Transcript bài tập chương 1

CÁC CÔNG THỨC TÍNH
BERNOULLI
Hãy
nêu lại
các
công
thức đã
học nêu
bên
cạnh!!!
BAYES
XÁC SUẤT
ĐẦY ĐỦ
CỘNG
XÁC SUẤT
XÁC SUẤT
ĐIỀU KIỆN
NHÂN XÁC
SUẤT
Công thức cộng xác suất
Cho 𝐴, 𝐵 là hai biến cố bất kỳ:
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩)
Các hệ quả:
Xác suất biến cố hiệu:
𝑃 𝐴\B = 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴𝐵)
Cho 𝐴, 𝐵 là hai biến cố xung khắc:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Cho A, B, C là ba biến cố bất kỳ:
𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶
−𝑃 𝐴𝐵 − 𝑃 𝐴𝐶 − 𝑃 𝐵𝐶 + 𝑃(𝐴𝐵𝐶)
Công thức
xác suất điều kiện
Cho 𝐴, 𝐵 là hai biến cố. Xác suất của 𝐴 với điều kiện
biến cố 𝐵 đã xảy ra:
𝑷 𝑨𝑩
𝑷 𝑨/𝑩 =
𝑷 𝑩
Tính chất:
𝑃 𝐴/𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴/𝐵
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 /𝐵 = 𝑃 𝐴1 /𝐵 + 𝑃 𝐴2 /𝐵 − 𝑃(𝐴1 𝐴2 /𝐵)
Công thức nhân xác suất
Đối với hai biến cố bất kỳ:
𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑷(𝑩/𝑨)
Hoặc
𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷 𝑩 𝑷(𝑨/𝑩)
Đối với họ 𝑛 biến cố bất kỳ:
𝑃 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 =
= 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 /𝐴1 𝑃 𝐴3 /𝐴1 𝐴2 … 𝑃 𝐴𝑛 /𝐴1 … 𝐴𝑛−1
Đối với hai biến cố độc lập
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)
Đối với 𝑛 biến cố độc lập:
𝑃 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 … 𝑃 𝐴𝑛
Công thức xác suất đầy đủ
Cho 𝐴 là một biến cố bất kỳ, 𝐻𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 là hệ đầy
đủ các biến cố. Khi đó:
𝒏
𝑷 𝑨 =
𝑷 𝑯𝒊 𝑷(𝑨/𝑯𝒊 )
𝒊=𝟏
Công thức Bayes
Cho 𝐴 là một biến cố có xác suất dương và 𝐻𝑖 , 𝑖 =
1, 𝑛 là hệ đầy đủ các biến cố.
Khi đó:
𝑃 𝐻𝑗 𝑃 𝐴/𝐻𝑗
𝑃 𝐻𝑗 /𝐴 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐻𝑖 𝑃(𝐴/𝐻𝑖 )
Công thức Bernoulli
Gọi k là số lần thành công trong quá trình Bernoulli
𝐵 𝑛; 𝑝 . Ta có:
a) Xác suất có k lần thành công:
𝒌
𝑷𝒏 𝒌 = 𝑪 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌 , 𝑘 = 0, 𝑛, 𝑞 = 1 − 𝑝
𝒏
b) Số lần thành công nhiều khả năng nhất:
𝑘0 = [ 𝑛 + 1 𝑝]
c) Xác suất có ít nhất một lần thành công:
1 − 𝑞𝑛
BÀI TẬP 1
Cho hai biến cố 𝑨 và 𝑩 trên một
không gian xác suất.
𝟏
;𝑷
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
.
𝟐
𝑷 𝑨 =
𝑩 = và 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 =
Tính xác suất để:
a) 𝑨 và 𝑩 cùng xảy ra
b) 𝑨 xảy ra biết rằng 𝑩 đã xảy ra
c) 𝑩 xảy ra biết rằng 𝑨 đã xảy ra.
d) 𝑨 và 𝑩 cùng không xảy ra.
e) Chỉ có 𝑨 xảy ra
f) 𝑨 xảy ra biết rằng 𝑩 không xảy ra.
Dùng công
thức nào
đây?
Giải:
a) Xác suất 𝐴 và 𝐵 cùng xảy ra:
Ta có: 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵 . Suy ra:
1
3
1
4
1
2
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = + − =
b) Xác suất 𝐴 xảy ra biết rằng 𝐵 đã xảy ra:
1
𝑃 𝐴𝐵
𝟏
12
𝑃 𝐴/𝐵 =
=
=
1
𝑃 𝐵
𝟑
4
c) Xác suất 𝐵 xảy ra biết rằng 𝐴 đã xảy ra:
1
𝑃 𝐴𝐵
𝟏
12
𝑃 𝐵/𝐴 =
=
=
1
𝑃 𝐴
𝟒
3
𝟏
.
𝟏𝟐
d) Xác suất 𝐴 và 𝐵 cùng không xảy ra: 𝑃(𝐴𝐵)
Theo luật De Morgan:
1 𝟏
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − = .
2 𝟐
e) Xác suất chỉ có 𝐴 xảy ra:
1 1
𝟏
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴𝐵 = −
=
3 12 𝟒
f) 𝐴 xảy ra biết rằng 𝐵 không xảy ra:
1 1
1
𝑃 𝐴𝐵
𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴𝐵) 3 − 12 4 𝟏
𝑃 𝐴/𝐵 =
=
=
= =
1
3 𝟑
1 − 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐵
1−
4
4
BÀI TẬP 2
Trong tổng số các khách hàng đến nhà
sách, có 30% khách cần hỏi nhân viên
bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp
ngẫu nhiên một khách trong nhà sách.
Tính xác suất để người này
a) không thực hiện cả hai điều trên;
b) không mua sách, biết rằng người
này đã hỏi nhân viên bán hàng.
???
Giải
Gọi 𝐴 là biến cố: “ Khách cần hỏi nhân viên bán hàng”
𝐵 là biến cố: “Khách mua sách”. Từ đề bài ta có:
𝑃 𝐴 = 0,3; 𝑃 𝐵 = 0,2 𝑣à 𝑃 𝐴𝐵 = 0,15
a) Xác suất để khách thực hiện cả hai điều trên:
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵
= 0,3 + 0,2 − 0,15 = 0,35
Do đó 𝑃 𝐴𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 0,35 = 0,65
b) Xác suất khách không mua sách biết rằng người đó đã
hỏi nhân viên bán hàng.
𝑃 𝐴𝐵
0,15
𝑃 𝐵/𝐴 = 1 − 𝑃 𝐵/𝐴 = 1 −
=1−
= 0,5
𝑃 𝐴
0,3
!!!
BÀI TẬP 3
CÔNG
THỨC
NHÂN VÀ
XÁC SUẤT
ĐIỀU
KIỆN
Giải
Gọi 𝐴, 𝐵 lần lượt là biến cố: “Vận động viên A, B
tương ứng thắng trận”, 𝑃 𝐴 = 0,8; 𝑃 𝐵/𝐴 = 0,6 và
𝑃 𝐵/𝐴 = 0,3.
a) Xác suất đội tuyển thắng hai trận:
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵/𝐴 = 0,8.0,6 = 𝟎, 𝟒𝟖
b) Xác suất B thắng trận:
Ta có: 𝐵 = 𝐵 𝐴 + 𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵. Do đó:
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐴𝐵 = 0,48 + P 𝐴 . 𝑃 𝐵/𝐴
= 0,48 + 0,2.0,3 = 𝟎, 𝟓𝟒
c) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất một trận:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵 = 0,8 + 0,54 − 0,48
= 𝟎, 𝟖𝟔
d) Xác suất đội tuyển chỉ thắng duy nhất một trận:
𝑃 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐴𝐵
= 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵/𝐴 + P 𝐴 . 𝑃 𝐵/𝐴
= 0,8.0,4 + 0,2.0, = 0,16 + 0,06 = 𝟎, 𝟑𝟖
Bài tập 4
???
Công thức
xác suất đầy
đủ và công
thức Bayes
Tỷ lệ sản phẩm của các máy
Tỉ lệ sản phẩm
Máy A
60%
Máy C
10%
Máy B
30%
Giải
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
Gọi 𝐴, 𝐵, 𝐶 lần lượt là các biến cố: “Sản phẩm lấy ra do
máy A, B, C tương ứng sản xuất”. Rõ ràng {𝐴, 𝐵, 𝐶} là
hệ đầy đủ các biến cố và
𝑃 𝐴 = 0,6; 𝑃 𝐵 = 0,3; 𝑃 𝐶 = 0,1.
Gọi 𝑇 là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”.
Ta có: 𝑃 𝑇/𝐴 = 0,98; 𝑃 𝑇/𝐵 = 0,97; 𝑃 𝑇/𝐶 = 0,96
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
𝑷 𝑻 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝑇/𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑃 𝑇/𝐵 + 𝑃 𝐶 𝑃 𝑇/𝐶
= 0,6.0,98 + 0,3.0,97 + 0,1.0,96 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓
Ý nghĩa: 𝑃(𝑇) cho biết tỉ lệ sản phẩm tốt của lô hàng
của xí nghiệp là 97,5%.
Bài tập 5
Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm.
Mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn trong đó có một
lựa chọn đúng.
a) Một học sinh chọn ngẫu nhiên một
trong bốn lựa chọn đối với tất cả các
câu hỏi.
i) Tính xác suất học sinh đó chọn đúng từ
5 câu trở lên.
ii) Nhiều khả năng nhất học sinh đó trả
lời đúng bao nhiêu câu hỏi? Tính xác
suất tương ứng.
a) Hỏi đề phải cho bao nhiêu câu hỏi trắc
nghiệm để với xác suất hơn 99%, một
học sinh chọn ngẫu nhiên đúng ít nhất
1 câu?
?
Giải
a) Coi mỗi lần chọn trả lời một câu hỏi là một phép
thử Bernoulli. Khi đó, ta có quá trình Bernoulli
𝐵(𝑛; 𝑝) với 𝑛 = 10 và 𝑝 = 0,25.
i) Xác suất học sinh trả lời đúng từ 5 câu hỏi trở lên là:
10
𝑃10 𝑘 ≥ 5 =
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟖𝟏
10
𝑃10 𝑘 =
𝑘=5
𝑘=5
𝑘 𝑘
𝐶 𝑝 (1 − 𝑝)10−𝑘
10
ii) Số câu trả lời đúng nhiều khả năng nhất:
𝑘0 = 𝑛 + 1 𝑝 = 11.0,25 = 2,75 = 𝟐
2
Xác suất tương ứng: 𝑃10 2 = C 0,252 0,758 =
10
𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕
b) Gọi 𝑛 là số câu hỏi trắc nghiệm trong đề.
Theo đề bài ta có:
𝑃𝑛 𝑘 ≥ 1 = 1 − 𝑃𝑛 0 = 1 − 0,75𝑛 > 0,99
⇔ 0,75𝑛 < 0,01 ⇔ 𝑛 > 𝑙𝑜𝑔0,75 0,01 = 16,0078
Suy ra 𝒏 = 𝟏𝟕.
Vậy, phải cho ít nhất 17 câu trắc nghiệm.