Transcript errores aleatorios en y

Estadística en el laboratorio
MÉTODOS DE CALIBRACIÓN:
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Objetivo
• Calibración:
– Necesidad dado el creciente uso de métodos
analíticos, en lugar de los métodos tradicionales.
• Ejemplo: electrodos pH, conductividad, etc.
– Métodos automatizados para el procesamiento de
gran cantidad de muestras.
– Todos sujetos a potenciales errores sistemáticos
que deben ser corregidos a tiempo.
Gráficos de calibración
• Metodología:
– Se procede a la medición de un analito en tres
o más estándares en las mismas condiciones
en las que será evaluada la muestra a analizar.
– Se incluye la medición de un blanco (ausencia
total del analito de interés).
– Siempre se grafica la señal del analito en el
eje y, y la concentración del analito en el eje x
(consideración de errores en la medición del
analito y no en la concentración del estándar).
– Una vez que el gráfico de calibración ha sido
obtenido, el analito puede ser luego evaluado
por interpolación.
Gráficos de calibración
• Sin embargo:
– ¿El gráfico de calibración muestra una relación lineal?
– Si es curva, ¿Cuál es la forma de la curva?
– Si consideramos que cada medición realizada con los estándares es
propensa a errores, ¿Cuál es la mejor línea (o curva) que expresa la relación
entre el analito y la señal?
– Asumiendo que la relación es lineal, ¿Cuáles son los errores y los límites de
confianza de la pendiente y el intercepto?
– Cuando el gráfico es utilizado para interpolar un valor, ¿Cuál es el error y los
límites de confianza para el valor obtenido?
– ¿Cual es la menor concentración del analito que puede ser detectado con
un determinado nivel de confianza? (límite de detección)
Gráficos de calibración
• Asunciones importantes:
– Al realizar varias mediciones en un estándar, las
mediciones resultantes presentan errores que
son distribuidos normalmente.
– La magnitud del error en y es independiente de
la cantidad de analito en la muestra.
Gráficos de calibración
• Relación lineal:
– Responde a la ecuación:
• y= mx+b
– Donde:
•
•
•
•
y = valor de la señal del analito
m= pendiente de la recta (sensibilidad)
x= concentración del analito
b= intercepto (blanco)
Coeficiente de correlación
• Identificando una relación lineal:
– Coeficiente de correlación momento-producto (r),
que nos permite evaluar si la relación existente
entre las dos variables es lineal.
– No subestimar el poder de un análisis gráfico.
Gráficos de calibración
• Interpretando el valor de r:
Gráficos de calibración
• Ejemplo:
– Una solución acuosa estándar es examinada
mediante espectrometría de fluorescencia. Los
siguientes valores son obtenidos:
medición
1
2
3
4
5
6
7
Intensidad
2.1
5.0
9.0
12.6
17.3
21.0
24.7
0
2
4
6
8
10
12
Concentración
– Determine el coeficiente de correlación (r)
Gráficos de calibración
xi
Suma
yi
(xi – x)
(xi – x)2
(yi – y)
(yi – y)2
(xi – x) (yi – y)
Gráficos de calibración
Gráficos de calibración
• Considere:
• El valor de r podría ser cercano
a uno, y sin embargo la relación
entre las variables podría no ser
lineal.
• Un r de 0 únicamente nos
indica que la relación no se
ajusta a un modelo lineal, sin
embargo pudiera existir otro
modelo de relación.
Gráficos de calibración
• ¿Como saber si la relación lineal es significativa?
• Uso del estadístico t:
• Donde:
• Ho= no hay correlación lineal
• Uso de la tabla t para dos colas y (n-2) grados de
libertad.
La línea de la regresión
• Mejor relación
• Si tenemos evidencia de una relación lineal
significativa, la siguiente pregunta es cuales son las
características (pendiente e intercepto) de esa línea
que se ajusta de la mejor manera a todos los datos.
• Estrategia:
• Esa línea es estimada mediante la reducción de los
errores entre los valores medidos y los predichos por
la función lineal (línea de regresión):
• Minimización de la suma de los cuadrados de los
residuos.
La línea de la regresión
• Puede ser demostrado que la mejor “línea”
que minimiza los errores esta dada por:
La línea de la regresión
• Ejercicio:
• Calcule la pendiente y el intercepto de la línea
de regresión en base a los datos del ejemplo
previo.
Errores en la pendiente y el
intercepto
Errores en la pendiente y el
intercepto
• Las lecturas realizadas presentan un cierto error en
la dirección y, que puede ser estimado por el
estadístico sy/x para errores aleatorios en y:
Errores en la pendiente y el
intercepto
• Errores aleatorios en la pendiente (Sb) y el
intercepto (Sa):
Errores en la pendiente y el
intercepto
• Donde se puede estimar los limites de confianza
para:
• Pendiente
• b  t(n-2)Sb
• Intercepto:
• a  t(n-2)Sa
Errores en la pendiente y el
intercepto
• Ejercicio:
• Calcule las desviaciones estándar y los límites de
confianza de la pendiente y el intercepto de la
línea de regresión elaborada anteriormente.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Una vez obtenida la ecuación de la curva, es fácil
interpolar la concentración del analito (y) en base a
la intensidad de la señal (x).
• Debido a que tanto la pendiente, como el
intercepto están sujetos a errores, es necesario
también estimar el error asociado a la medición.
• Dichos error total (aleatorio y sistemático) es de
difícil determinación.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Simplificando:
• Donde
• yo es el valor experimental de y a partir del cual
se determinó xo.
• Sxo es la desviación estándar estimada de xo.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• En ocasiones, se puede recurrir a realizar m lecturas
para obtener el valor de yo, obteniéndose que sxo
sería calculada:
• Donde m es el número de lecturas realizadas para
cada medición.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Límites de confianza:
• Los límites de confianza para la medición
realizada se calcularán mediante:
• xo  t(n-2)sxo
• (con n-2 grados de libertad).
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Ejercicio:
• Empleando los datos del ejemplo anterior,
determine los valores de xo, sxo, y los límites de
confianza de xo para soluciones con intensidades
de fluorescencia de 2.9; 13.5 y 23.0 unidades.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Observe que:
• Los límites de confianza
son menores cuando yo
se aproxima al valor
promedio de y.
• Por tal motivo, la mayor
precisión en las
mediciones se obtendrán
para lecturas que estén
cerca al centro de la
curva de calibración.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
• Como mejorar:
• Aumentando el número de puntos de calibración (n).
• Realizando más mediciones (m) para la determinación
de yo.
• Considere que demasiadas mediciones podrían no
mejorar significativamente la precisión.
• Considere que un incremento de n acarrea más
estándares que preparar, mientras que un número
pequeño de n significa mayores valores de t.
• Se recomienda 6 puntos de calibrado y varias
mediciones de yo.
• Si existen restricciones para m y n, entonces la mejor
opción (en base a la ecuación anterior) es que m=n.
Calculo de una concentración y su
error aleatorio
Sy/x
Sa(intercepto)
Sb(pendiente)
Intercepto
Pendiente
Límites de detección
• Definición:
• Aquella concentración que proporciona una señal en
el instrumento (y) significativamente diferente de la
señal del “blanco” o “ruido” de fondo.
• Si bien es cierto no existe un consenso en cuanto a
cuando es “significativamente diferente”, se suele
generalizar que:
• Límite de detección (LOD) = ŷblanco + 3sblanco
• Donde para una calibración univariada sblanco= sy/x
Límites de detección
Límites de detección
• Ejercicio:
• Estime el límite de detección del ejemplo
anterior.
Datos anómalos en la regresión
• Estrategia:
• Identificados mediante el análisis de los
residuales (yi-ŷi).
• Sin embargo, los residuales no son
independientes pues su suma siempre será
igual a cero.
• Por tal razón un test Q no es aplicable.
• Necesidad de recurrir a métodos gráficos
Datos anómalos en la regresión
Regresión para comparación de
métodos analíticos
• Justificación:
• Cuando comparamos dos métodos para la
determinación de un analito a varias
concentraciones, podemos hacer uso de las
técnicas estadísticas anteriores.
• Sin embargo, cuando dicha evaluación se lleva a
cabo en un amplio espectro de concentraciones,
se debe recurrir a una regresión.
• Logrando identificar presencia de errores
sistemáticos.
Regresión para comparación de
métodos analíticos
• Ideal:
• Pendiente = 1
• r=1
• Intercepto = 0
• Sin embargo, imposible
debido a errores aleatorios.
Regresión para comparación de
métodos analíticos
• Estrategia:
• Contrastar que el origen de la recta difiere
significativamente de cero.
• Contrastar que la pendiente difiere
significativamente de uno.
• Haciendo uso de mediciones únicas o
promediadas realizadas por ambos métodos.
Regresión para comparación de
métodos analíticos
• Ejercicio: