini mengingatkan kita pada F:
U r1
F
dimana
V r2
U adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat
dengan derajat bebas n1 – 1 dan V juga adalah peubah acak
yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r2 =
n2 – 1 dan kedua peubah acak ini bebas.


n1 - 1 S12
n 2 - 1 S2 2
U
dan V 
σ12
σ22
Contoh 3.1
Jika sebaran F adalah F(r1, r2) maka dengan tabel f dapat
dihitung misalnya: r1 = 7, r2 = 8
P(F  3,5) = 0,95 sehingga F 0,05(7,8) = 3,5 dan
Untuk r1 = 9, r2 = 4
5
P(F  314,66) = 0,95 sehingga F 0,05(9,4) = 14,66
Bina Nusantara University
Tabel f dapat digunakan untuk nilai peluang kumulatif 0,01;
0,01 dan 0,05 dengan 1/F.
Jika F 
U r1
1 U r2
maka 
V r2
F V r1
Dan ini juga menyebar secara Fr2 , r1  sehingga
PF  F1 - α r2 , r1   α
1
P 
 F F1 - α
1
P 
 F F1 - α

1
α

r2 , r1 

1
1- α

r2 , r1 
1
1

 Fr2 , r1  maka P   Fr2 , r1   1 - α
F
F

1
1
sehingga 
 Fα r2 , r1  dan F1 - α r1 , r2  
F1 - α r1 , r2 
Fα r2 , r1 
karena
Bina Nusantara University
6
Contoh 3.2
Jika sebaran F adalah F(4, 9) maka P(F  c) = 0,01 dan
P(F  d) = 0,05
Dapat diperoleh sebagai berikut:
1
1
c  F 0,99 4,9  

 0,0682
F 0,01 9,4  14,66
1
1
d  F 0,95 4,9  

 0,1667
F 0,05 9,4  6,00
2. Limit Fungsi Pembangkit Momen
Suatu sebaran Binomial dapat didekati dengan sebaran Poisson bila
n cukup besar dan p kecil.
Fungsi pembangkit momen sebaran Binomial dapat didekati dengan
fungsi pembangkit momen Poisson.
Perhatikan:
Y ~ b(n, p), n  
np  
7
n0
Bina Nusantara University
Fungsi pembangkit momennya

 n dengan p  λ n
Mt   1 - λ  λ e t  n
n
n
n
t
 λ e - 1
 1  sehingga
Mt   1 - p  pe t
n


n
 b
Lim 1    e b
n 
n
 
 λ e -1 

Lim 1 n 
n 
t
Bina Nusantara University
n
λ  e t - 1

e 
8
Teorema 3.1
Jika barisan fungsi pembangkit momen mendekati nilai tertentu
sebut M(t) maka limit sebaran berhubungan dengan
sebarannya.
Contoh 3.3
Fungsi pembangkit momen Poisson dengan  = 5 mempunyai
sebaran Binomial dengan np = 5.
Keempat Fungsi Pembangkit
Momen:
5 e t - 1

P01λ   Mt   e 


1

t 10
b10,   Mt   0,5  0,5 e
2

1

t 20
b 20,   M t   0,75  0,25 e
4

1

t 50
b 50,   M t   0,9  0,1 e
10 




Bina Nusantara University

9
Makin besar n, nilai pendekatan Binomial makin dekat
dengan nilai sebaran Poisson.
Contoh 3.4
Peubah acak Y ~ b(50, 1/25) maka
 24 
PY  1   
 25 
50
 1   24 
 50    
 25   25 
49
 0,400
Dan dengan sebaran Poisson  = np = 2
P(Y  1) = 0,406
Bila contoh acak X1, X2, …., Xn dari sebaran dengan nilai
tengah  maka fungsi pembangkit momen
X  Mt n  n dan Lim Mt n  2  eμt
Bina Nusantara University
n 
10
Contoh 3.5
Misalkan X1, X2, ….., Xn merupakan contoh acak berukuran n
dari sebaran eksponensial dengan  = 2.
Fungsi pembangkit momen
-t
e
x - θ  θ adalah M n t  
n
1 - t
n
n
n,
dan semakin besar n limitnya menjadi Mt  e
t2 2
3. Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam
Peluang
Teorema 3.2
Jika peubah acak X mempunyai nilai tengah  dan ragam 2
maka
 11
P X - untuk
μ  kσk 
k2
Bina Nusantara University
11
Jika ε  kσ maka
P X - μ  ε  
σ2
ε2
P X - μ  kσ   1 P X - μ  ε   1 -
1
k2
σ2
ε2
Contoh 3.6
Jika X mempunyai nilai tengah 25 dan ragam 2 = 16 maka
batas bawah (Lower Bound) dari P(17 < X < 33) adalah
1
P17  X  33  P X - 25  8  P X - 25  2σ   1 -  0,75
4
Dan batas atas (Upper Bound) untuk P(|X – 25|  12) adalah
1

P X - μ  
9

Bina Nusantara University
12
Jika peubah acak Y ~ B(n, p). Y/n frekuensi sukses dan p
tidak diketahui sehingga Y/n digunakan menduga p.
P Y n - p  ε  
P Y n - p  ε  
Bina Nusantara University
pq n
2
ε
pq
dan
nε 2
13