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Introduction to
BOND MARKET
債券市場概論 二版
Chapter 4
利率期限結構
薛立言、劉亞秋
第四章
利率期限結構
第一節
 第二節
 第三節
 第四節

殖利率曲線
詮釋利率期限結構的三大理論
即期利率曲線
利率曲線的估計與用途
債券市場概論 (二版、2009)
薛立言、劉亞秋 合著
2
第四章
利率期限結構與殖利率曲線

利率期限結構
在其他條件相同的情況下，債券殖利率與到
期期限之關係

將利率期限結構以圖形表示，所得之曲線
稱之為殖利率曲線(Yield Curve)
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第四章
殖利率曲線的形狀
殖
利
率
上升
駝峰
平坦
下滑
到期期限

為何會有不同型態的殖利率曲線？
利率期限結構理論(會在本章第二節說明)
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第四章
估計殖利率曲線的債券樣本

需使用相同類型或性質的債券
信用等級(風險)
市場流通性
是否含有選擇權

通常採用政府公債樣本來進行估計
信用風險相同(無違約風險)
流通性高，交易資料容易取得
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第四章
票息效果與稅賦效果

票息效果
相同性質，相同到期期限的債券，其殖利率
可能因票面利率而有所差異
在殖利率曲線為上升(下滑)的市場中，債券
票面利率越高  殖利率越低(高)

稅賦效果
投資人對折、溢價債券在稅賦上之差異而有
特別偏好
例如溢價的攤銷有助於減低債息收入，而購
買折價債券所需之資金(成本)則相對較低
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第四章
平價債券殖利率曲線
(Par Bond Yield Curve)

選取市場中最新發行的各期次公債(熱門
券)來估計殖利率曲線
熱門券的流通性最高，且因為發行不久，債
券價格較接近面額 (平價)

平價公債殖利率曲線適合作為市場中其
他債券(如公司債等)之定價基準
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第四章
以內差法估算殖利率曲線


期限
殖利率
期限
殖利率
1
5
7
10
3.13%
3.64%
3.95%
4.12%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.1300%
3.2575%
3.3850%
3.5125%
3.6400%
3.7950%
3.9500%
4.0067%
4.0633%
4.1200%
假設不同期限殖利率間是
線性關係
所劃出的殖利率曲線會有
轉折點，非平滑
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第四章
以存續期間估計殖利率曲線
以債券的存續期間代替到期期限
 排除「票息效果」對殖利率曲線估計所產生
的困擾
 所估計出來的殖利率曲線相當於零息債券的
殖利率曲線

零息債券的存續期間等於其到期期限
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第四章
即期利率與遠期利率

即期利率(Spot rate, r )：
從目前時點起算，不同期限之投資報酬率
不等於付息債券的殖利率
等於零息債券的殖利率

遠期利率(Forward rate, a fb )：
從未來某時點起算，不同期限之投資報酬率
代表投資人在目前對未來利率水準的預期
a
fb
 a年後的b年期利率
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第四章
即期利率與遠期利率圖釋
r1， r2， r3 ：市場中 1，2，3年期即期利率
 1 f1： 1年後之1年期遠期利率
 2 f1： 2年後之1年期遠期利率
 1 f2： 1年後之2年期遠期利率

0
r1 1
r3
r2
2
3
1f1
2f1
1f2
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第四章
利率期限結構三大理論

如何解釋各種形狀的利率期限結構？
預期理論(Expectations Theory)
流動溢酬理論(Liquidity Premium Theory)
市場區隔理論(Market Segmentation Theory)
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第四章
預期理論
利率期限結構是在反映市場投資人對未來
利率水準的預期
 長期利率等於短期利率與遠期利率的幾何
平均值

(1  ra b )

a b
 (1  ra )  (1 a f b )
a
b
遠期利率可經由長、短期的即期利率推估出
1
b
a
 (1  rab ) ab 

f b  

1
a

(
1

r
)
a


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第四章
以預期理論推估遠期利率釋例

一年及兩年期零息債券的殖利率分別為
3%及4% ，求一年後之一年期遠期利率
1

1
 (1  r2 ) 
1.04 2
 1 
f1  
1
1 
1
1.03
 (1  r1 ) 
 0.0501  5.01%
2
一年及兩年期零息債券的殖利率分別為
8.15%及8% ，求一年後之一年期遠期利率
1
1
 (1  r2 ) 
1.08 2
 1 
f1  
1
1 
1
1.0815
 (1  r1 ) 
 0.0785  7.85%
2
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第四章
流動溢酬理論

投資人偏好短期債券，對長期債券會要求
流動性溢酬
流動溢酬隨到期期限而增加
由於流動溢酬的存在，市場所觀察到的利
率期限結構會偏高
市場資料
%
% 所呈現的
%

T
考量流動溢酬後
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T
T
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第四章
以流動溢酬理論推估遠期利率釋例

一、二年期即期利率分別為7%、8 %，流動
溢酬分別為20bps、40bps。求一年後之一年
期遠期利率？
a

 (1  ra b  La b )
f b  
a
(
1

r

L
)
a
a

a b
1
b

1.076 

  1  
  1  8.41%
 1.068 

1
若以預期理論推估，結果會是
1
b
a
 (1  ra b ) a b 
1.08 

  1  
f b  
  1  9.01%
a
 1.07 
 (1  ra ) 
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第四章
市場區隔理論
不同投資人對債券的到期期限有特定偏好
 長、短期債券的供給與需求決定了利率期
限結構的形狀
 [例]：

短債的需求超過供給短期利率下跌
長債的供給超過需求長期利率上升
結果:
向上攀升的利率期限結構
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第四章
造成市場區隔的原因
債券供給與需求者對於到期期限的偏好源
自於機構特性或政府管制等因素
 [例]：

金融機構的負債多屬短期偏好短期投資
退休基金之負債為長期長期投資
貨幣型基金短期投資
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第四章
以即期利率來評價債券釋例
三年期，7%公債，面額$100，每年付息一次
 1～3年期即期利率分別為6% 、 7% 、 7.5%

0
6% 1
7.5%
7%
7
2
3
7
107
P
$7
$7
$7  $100
P


 $98.85
1
2
3
1.06 1.07
1.075
$7
$7
$107
$98.85 


 y  7.44%
1
2
3
(1  y ) (1  y ) (1  y )
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第四章
以即期利率估計平價債券殖利率

1～3年期即期利率為4% 、5% 、 6%，則一個
三年期平價債券的殖利率是多少？
平價債券的殖利率= 票面利率
P  100 

C
(1  r1 )1
C
1.04
1

C
(1  r2 ) 2
C

1.05
C  5.922 
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2


C  100
(1  r3 ) 3
100  C
1.06 3
y  5.922%
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第四章
如何估計即期利率曲線？

直接使用不同期次零息公債的殖利率
但是市場中未必有零息債券
零息債券數量少，市場價格(殖利率)易遭扭曲

採用市場中的付息債券
數量龐大，交易頻繁，交易資料容易取得

即期利率曲線的估計方法
反推法(Bootstrapping)
配適法(Curve
Fitting)
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第四章
反推法釋例
到期期限 票面利率
0.5
2.00%
1
2.50%
1.5
3.00%
2
3.20%
殖利率
2.35%
2.62%
2.69%
2.74%
0.02
$100(1 
)
$101
2
$99.8270 

r0.5 1
r0.5 1
(1  )
(1  )
2
2
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價格
$99.8270
$99.8823
$100.4528
$100.8893
 r0.5  2.35%
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第四章
反推法釋例(續)
$1.25
$101.25
$99.8823 

0.0235 1
r1 2
(1 
) (1  )
2
2
 r1  2.622%
$1.5
$1.5
$101.5
$100.4528 


0.0235 1
0.02622 2
r1.5 3
(1 
) (1 
)
(1  )
2
2
2
 r1.5  2.693%
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第四章
即期利率曲線的配適
假設即期利率為某一特定形式的函數
 使用統計方法來配適出一條最符合債券樣
本資料的即期利率曲線
 [例] 假設即期利率(r)是到期期限(t)的二次
項函數
2
r  a1  a2t  a3t

找到一組係數解(a1, a2, a3)，使得估計結果與樣
本之實際債券價格或殖利率之差異誤差為最小
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第四章
利率曲線配適的基本原則

樣本的選取
使用所有發行在外之樣本或是只選用有實
際交易之樣本

配適的精確度
避免過度配適或配適不足

估計結果的穩定度
估計結果對於不良樣本資料的敏感度
樣本資料的正確性
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第四章
利率期限結構的用途

除了可提供未來利率變動方向的指標外，
還可以用於
債券定價及評價
套利機會的發掘
市場景氣的指標
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第四章
債券分割套利
付息債券 零息債券之組合
 利用即期利率評價各零息債券，然後比
較付息債券與零息債券組合間之價值差
異，進行套利操作

需考慮套利操作必要成本
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第四章
債券分割套利釋例

市場中三年期債券價格為$99.49，票面利
率為9.5%（每半年付息一次）
期限
0.5
1
1.5
2
2.5
3
即期利率 8.00% 8.30% 8.92% 9.22% 9.44% 9.75%

分別計算各零息債券之價值，並加總
P  4.75  4.75  4.75 ........ 104.75  99.58
1
2
3
6
1.04 1.0415 1.0446
1.04875

三年期債券市價$99.49 < $99.58，有套利
機會買進三年期債券，分割後賣出
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第四章
利率期限結構與市場景氣變化

利率曲線形狀的改變往往是景氣的領先
指標
利率曲線開始穩定向上攀升時，是市場景氣
回復的徵兆
原本向上的利率曲線出現平坦化，甚至反轉
向下，是市場景氣衰退的徵兆
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