Transcript logika-eloadas

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
• [email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA
ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
•
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Normálformák
Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
SZINTAKTIKUS
SZEMANTIKUS
Levezethető / Bizonyítható
Azonosan igaz / következmény
A szintaktikus és a szemantikus megközelítés ugyanoda vezet-e?
Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy
ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz,
akkor bizonyítható is.
• Az igazság tétel
A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt
formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes).
Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak
kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és
tagadása.
•
•
A teljességi tétel
A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása:
Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza)
konzisztens, akkor van modellje.
A teljességi tétel másik alakja
Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül
T = F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből.
Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával
Tétel – Gödel első nemteljességi tétele
Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formálisaxiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se
nem cáfolható.
Terminológiai megjegyzések
1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített)
axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,.
2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és
cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor
azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes.
3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális
nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a
szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is
legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet
elegendően erős.
4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul
konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes
mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)
5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának
megfelel.
6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.
Gödel második nemteljességi tétele Gödel első nemteljességi tételének egy
lényeges kiterjesztése.
• Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló”
elméletnek van megoldhatatlan problémája,
• addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben
bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes.
1. Van olyan paciens, aki minden doktorban megbízik.
2. A kuruzslókban egyetlen paciens sem bízik meg.
Formalizáljon elsőrendben.
Következmény-e 3.
3. Egyetlen doktor sem kuruzsló.
P(x): az x egy paciens
D(y): y egy doktor
K(y): y egy kuruzsló
M(x,y): X megbízik y-ban
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
 Szintaxis
•
•
•
•
•
•
abc, term, formula, szintaktikai definíció,
egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió
Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése
Logikai összettetség
Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens
Változó átnevezés, Termhelyettesítés
•
•
•
•
•
•
•
•
Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész, változó kiértékelés(  ))
 L-értékelés (term és formula)
Term és formula értéktáblája
Quine-féle táblázat
Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia
1. rendű logikai törvények
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
 Szemantika
• Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az állítások
minősítésével és az állítások leírásával.
• Az állítás definíciója szerint az állítást egy kijelentő
mondattal ki lehet fejezni.
• Ehhez rendeltük az állításjelet,
• majd az állítások halmazához az ítélet változót
• Az állítás információ tartalma alapján igaz vagy hamis.
Például: 1. P: a 7 prímszám –
2. Az x prímszám –
állítás, ítélet változó (P)!
nem állítás (paraméteres)
Alaphalmaz: x ϵ N
x nem ítélet változó
Hogyan analizálhatnánk a 2. mondatot?
Az ilyen állítások formális leírására egy relációt
(logikai függvényt) definiálunk.
• P(x) = i, ha x prímszám - Alaphalmaz: x ϵ N
• E(x) = i, ha x egészszám - Alaphalmaz: x ϵ N
• L(x,y,z) = i, ha z az x és az y legnagyobb közös
osztója.
- Alaphalmaz: x, y, z ϵ N
Szükségünk lesz:
Alaphalmaz- egyedek/indivíduumok halmaza- UniverzumJele: U
• X: indivíduum változó: U elemeit futhatja be
• P (x) : predikátum szimbólum:U {i, h}
• Az állítás konkrét egyedekkel behelyettesített reláció.
Pl.: E(9)=i, E(0.8)=h vagy
L(9,6,3)=i, L(9,6,7)=h állítások, de
L(9,6,z) nem állítás (paraméteres állítás).
• Ha
a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyed,
akkor az állítást nulladrendű állításnak hívjuk.
• Az
alaphalmaz lehet például a racionális számok
halmaza.
• Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyedek egy
halmaza, akkor, az állítást elsőrendű állításnak
hívjuk.
• Ebben
az esetben az állítás az elemek halmazára
vonatkozik és az összes elemre egyidejűleg fennálló
megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos
elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló
megállapítást/létezést fogalmaz meg.
• Ennek leírására vezetjük be a  (univerzális) és a 
(egzisztenciális) kvantorokat.
• Pl. a „Vannak prímszámok” kijelentés - xP(x)
alakban írható le, ha feltételezzük, hogy a vizsgált
elemhalmaz/ vagy indivíduumhalmaz/univerzum
az egészszámok halmaza.
• Amennyiben az univerzum a valós számok halmaza,
akkor ugyanezt az állítást x(E(x)P(x)) alakban
írhatjuk fel.
• A„Minden
háromszög szögösszege 180 fok”
kijelentést – felírhatjuk x(H(x)S(x,f(y1,y2,y3))
alakban, ahol
- H(x) = i, ha x háromszög és
- f(y1,y2,y3) = y1+y2+y3
- S(x,f(y1,y2,y3)) = i, ha
y1,y2,y3 az x szögei és
f(y1,y2,y3) = 180 fok.
Szükség lesz:
• f(y1,y2,y3): Függvény szimbólum: UxUxU U
• : univerzális kvantor
• : egzisztenciális kvantor
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Abc
Logikai rész:
• , , , , , , 
• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan
végtelen, adott fajtájúak
Elválasztó jelek („(„ „)”)
(ítélet változók)
•
•
Logikán kívüli rész:
• Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
• Elemfajták halmaza
Példa:
Term: f(x,f(c,y))
• f: függvényszimbólum : U x U U
• c: konstansszimbólum: c ϵ U
• x: indivíduum változó: U elemeit futja be
Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3))
• f: függvényszimbólum: U x U x U
U
• c: konstansszimbólum
• x, y1,y2,y3: indivíduum változók: U elemeit futják be
• H: predikátum szimbólum: U
{i,h}
• S: predikátum szimbólum: U x U
{i,h}
•
•
A kvantorok (, ) prioritása a legerősebb az összes logikai
műveletei jel között.
A ,  hatásköre a legszűkebb részformula jobbra.
A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és
az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
hatáskör
hatáskör
hatáskör
Egy formulában egy x változó egy előfordulása:
• szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor
hatáskörébe
• kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A fenti formulában x első előfordulása kötött, második
előfordulása viszont szabad.
Y mindegyik előfordulása kötött.
Z mindegyik előfordulása kötött (egy van).
Egy x változó egy formulában:
• kötött változó ha x minden előfordulása kötött,
• szabad változó ha x minden előfordulása szabad,
• vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött
előfordulása is.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
• x vegyes,
• y kötött,
• z kötött
• Egy formula zárt, ha minden változója kötött.
• Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum
változónak van legalább egy szabad előfordulása.
• Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz
kvantort.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad
előfordulása.
Példa:
Definíció:
Kifejezés: termek + formulák
Azokat a kifejezéseket, melyekben nincs
indivídumváltozó alapkifejezéseknek nevezzük.
• alapterm: f(t1, ..., tn), ahol f: függvényszimbólum
• alapatom: p(t1, ..., tn), ahol p: predikátumszimbólum
• alapformula: tetszőleges formula, melyben nincs
indivíduum változó
Nem alapkifejezés például a kvantoros formula, mert
ott legalább egy változónak kell lenni, amire a kvantor
vonatkozik.
Definíció:
• Egy 1. rendű formula primformulái az atomi formulák
( p(t1, ..., tn) ) és a kvantált formulák.
• Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon
primformulái, amelyekből a formula logikai
összekötőjelek segítségével épül fel.
Példa:
• P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha
magában szerepel a formulában:
- P(X)  Q(X) ben: P(X) prímkomponens is
- xP(x)  Q(X) ben: P(X) nem prímkomponens, csak
prímformula
•
•
•
•
•
A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó
igazságértékét megadtuk.
Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
•
•
•
minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF
ha AJFF akkor AJFF
ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás
Összetett állítás
interpretáció
{i,h}
Boole-értékelés
{i,h}
Formula jelentése mindig igazságérték!
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés
+
 L-értékelés (
)
Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik!
Példa: Panni kirándulni ment.
individum
predikátum
Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit
Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes
kifejezés vagy kifejezés szerkezet.
• mondat  {i,h}
• Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat
individumszámával.
, :
zR(z, g(z)) ( Q(g(x))  xR(x,x))