TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA Pertemuan 3 – Teori Statistika II
Download
Report
Transcript TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA Pertemuan 3 – Teori Statistika II
Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
TEORI PENARIKAN CONTOH DAN
SEBAGAINYA
Pertemuan 3
Outline Materi :
• Sebaran t dan F
• Limit Fungsi Pembangkit Momen
• Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam
Peluang
Bina Nusantara University
2
1. Sebaran t dan F
Peubah acak T
Z dengan Z sebagai peubah acak normal
Ur
baku dan U adalah peubah acak yang menyebar 2(r) di mana Z
dan U adalah dua peubah acak bebas.
Fungsi kepekatan t adalah
τr 1 2
1
f t
.
πr τr 2 1 t 2 r r 1 2
- t
U r1
Peubah acak F
., dengan
V r1
U dan V adalah bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dan
menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r1 dan r2.
Bina Nusantara University
3
Fungsi kepekatan peluang peubah acak F adalah
τr1 r2 2 ωr1 2 - 1
f ω
τr1 2 τr2 2 1 r1 ω r2 r1 r2 2
r1
r2 r1
2
= pengganti f untuk membedakan f sebagai notasi fungsi.
Bila ingin membandingkan ragam dua sebaran normal N(, 12)
dan N(2, 22). Contoh acak bebas diambil dengan ukuran
masing-masing n1 dan n2 sehingga
nisbah
2
S12
σ2
S2 2
σ2
2
n1 - 1 S1
2
σ1
n 2 - 1 S2 2
2
σ 2
n1 - 1
n 2 - 1
Dengan S12 dan S22 ragam contoh dari populasi 1 dan populasi
4
2.
Bina Nusantara University
Nisbah ini mengingatkan kita pada F:
U r1
F
dimana
V r2
U adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat
dengan derajat bebas n1 – 1 dan V juga adalah peubah acak
yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r2 =
n2 – 1 dan kedua peubah acak ini bebas.
n1 - 1 S12
n 2 - 1 S2 2
U
dan V
σ12
σ22
Contoh 3.1
Jika sebaran F adalah F(r1, r2) maka dengan tabel f dapat
dihitung misalnya: r1 = 7, r2 = 8
P(F 3,5) = 0,95 sehingga F 0,05(7,8) = 3,5 dan
Untuk r1 = 9, r2 = 4
5
P(F 314,66) = 0,95 sehingga F 0,05(9,4) = 14,66
Bina Nusantara University
Tabel f dapat digunakan untuk nilai peluang kumulatif 0,01;
0,01 dan 0,05 dengan 1/F.
Jika F
U r1
1 U r2
maka
V r2
F V r1
Dan ini juga menyebar secara Fr2 , r1 sehingga
PF F1 - α r2 , r1 α
1
P
F F1 - α
1
P
F F1 - α
1
α
r2 , r1
1
1- α
r2 , r1
1
1
Fr2 , r1 maka P Fr2 , r1 1 - α
F
F
1
1
sehingga
Fα r2 , r1 dan F1 - α r1 , r2
F1 - α r1 , r2
Fα r2 , r1
karena
Bina Nusantara University
6
Contoh 3.2
Jika sebaran F adalah F(4, 9) maka P(F c) = 0,01 dan
P(F d) = 0,05
Dapat diperoleh sebagai berikut:
1
1
c F 0,99 4,9
0,0682
F 0,01 9,4 14,66
1
1
d F 0,95 4,9
0,1667
F 0,05 9,4 6,00
2. Limit Fungsi Pembangkit Momen
Suatu sebaran Binomial dapat didekati dengan sebaran Poisson bila
n cukup besar dan p kecil.
Fungsi pembangkit momen sebaran Binomial dapat didekati dengan
fungsi pembangkit momen Poisson.
Perhatikan:
Y ~ b(n, p), n
np
7
n0
Bina Nusantara University
Fungsi pembangkit momennya
n dengan p λ n
Mt 1 - λ λ e t n
n
n
n
t
λ e - 1
1 sehingga
Mt 1 - p pe t
n
n
b
Lim 1 e b
n
n
λ e -1
Lim 1 n
n
t
Bina Nusantara University
n
λ e t - 1
e
8
Teorema 3.1
Jika barisan fungsi pembangkit momen mendekati nilai tertentu
sebut M(t) maka limit sebaran berhubungan dengan
sebarannya.
Contoh 3.3
Fungsi pembangkit momen Poisson dengan = 5 mempunyai
sebaran Binomial dengan np = 5.
Keempat Fungsi Pembangkit
Momen:
5 e t - 1
P01λ Mt e
1
t 10
b10, Mt 0,5 0,5 e
2
1
t 20
b 20, M t 0,75 0,25 e
4
1
t 50
b 50, M t 0,9 0,1 e
10
Bina Nusantara University
9
Makin besar n, nilai pendekatan Binomial makin dekat
dengan nilai sebaran Poisson.
Contoh 3.4
Peubah acak Y ~ b(50, 1/25) maka
24
PY 1
25
50
1 24
50
25 25
49
0,400
Dan dengan sebaran Poisson = np = 2
P(Y 1) = 0,406
Bila contoh acak X1, X2, …., Xn dari sebaran dengan nilai
tengah maka fungsi pembangkit momen
X Mt n n dan Lim Mt n 2 eμt
Bina Nusantara University
n
10
Contoh 3.5
Misalkan X1, X2, ….., Xn merupakan contoh acak berukuran n
dari sebaran eksponensial dengan = 2.
Fungsi pembangkit momen
-t
e
x - θ θ adalah M n t
n
1 - t
n
n
n,
dan semakin besar n limitnya menjadi Mt e
t2 2
3. Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam
Peluang
Teorema 3.2
Jika peubah acak X mempunyai nilai tengah dan ragam 2
maka
11
P X - untuk
μ kσk
k2
Bina Nusantara University
11
Jika ε kσ maka
P X - μ ε
σ2
ε2
P X - μ kσ 1 P X - μ ε 1 -
1
k2
σ2
ε2
Contoh 3.6
Jika X mempunyai nilai tengah 25 dan ragam 2 = 16 maka
batas bawah (Lower Bound) dari P(17 < X < 33) adalah
1
P17 X 33 P X - 25 8 P X - 25 2σ 1 - 0,75
4
Dan batas atas (Upper Bound) untuk P(|X – 25| 12) adalah
1
P X - μ
9
Bina Nusantara University
12
Jika peubah acak Y ~ B(n, p). Y/n frekuensi sukses dan p
tidak diketahui sehingga Y/n digunakan menduga p.
P Y n - p ε
P Y n - p ε
Bina Nusantara University
pq n
2
ε
pq
dan
nε 2
13