Transcript Formacion_Especifica_Tarea_ISE8_1_1

Sistemas de Control y Proceso
Adaptativo. Reguladores y
Comunicación
1
Controladores y calibración
• Para diseñar un controlador las
especificaciones no deberían ser más estrictas
de lo necesario.
• La posterior calibración del controlador
ajustará su respuesta si hay cambios en el
modelo inicial o en los elementos de la planta.
• El método para diseñar un sistema de control
dependerá del tipo de sistema y cómo se
presenten las especificaciones.
2
Controladores y calibración
• Para sistemas con una entrada y una salida, el método
más básico es el de estimación y modificación, en el que
se diseña un modelo capaz de realizar la tarea adecuada.
• En otras ocasiones hay partes del sistema que no se
pueden cambiar, sobre las que no se puede actuar,
obligando a usar otros modos de modificar o compensar
el sistema.
• Un primer paso en compensación es la variación de la
ganancia en lazo abierto, pero este método no siempre
es válido porque tiene limitaciones. En otros casos es
necesario introducir redes de compensación.
3
Controladores y calibración
Redes de compensación
• Redes de compensación: dispositivos introducidos
en el sistema para mejorar la estabilidad de un
sistema de control.
• La compensación de sistemas de control se realiza
mayoritariamente mediante una configuración fija en
la que el controlador se colocará en un determinado
punto del sistema, hablándose de compensación
serie, realimentada, o mediante la realimentación de
variables de estado, presentando cada una de ellas
ventajas e inconvenientes.
4
Controladores y calibración
Redes de compensación
• Existen tres tipos de redes de compensación
en función de las necesidades que se
presenten:
– Redes de adelanto
– Redes de atraso
– Redes de atraso adelanto
5
Controladores y calibración
Redes de compensación
•
Redes de adelanto de fase: son aquellas en las que la salida en estado estable
presenta un adelanto de fase con respecto a la entrada. Mejoran la estabilidad del
sistema sin variar la exactitud. Aumentan en una unidad el orden del sistema.
– El adelanto máximo de fase ɸm vendrá determinado por la tangente a la
circunferencia y se producirá para
1
m 
T
– La pendiente de la curva de transferencia es de 6 dB/oct.
6
Controladores y calibración
Redes de compensación
Eo
R2 (1  RCs)

Ei R  R (1  R1R2 Cs )
1
2
R1  R2
R2

1
R1  R2
Eo
1  Ts
1  jT


Ei
1  Ts
1  jT
7
Controladores y calibración
Redes de compensación
•
Redes de atraso: si la salida en estado estable presenta un atraso con respecto a la
entrada. Aumentan en una unidad el orden del sistema. Mejoran la respuesta en
estado estable sin modificar la respuesta transitoria.
Incrementan en una unidad el orden del sistema.
– La pendiente de la curva de transferencia es de -6 dB/oct.
8
Controladores y calibración
Redes de compensación
Eo
R2Cs  1
1  Ts
Eo 1  jT




Ei ( R1  R2 )Cs  1 1  Ts
Ei 1  jT
T  R2Cs

R1  R2
1
R2
9
Controladores y calibración
Redes de compensación
•
Redes de atraso-adelanto: son aquellas en las que aparecen tanto un atraso como
un adelanto de fase, pero en regiones de frecuencia distintas. El atraso se produce
en la zona de baja frecuencia y el adelanto en la zona de alta frecuencia.
Aumentan en dos unidades el orden del sistema.
Eo
(1  R1C1s)(1  R2C2 s)
(1  T1s)(1  T2 s)


Ei (1  R1C1s)(1  R2C2 s)  R1C2 s  T1  T2 
1  s 1  s 
 
  
R1C1  T
R2C2  T2
R1C1  R2C2  R1C2  T2 
T1

  1
10
Controladores y calibración
Redes de compensación
11
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Para la calibración de los sistemas de control
se utilizan diversos métodos. Entre estos, los
más utilizados son el método del lugar de las
raíces y el método de la respuesta en
frecuencia.
• Cada uno de estos métodos se aplicará de
forma diferente si se utilizan redes de
adelanto, atraso o adelanto-atraso.
12
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Método del lugar de las raíces:
• Se denomina lugar de las raíces al lugar geométrico de
los polos de G(s) al variar el valor de la ganancia (u otro
parámetro del sistema) desde cero hasta infinito o en
un margen determinado.
• El método del lugar de raíces permite conocer cómo
afecta la ganancia en lazo abierto en el
comportamiento de un sistema realimentado
(estabilidad, oscilaciones, velocidad cuando varia la
ganancia). Normalmente se usa solo cuando hay
especificaciones de respuesta transitoria.
13
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Método del lugar de las raíces: ejemplo
14
Controladores y calibración
Reglas de calibración
•
•
•
•
•
Los polos en lazo cerrado se corresponden con las raíces de la ecuación
característica, pero estos polos varían cuando varía la ganancia, por este motivo el
cálculo debe repetirse para cualquier cambio en el valor de este parámetro. En
1948 W. R. Evans desarrolló un método para su cálculo que permite dibujar las
raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro. Se
trata de conocer en qué lugar están los polos de la función de transferencia de un
sistema en función de un parámetro, generalmente la ganancia.
Mediante este método el diseñador puede conocer los efectos que tendrán sobre
el sistema la ganancia o la adición de ceros y polos.
Básicamente, para calibrar un sistema mediante este método, se vuelven a
construir los lugares geométricos de las raíces mediante un compensador de tal
forma que se puedan colocar polos dominantes en lazo cerrado en la posición
deseada para que el sistema sea estable y cumpla las especificaciones requeridas.
La adición de ceros al sistema desplaza los polos en lazo cerrado hacia la izquierda,
haciendo el sistema más estable. La adición de polos en lazo abierto empeora la
estabilidad al desplazar los polos ya existentes hacia la derecha .
La determinación del lugar geométrico de las raíces es una tarea laboriosa. En la
actualidad existen programas informáticos que permiten su determinación
mediante una programación sencilla, por ejemplo el programa gratuito Scilab .
15
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Siendo un sistema realimentado tal que:
C ( s)
G( s)

R( s ) 1  G ( s ) H ( s )
para calcular los polos de la función de
transferencia el denominador deberá
igualarse a cero, con lo que
G( s) H ( s)  180º (2k  1);
1  G( s) H ( s)  0  
G( s) H ( s)  1

k  0,1,2,3...)
16
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Para dibujar el lugar geométrico de las raíces hay que
seguir las siguientes reglas :
1.- El número de ramas es igual al número de polos de la función de
transferencia en lazo abierto.
2.- Cada rama comienza en un polo (ks=0) y termina en un cero (ks=∞). Si
el numero de ceros z es inferior al número de polos p, existirán p-z
ceros en el infinito, hacia los que irán p-z ramas siguiendo p-z
asíntotas.
3.- Los puntos del eje real con un número impar de polos y ceros a su
derecha pertenecen al lugar geométrico de las raíces (ks>0), y si es par,
al lugar inverso (ks<0), teniendo en cuenta que ambos lugares son
simétricos con respecto al eje real .
4.- Las p-z asíntotas se cortan en el punto :
0
p  z


i
i
pz
17
Controladores y calibración
Reglas de calibración
5.- Los ángulos de las asíntotas con el eje real se obtienen mediante las
expresiones :
ks 0
a 
(2q  1)
pz
ks 0
a 
2q
pz
siendo q= 0,1,2,..., p-z-1
6.- Los ángulos de salida de los polos y llegada de los ceros se obtienen
aplicando el criterio del argumento .
Si
Si
ks 0,
ks 0,
p
z
i 1
i 1
entrada , polo   s  pi   s  zi  (2q  1)
p
z
i 1
i 1
entrada , polo   s  pi   s  zi  2q
z
p
i 1
i 1
 salida , polo   s  zi   s  pi  (2q  1)
z
p
i 1
i 1
 salida , polo   s  zi   s  pi  2q
siendo q= 0,1,2,..., p-z-1
18
Controladores y calibración
Reglas de calibración
7.- Los puntos de ruptura son aquellos donde los lugares
geométricos entre dos polos dejan el eje real y vienen
determinados por
dk
s
ds
0
8.- Los puntos de intersección de los lugares de las raíces con el eje
imaginario se calculan aplicando el criterio de Routh a la
ecuación característica, o bien sustituyendo s por jω en dicha
ecuación y obteniendo los valores de ω y k, igualando partes real
e imaginaria a cero.
9.- Se puede calcular la ganancia en cualquier punto del lugar de
las raíces aplicando la expresión :
p
k
 s p
i 1
z
 sz
j 1
i
i
19
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Esta técnica puede adaptarse a otros parámetros
diferentes a la ganancia .
• Una vez conocido el lugar de las raíces del
sistema, se han de tener en cuenta las
características de ξ y ωn de respuesta transitoria .
• Para que cumpla las especificaciones hay que ver
si el lugar de las raíces pasa por los puntos
definidos por estos parámetros y, si no lo hacen,
hacerlos pasar. Este método solo se emplea
cuando se tienen especificaciones de respuesta
transitoria .
20
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Método de la respuesta en frecuencia:
• Con este método se analiza la respuesta del
sistema ante una señal senoidal cuya frecuencia
se varía en un determinado margen. Este método
suministra información de la respuesta en
frecuencia de la planta.
• Normalmente se usan los diagramas de Bode y
las trazas de Nyquist.
21
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• A partir de los diagramas en función de la frecuencia
quedan determinadas una serie de características del
sistema. El ajuste del régimen transitorio se realiza por
aproximaciones sucesivas. Dependiendo de las
características exigidas se utilizará un diagrama u otro.
• Estos métodos presentan la ventaja de que no es necesario
conocer la función de transferencia de la planta. Además
nos proporciona información sobre su respuesta en
frecuencia:
- Baja frecuencia: da una idea de la exactitud y permite calcular los
coeficientes estáticos.
- Frecuencias medias: permite conocer la estabilidad, margen de
frecuencia, margen de ganancia y respuesta transitoria.
- Frecuencias altas: da una idea de la complejidad del sistema.
22
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Diagramas de Bode: Los diagramas de Bode están formados por dos gráficas
frente a la frecuencia: el logaritmo de la magnitud de la función de
transferencia y el ángulo de fase.
• La principal ventaja de la representación logarítmica es que la
multiplicación de magnitudes se convierte en suma, por lo que su
representación se puede llevar a cabo conociendo como afecta cada uno
de los términos de la función de transferencia. Para el caso de los factores
integral y de derivada, su representación corresponde a rectas con
pendientes de -20 dB/década y 20 dB/década y ángulos de -90º y 90º
respectivamente, por lo que analizando cada uno de los términos se
puede realizar una representación asintótica de la curva exacta.
• Otra de las ventajas es que se puede hacer una representación asintótica
en función de la frecuencia. Al trabajar en escala logarítmica se podrá
representar toda la gama de frecuencias sin llegar al cero.
23
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Diagramas de Bode: ejemplo.
24
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Tipos de factores que pueden aparecer en la
representación:
- Factor ganancia k: En la curva se representa
mediante un valor 20 log│k│
Si k > 0 → ϕ = 0º Si k < 0 → ϕ = -180º
- Factor integrador o derivador [jω]±1: su módulo es
20log(ω) Representación 20 dB/dec ó 6 db/oct.
25
Controladores y calibración
Reglas de calibración
- Factor de primer orden [1+jωT]±1:

  20log1  0dB
1  jT   20log 1   2T 2    20logT 20db / decada


 6 dB octava

El cruce de estas dos rectas se producirá cuando
ωT=1
La fase de este factor será:
 0

1
  arctgT   
T

  
  0º
  45º
  90º
26
Controladores y calibración
Reglas de calibración
2 1
- Factor cuadrático:

   
  j  
1  j 2
n  n  


realizando operaciones matemáticas se tiene que:

  20log1  0dB

2
 40 dB dec

Si  1
  20log 2  40log 
n
n 12 dB oct

  n
0dB


   0º    0º

Si   1
   n    90º
      180º

27
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Procedimiento general para representar una curva mediante
el diagrama de Bode:
1.- Se descompone la función sinusoidal en factores de los
tipos que se han visto anteriormente.
2.- Se ven las distintas frecuencias de corte y se halla la
pendiente entre dos frecuencias consecutivas:
Si el sistema es de tipo 0 la representación comienza con
una recta paralela al eje real. Si el sistema es de tipo 1
comenzará con una recta de pendiente -6 dB/oct hasta llegar
a la primera frecuencia de corte. Si el sistema es de grado 2, la
pendiente será de -12 dB/oct.
28
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Ejemplo:
G( s) 
128(2  s)
s(8  s)(16  4 2 s  s 2 )
Normalizando esta función queda como:
 s
2  1281  
 2
2
s2 
 s  
16  8s1    1 
s  
8
4
16 

 

j 

2  1 

2 

G ( j ) 
2
j  
2

 j  
j 1 
j  
  1 

8
4

 
 4  
De esta forma, las pulsaciones de corte serán:
3  4;
1  2
2  8
 1 2  2 2
 1

G ( j ) dB  20 log 2  6dB
29
Controladores y calibración
Reglas de calibración
30
Controladores y calibración
Reglas de calibración
Diagrama de Nyquist o traza polar: El diagrama de Nyquist
o traza polar es una representación de una magnitud de la
función de transferencia G(jω) (generalmente la ganancia) con
respecto al ángulo de fase de esta magnitud, cuando ω varía
desde cero hasta infinito.
• Por lo tanto la traza polar es el lugar geométrico de los vectores
G j G j
cuando ω varía desde cero hasta infinito. El criterio de
estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial en lazo
abierto con la estabilidad en lazo cerrado.
Una ventaja de esta gráfica es que representa las características
de la respuesta en frecuencia en el espectro completo.
31
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Diagrama de Nyquist: ejemplo.
32
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Cada tipo de factor de la función de
transferencia tiene una representación
específica :
- Factor integrador o derivador [jω]±1: este tipo
de factor es un vector de módulo ω sobre el
eje imaginario, y sentido positivo o negativo.
G 
j 
  90 º
1  G 

j   90º
33
Controladores y calibración
Reglas de calibración
- Factor de primer orden [1+jωT]±1: este factor equivale a una
recta paralela al eje imaginario y que pasa por el punto ωT del
eje real. Cuando está elevado a -1, equivale a una
semicircunferencia que comienza en el eje real y termina en 0.

 G  1   2T 2
1  jT 

   arctgT 
 Re  1

Im  T
G 1
1

1
G 
2 2

1


1  jT    arctgTT 

  0
  0º
 G 0
   
  90º
1 G  1 2
 
T    45º
34
Controladores y calibración
Reglas de calibración
2

   
  j  
1  j 2


n
 n  
1
- Factor cuadrático :
su representación comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el
punto 2ξ y continua con una asíntota para ω=∞.
Cuando el factor cuadrático está en el denominador su representación
comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el punto ξ/2 y termina
en (0,0).
G 1
  
1  j 2
  j 
n  n 
1
  
1  j 2
 j 
n  n 
2
2
  0
2

  0º

 Re  1   
 G  2

 n     n 

   90º
 Im  2 

 G 
n
  
  180º
1


G 1
G


2
  0

2
2
   

  0º
1       2  






  n    n 


 G  2



    n 
2  n

  90º



arctg

2



 G 0

1   






 n 
  180º

35
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Ejemplo de código usado en Scilab
// Diagramas
clear
z=poly(0,'z');
// vector de tiempo
t=0:0.1:32;
//
//modelo discreto de la planta
g=20/(z*z*(z-0.9));
//
//
//función de transferencia en lazo abierto
gla=g;glas=syslin('c',gla);
//
//función de transferencia en lazo cerrado
gu=1;glc=gla/.gu;
glcs=syslin('c',glc);
//
//herramientas de programación
xset('window',1)
Xname(‘ Análisis de la planta con varias herramientas')
//
36
//Respuesta a un escalón unitario
//closed loop
subplot(2,2,1);xgrid(4)
plot2d(t,csim('step',t,glcs),style=2)
xtitle('Respuesta a un escalón unitario','tiempo','y(t)')
//
//Lugar de las raíces
subplot(2,2,2);xgrid(4)
evans(glas,2.5)
sgrid([0.75 0.4],[0.5 0.75],2)
//
//Diagrama de Nyquist
subplot(2,2,3)
nyquist(glas)
//
//Diagramas de Bode
subplot(2,2,4)
bode(glas,0.001,10)
//--------------------------------------------------------
37
Controladores y calibración
Reglas de calibración
•
Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método de la respuesta en frecuencia
- A partir del diagrama de Bode se pretende aumentar la fase, mejorando la estabilidad,
intentando conseguir que esa máxima fase pase por la pulsación de cruce. Se desplaza la
curva hacia arriba para no variar la ganancia a baja frecuencia, para ello se multiplica por un
factor 1/α:
Eo
1  jT
E

 o
 
Ei
1  jT
Ei  
n
- Se intenta cambiar o modificar la forma de la curva dando un suficiente grado de adelanto
para conseguir compensar un excesivo retardo de la fase. Los pasos a seguir son :
1.- Fijar el valor de la ganancia en lazo abierto para alcanzar las especificaciones en cuanto a
los coeficientes de error.
2.- Para la K calculada, obtener el margen de fase del sistema sin compensar.
3.- Viendo la diferencia entre el margen de fase pedido y el dado, calcular cual es el adelanto
que hay que introducir, calculando ɸmáx .
4.- Calcular el factor de atenuación α.
5.- Ver sobre el sistema no compensado para qué frecuencia existe un nivel de 10logα.
Observar donde se va a producir la nueva frecuencia de corte ωn.
38
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Técnicas de compensación de atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia
Habrá que atenuar suficientemente a frecuencias altas, además no interesa que el retardo a
frecuencias medias sea muy grande, aproximándose entre sí y al origen las frecuencias de
cambio de pendiente.
• Los pasos a seguir son :
1.- Calcular la ganancia en lazo abierto para obtener los coeficientes estáticos de error
definidos en las características especificadas
2.- Dado el valor de K, y en la red sin compensar, para ese valor de K realizar el diagrama y
obtener MG y MF .
3.- Si el sistema descompensado no satisface los requerimientos habrá que encontrar la
frecuencia para la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea
igual a -180º más el marge de fase requerido. Posteriormente se bajará la curva para hacer
coincidir la frecuencia de cruce con la que se haya obtenido teniendo en cuenta la fase
introducida por la red, que tomaremos entre 5⁰ y 12⁰. f    180º  M req  (5º  12º ).
f
F
4.- Se hará coincidir esa frecuencia con la de cruce de ganancia esto se producirá en la parte
derecha de la curva de transferencia de la red. De aquí se obtendrá el valor de β.
Level dBf  20log 
5.- Se tendrá que lograr que la pulsación de corte más grande 1/T se encuentre entre 1
octava a 1 década inferior a la frecuencia obtenida anteriormente .
39
Controladores y calibración
Reglas de calibración
• Técnicas de compensación de adelanto-atraso basadas en el
método de la respuesta en frecuencia
• Los pasos a seguir serán :
1.- Se ve la ganancia que debe tener el sistema para calcular los
coeficientes estáticos de error.
2.- Se dibuja la ganancia y si se cumplen las especificaciones.
3.- Ver qué red de retardo se necesita, determinando la nueva
frecuencia de cruce.
4.- En esta nueva frecuencia de cruce realizar el adelanto de fase.
En este tipo de red, una vez definida β, solo habrá que definir la
distancia entre frecuencias, es decir, desplazar T1 con respecto de T2 lo
que se desee. En todo caso se deberán utilizar constantes de tiempo
físicamente realizables .
40
Controladores y calibración
Testado funcional
• Una vez implementado el sistema de
compensación o control es necesario proceder
a realizar las pruebas necesarias para
comprobar que se cumplen las
especificaciones de diseño. Los test a realizar
dependerán del tipo de compensador, del tipo
de proceso y del tipo de especificaciones.
41
Bibliografía
•
K. Ogata, Modern Control Engineering.
Enlaces de interés
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
http://www.scilab.org/
http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Control_Automatico/Presentaciones/12_ControlComp
ensadorAtrasoRlocusContinuo_v12s01.pdf
http://www.eis.uva.es/~eduzal/icontrol/compen.pdf
http://www1.ceit.es/asignaturas/control1/2000feb1.html
http://isa.uniovi.es/~chema/regma_archivos/lr.pdf
http://isa.uniovi.es/docencia/ra_marina/UCLM_TEMA9.PDF
http://iele.edii.uclm.es/Estudios/ITIE/Albacete/Asignaturas/RA_archivos/A_Descar
ga/Transparencias/Tema09/Tema09.pdf
http://ingenieria.udea.edu.co/~jbuitrago/instrumentacionElectronica/Clases/Clase0
3%20y%2004-Diagrama%20de%20Nyquist-Estabilidad.pdf
http://sel.uady.mx/ingenieria/courses/CONI/document/Unidad5/NotasControl_5_Lu
garRaices.pdf?cidReq=CONI
http://ecee.colorado.edu/copec/book/slides/Ch9slide.pdf
http://www.cs.mun.ca/av/old/teaching/cs/notes/rlocus1_quad.pdf
42