Transcript Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Definisi :

Materi Pokok 24
LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1

Konvergen Dalam Fungsi Sebaran
Definisi :
Misalkan Fn(y) merupakan fungsi sebaran dari peubah acak Yn
yang tergantung pada ukuran contoh = n. Jika F(y) adalah fungsi
Fn y   F y  untuk setiap y dan
sebaran bagi Y dan jika nlim

F(y) kontinu maka peubah acak Yn disebut mempunyai sebaran
limit terhadap fungsi sebaran F(y); sekuens Y1, Y2,..., Yn adalah
konvergen dalam fungsi sebaran F(y).

Aplikasi Limit Sebaran
Contoh 1.
Misalkan X1, X2,..., Xn merupakan contoh acak berukuran n dan
Yn merupakan urutan ke n dalam contoh, fungsi kepekatan
peluang dari X1, X2,..., Xn adalah
1
f x   ; 0  θ  ; 0  x  θ
θ
 0, untuk selainnya
Fungsi kepekatan peluang dari Yn adalah
g n y  
ny n 1
n
,0  y  θ
θ
 o, untuk nilai lainnya
Fungsi sebaran dari Yn adalah
,y  0
0
 y
n Z n 1

 y
Fn y    
dz    , 0  y  θ
n
θ
 0 θ
  1
,θ  y 
maka
0,    y  θ
lim Fn y   
n
1, θ  y  
0,    y  θ
F y   
1, θ  y  
Jadi lim Fn y   F y 
n
Suatu sebaran diskrit yang peluangnya sama dengan satu pada
satu titik disebut degenerate distribution dan Yn konvergen dalam
f. Sebaran pada titik y = 
Contoh 2 :
Misalkan X mempunyai fungsi sebaran
n
x
1
- nω2 2
Fn x   
e
dω
- 1
2π
n
Substitusi kan peubah acak ν  nω
nx 1
- ν2 2
maka Fn x   
e
dν dan
-
2π
 0, x  0
1
Lim Fn x    , x  0 dan
n 
2
 1, x  0
0, x  0
Fx   
1, x  0
sehingga Lim Fn x   F x  setiap titik F x  yang kontinu
n
Contoh 3
Jika sekuens X1, X 2 , X3, ... konvergen dalam sebaran untuk
peubah acak X umumnya tidak dapat menentukan sebaran X
dengan menentukan limit fungsi kepekatan peluang dari Xn.
Bila fungsi kepekatan peluang
1

1, x  2 
f n x   
n
0, untuk x lainnya
lim f x   0
maka n   n
untuk semua nilai x sehingga Xn, n = 1, 2,
3,.... tidak konvergen dalam fungsi sebaran.
Fungsi sebaran dari Xn adalah
1

0, x  2  n
Fn x   
1, x  2  1

n
0, x  2
Limit Fn x   
n
1, x  2
0, x  2
F x   
1, x  2
karena Lim Fn x   F x  untuk semua titik kontinu dari F(x),
n
sekuens X1, X2, X3,… konvergen dalam sebaran untuk contoh
acak dalam fungsi sebaran F(x)
Contoh 4 :
Misalkan Yn melambangkan statistik urutan ke n contoh acak
dari sebaran seragam (uniform)dengan fungsi kepekatan
1
f x   , 0  x  θ, o  θ  
θ
Ambil Zn = n (-Yn) maka fungsi kepekatan peluang dari Zn
adalah

θ  z/n n 1
h n z  
,0  x  nθ
n
θ
 0, z lainnya dan fungsi sebaran dari Z n  G n z 
,z  0
0

n 1
z θ  ω/n 
G n z    
d, 0  z  n θ
n
θ
0
1
,nθ  z

,z  0
0

n
z
 
G n z   1  1   , 0  z  nθ
  nθ 
1
,nθ  z

,z  0
0
Lim G n z   
 z/θ
n
1

e
,0  z 

,z  0
0
G z   
 z/θ
1

e
,0  z

Contoh 5 :
Peubah acak Tn mempunyai sebaran t dengan nderajat bebas,
n =1, 2, 3,…
Fungsi sebarannya:
Fn (t) 
t


τ n  1 2
1

dy


n

1
2
πn Γ n/2  1  y 2/n 
dimana
f n y  fungsi kepekatan peluang dari Tn
lim Fn t   lim
n

t
f n y  dy
n   -
t
  lim f n
- n  
y  dy
 τ n  1 2
lim Fn y   lim 
n
n    n 2 τ n 2 
x lim
n
1
1  y n  2
2
1
n

2


 1  y 
lim 
1  
n
n 
 n 2 
2



n
2
 y2 
y
ingat lim 1    e sehingga
n  
n 
t
1  y2 2
lim Fn t   
e
dy

n 
2π
Jadi Tn mempunyai limit sebaran normal baku.
Materi pokok 25
LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2

Konvergensi dalam Peluang
Definisi:
Suatu sekuens peubah acak X1, X2, X3, ….. Konvergen dalam
peluang terhadap peubah acah X, jika untuk setiap  > 0,


P  X n  X    0
Lim P X n  X    1 atau
n
Lim
n
Contoh 1 _
Misalkan X n melambangkan nilai tengah contoh acak berukuran
n dari sebaran yang mempunyai _nilai tengah  dan ragam 2
maka nilai tengah dan ragam dari X n adalah berturut-turut  dan
2/n.
Perhatikan untuk  > 0:
 __

 __

kσ
 dengan k   n σ
P  X n  μ    P  X n  μ 



n




Berdasarkan ketaksamaan chebyshev peluang tersebut kurang
atau sama dengan 1/k2 = 2/ne2 sehingga
2
_

σ
Lim P  X n  μ    Lim
 0


2
n 
n


n


_
Akibatnya X n , n  1, 2, 3, ..... konvergen dalam
_ peluang terhadap
 jika 2 tertentu (finite). Jika  finite maka X n konvergen dalam
peluang dan hasil ini disebut WLLN (The Weak Law of Large
Numbers).
Suatu sifat konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh


P  Lim Yn  c   1
n  

dan dalam hal ini disebut Y_n , n = 1, 2, 3, …. konvergen ke c
dengan peluang 1. Jadi bila X n , n  1, 2, 3, .....sebagai nilai tengah
contoh acak yang konvergen dengan peluang 1 terhadap nilai
tengah sebaran =  maka bentuk ini merupakan bentuk SLLN
(The Strong Law of Large Numbers).
Teorema I
Bila Fn (y) melambangkan fungsi sebaran peubah acak Yn
yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat positif n dan c
merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n.
Sekuens Yn , n = 1, 2, 3,…. konvergen dalam peluang terhadap c
jika dan hanya jika limit sebaran degenerate pada y = c.

Limit Fungsi pembangkit Momen
Untuk menentukan Limit fungsi sebaran suatu peubah acak Yn
perlu mengetahui fungsi kepekatan peluang f(y) atau fungsi
sebaran Fn(y) untuk setiap n bulat positif, tetapi jika ada fungsi
pembangkit momen Yn = M (t; n) dapat digunakan untuk
menentukan limit fungsi sebaran.
Teorema 2
Misalkan peubah acak Yn mempunyai fungsi sebaran Fn(y) dan
fungsi pembangkit momen M(t; n) ada pada selang –h < t < h
untuk semua n. Jika ada fungsi sebaran F(y), dengan fungsi
pembangkit momen M(t) yang ada pada |t|  h1 < h sedemikian
sehingga Lim Mt; n   Mt  maka Yn mempunyai limit fungsi
n
sebaran dengan fungsi sebaran F(y).
Ingat,
cn
b
ψ(n)


Lim 1  
n 
n n
cn
 b
Lim 1    e bc
n   n
Bila Lim ψ n   0
n
 n/2
 n/2
3
2
3
 t2



t 
t
t
n


Lim 1  
 Lim 1 


n n 3/2 
n
n 
n   
n





3
1
2
t
untuk b   t , c   dan ψ n  
n
2
untuk t te rtentu
 n/2
3


 t2 t

2 2
t
n

Lim 1  
 e
n
n 
n   



Contoh 2
Misalkan Yn mempunyai sebaran binomial b(n,p),  = np adalah
sama untuk setiap n sehingga p  μ
n dimana  adalah konstanta.
Tentukan Lim M t; n 
n
n
 ty n  
t

M t; n   E  e
  1  p   pe


 
n
 u  e t  1 


 1  

n


Untuk semua nilai t yang nyata akibatnya:
μ  e t  1

Lim M t; n   e 
n
Karena ada sebaran yang mempunyai fungsi pembangkit momen
seperti itu yakni sebaran Poisson maka limit dari Yn adalah
sebaran Poisson.
Hasil dari contoh di atas menunjukkan bahwa dapat digunakan
sebaran Poisson untuk memperkirakan sebaran binomial bila n
besar dan p kecil misalnya untuk n = 50, dan p = 1 maka
25
50
49
24
1
24
 
  
P Y  1     50      0, 400
 25 
 25   25 
dan dengan pendekatan Poisson  = np = 2 maka
P (Y  1) = e-2 + 2e-2 = 0, 406
Contoh 3
Misalkan Zn ~ X12
maka fungsi pembangkit momen Zn = M (t; n) = (1 – 2t)
untuk ½. Nilai tengah dan ragam Zn berturut-turut n dan 2n.
Cari limit sebaran Y  Z  n
.
2n
n
n


Fungsi pembangkit momen Yn adalah

  Zn  n   
  
M t; n   E  exp  t 
2n   
 

M t; n   e
 tn/ 2n
E (e
tZn
2n
)
1   n/2
2n
  2 n  
 exp  -  t
1
2
,
t

  

n
2
2n 
2
  
 
 n/2
 t 2/n
2 t 2/n 
n
 e
t
e
, t

n
2


–n/2,
Menurut Taylor ada bilangan (n) antara 0 dan t 2 n
sehingga
2
e
t
2/n
Maka
Σ n
1  2
e
 1  t 2/n   t  
2  n
6
 2
t 
 n
3
 n/2
2




t
ψ
n

M t; n    1  
dengan

n
n 

3 Σ n 
3
4 Σ n
2t e
2t 2t e
ψ n  
3
n
3n
n
22
t
Lim M t; n   e
sehingga
n 
Yn  Z n  n 
2n mempunyai limit sebaran normal baku.