Transcript Penzugyek_diasor_2

A TŐKEKÖLTSÉG
Tőkeköltség a tőkepiacról

Tőkepiac: pénzt cserélünk pénzre




Pl. pénzt adok egy vállalatnak valamilyen jövőbeli (várható)
kifizetésekért cserébe
Az elcserélt pénzek különböznek
kockázatosságukban és/vagy időtávjukban
Tőkeköltség: a tőke használatának alternatíva
költsége ~ azonos kockázatú (és időtávú) tőkepiaci
lehetőség várható hozama
Várható hozam és kockázat kapcsolata a tőkepiacon:
tőkepiaci árfolyamok modellje (Capital Asset Pricing
Model, CAPM) – célunk most ennek levezetése…
Várható hasznosság maximalizálása


Emlékezzünk: racionalitás: várható hasznosság
maximalizálása
Matematikai várható érték vs. várható hasznosság
 
E W   pi wi  max
i


E U W    piU ( wi )  max
i


Minket nem a vagyon (pénz) érdekel önmagában,
hanem a hozzá tartozó hasznosság!
Miért más a két célfüggvény?
Csökkenő határhasznosság elve

Egy újabb egységnyi vagyonnövekedésre eső
hasznosság egyre kisebb…
U(W)
MU(W)
𝑀𝑈 𝑊 =
W
𝑑𝑈(𝑊)
𝑑𝑊
Kockázatkerülés


A csökkenő határhasznosságból fakad
A matematikailag „fair” eset elutasítása
 Példa:
50% valószínűséggel nyerhetünk, illetve
veszthetünk 1 millió Ft-ot – miért nem vágunk bele?
 Vagyonunk
ugyan várhatóan nem változik: E(W) = 0,5*(W0+1)
+ 0,5*(W0-1) = W0, de:
1
millió Ft megnyerése kisebb öröm, mint amekkora fájdalom
1 millió Ft elvesztése
 Matekosan: E(U(W))
 Azaz

= 0,5*U(W0+1) + 0,5*U(W0-1) < U(W0)
ha belevágunk, hasznosságunk várhatóan csökken!
Minél „görbültebb” a hasznosságfüggvény, annál
inkább kockázatkerülő
Hozamok és kockázatkerülés (I.)

Vagyon ~ pénzösszeg ~ hozam: jellegükben
ugyanazok az összefüggések megmaradnak
 Ezentúl

a hozammal foglalkozunk
Hozam – valószínűségi változó
 Sok,
egymástól független véletlen hatás eredőjeként
alakul → normális eloszlásúnak feltételezhetjük
 Így két paraméterrel definiálható: E(r) várható érték és
σ(r) szórás
 A kockázatot matematikailag a szórással ragadjuk meg

Tegyük az eddigieket egy modellbe!
Hozamok és kockázatkerülés (II.)

Azonos várható hasznosságot jelentő hozamok (egy
adott, kockázatkerülő befektetőre):
rA
E(rC)
E(rB) E(rD)
r
Hozamok és kockázatkerülés (III.)

Egy közömbösségi görbe:
Hozamok és kockázatkerülés (IV.)

Várható hozam – szórás preferencia-térkép két
eltérő kockázatkerülésű befektetőre:
U
U
W
W
E(r)
U5
E (r)
E(r)
E(r)
U5
U4
U4
U3
U3
(a)
U2
U2
U1
U1
σ(r)
σ(r)
(b)
σ(r)
σ(r)
Hozamok és kockázatkerülés (V.)

Várható hozam – szórás kapcsolat analitikusan
(közelítő formula):
U  E(r )  0,5 A   (r )
2




A: kockázatkerülési együttható
A kockázatot a matematikai szórással azonosítjuk
A hozamokat normális eloszlásúnak feltételezzük
Kockázatkerülést tételezünk fel
Hatékony portfóliók tartása (I.)


Láttuk: egy befektetésnek van valamilyen várható
hozama és kockázata
Csökkenthető-e a kockázat úgy, hogy a várható
hozam nem változik?


Modern portfólió-elmélet (Modern Portfolio Theory,
MPT)


Ha igen, és költségmentesen, akkor nyilván élni fogok ezzel
a lehetősséggel
Harry Markowitz, ’50-es évek, később Nobel-díj
Portfólió: befektetésekből álló „csomag”
Hatékony portfóliók tartása (II.)

Kombináljuk a különféle befektetési lehetőségeket!

Diverzifikáció: a tőkénk megosztása több
befektetési lehetőség között (~portfólió kialakítása)

A portfólió nem szimplán csak az egyedi
befektetések összessége
A
várható hozama nem, viszont a szórása függ az egyes
elemek közötti sztochasztikus kapcsolatoktól!

Normális eloszlás, E(ri), σ(ri)
Hatékony portfóliók tartása (III.)

Egy n elemből álló P portfólió várható hozama:
E(rP )  a1 E(r1 )  a2 E(r2 )  ...  an E(rn )
a1  a2  ...  an  1

A portfólió szórása:
n ,n
 (rP )  a  (r1 )  a  (r2 )  ...  a  (rn )   2k i , j ai (ri )a j (r j )
2
1
2
2
2
2
2
n
2
i, j
a1  a2  ...  an  1; i  j; ij  ji
Hatékony portfóliók tartása (IV.)

Nézzük meg n=2-re:
E (rP )  a1 E (r1 )  a2 E (r2 )
 (rP )  a12 2 (r1 )  a22 2 (r2 )  2k1, 2 a1 (r1 )a2 (r2 )
a1  a2  1

És n=3-ra is:
E (rP )  a1E (r1 )  a2 E (r2 )  a3 E (r3 )
 (rP )  a12 2 (r1 )  a22 2 (r2 )  a32 2 (r3 )  2k1, 2a1 (r1 )a2 (r2 )  2k1,3a1 (r1 )a3 (r3 )  2k2,3a2 (r2 )a3 (r3 )
a1  a2  a3  1
Hatékony portfóliók tartása (V.)

Tetszőleges n elemszámú portfólió – mi van, ha
minden korreláció 1 (teljes függőség van)?
n ,n
 (rP )  a12 2 (r1 )  a 22 2 (r2 )  ...  a n2 2 (rn )   2ai (ri )a j  (r j )
i, j

a  (r )  a  (r )  ...  a  (r )
2
1
1
2
2
n
n
 a1  (r1 )  a 2 (r2 )  ...  a n (rn )
  (ri ) átlagos
a1  a 2  ...  a n  1; i  j; ij  ji; k i , j  1

A portfólió szórása ekkor tehát az elemek szórásainak
súlyozott átlaga
Hatékony portfóliók tartása (VI.)

Ugyanez, csak n db egyformán „átlagos” szórású
elemre:
1
a i  ;  (ri )   (ri ) átlagos ; k i , j  1
n
1
 1

1

 (rP )    (ri ) átlagos     (ri ) átlagos   ...    (ri ) átlagos 
n
1  n
2
n
n
1
 n  (ri ) átlagos   (ri ) átlagos
n

Természetesen ugyanazt kaptuk, mint előbb
Hatékony portfóliók tartása (VII.)

Nézzük, mi van, ha minden páronkénti korreláció 0!
 (rP )  a12 2 (r1 )  a22 2 (r2 )  ...  an2 2 (rn )
a1  a 2  ...  a n  1; k i , j  0

Tekintsünk most is n db egyformán „átlagos” szórású
elemet! a  1 ;  (r )   (r ) ; k  0
i
n
i
i átlagos
2
i, j
2
2
1
 1

1

 (rP )    (ri ) átlagos     (ri ) átlagos   ...    (ri ) átlagos 
n
1  n
2
n
n
1

 n  (ri ) átlagos 
n


n
 (ri ) átlagos
n
2
Hatékony portfóliók tartása (VIII.)

Mi van akkor, ha n → ∞ ?
k i , j  1; n  
 (rP )   (ri ) átlagos
k i , j  0; n  
n
 (rP ) 
 (ri ) átlagos  0
n
Hatékony portfóliók tartása (IX.)

Ha van negatív korrelációjú tag, akkor kevesebb elemszám
esetén is nulla lehet a portfólió szórása

Akár már két elem is elegendő lehet

Ha minden tag 0 és 1 közötti korrelációjú, akkor csökken a
szórás, de nem nulláig

Ha mindenféle korreláció előfordul, akkor lehet nulla, de ha
többségében pozitív kapcsolat, akkor valamilyen pozitív
értékig csökken csak (a szórás negatív nem lehet!)

Általános szabály: ha nincs teljes függőség, akkor nagyobb
elemszám → kisebb szórás, és minél kisebb korrelációk, annál
„gyorsabban”

Cél: úgy kombinálni a befektetési lehetőségeket, hogy minél
nagyobb várható hozamhoz minél kisebb szórás
Hatékony portfóliók tartása (X.)

Példa:
Részvény
Danubius (i)
Pannonplast (j)
Várható hozam (%)
2,5
3,3
Szórás (%)
11,4
17,1
E (rP )  ai E (ri )  a j E (r j )
 ai 2,5  a j 3,3
 (rP )  ai2 2 (ri )  a 2j  2 (r j )  2k ij ai (ri )a j  (r j )
 ai2 11,4 2  a 2j 17,12  2k ij ai 11,4a j 17,1
Hatékony portfóliók tartása (XI.)

Ábrázoljuk a lehetséges portfóliókat különféle korrelációk
esetén:
A korrelációk persze
a valóságban adottak…
Hatékony portfóliók tartása (XII.)

Nézzük meg E(r)
a három különböző elemből összeállítható
portfóliókat (feltüntetve a páronként lehetséges U5
portfóliókat is):
E(r)
U4
i
Látható, hogy a
három befektetési
lehetőséggel együtt
érhető el a
legnagyobb szóráscsökkenés…
U3
k
j
U2
U1
σ(r)
Hatékony
portfóliók
tartása
(XIII.)
E(r)

U5
Nézzük meg a „világ összes” kockázatos befektetési
lehetőségét:
E(r)
Az adott
befektetőnek
a B pont
maximalizálja a
hasznosságát
Hatékony
U4 portfóliók
B
A
U3
U2
U1
σ(r)
Feltételezések:
1) nincsenek szélsőséges hozam-szórás párok, 2) egy adott kockázati szint alatt
nincs lehetőség, 3) a szórás nem csökkenthető nulláig
σ(r)
Hatékony portfóliók tartása (XIV.)

Hatékony portfólió: adott várható hozamnál a legkisebb
kockázatot, ill. adott kockázatnál a legnagyobb várható
hozamot adja (nem diverzifikálható tovább)

A kockázat alakulása a diverzifikáltság mértékével:
Hatékony portfóliók tartása (XV.)

E(r)
E(r)
U5U5
A különböző preferenciájú befektetők választása:
E(r)
Hatékony portfóliók
A kockázatkerülési
együtthatójuktól függ,
hogy melyik hatékony
portfóliót választják
B2
A
B1
U4
U4
U3
U3
U2
U1
U2
σ(r)
Hatékony portfóliók tartása (XVI.)

A Markowitz-féle modell problémái
 Egy
befektetésnek az összes többi befektetéssel való
korrelációs kapcsolatát ismerni kell
A
tartott hatékony portfóliók befektetőnként eltérőek
→ egy-egy befektetés ténylegesen érzékelt kockázata
befektetőnként eltérő

A modell gyakorlati alkalmazása „szinte
reménytelen”
Portfólió-választás példa (I.)




Adott két befektetési lehetőség:

i: E(ri) = 12%, σ(ri) = 15%

j: E(rj) = 7%, σ(rj) = 9%

ki,j = 0,3
Mekkora az ezen két elemből összeállított portfólió
várható hozama és szórása, ha

I.: ai = 0,2 és aj = 0,8

II.: ai = 0,8 és aj = 0,2
Az I. és a II. portfólió közül melyiket választaná egy
A=2, illetve egy A=8 kockázatkerülésű befektető?
Ábrázoljuk grafikusan is! (csak jelleghelyesen)
Portfólió-választás példa (II.)
Megoldás

I. portfólió:
 E(rP)
= 0,2*0,12 + 0,8*0,07 = 0,08 = 8%
= [(0,2*0,15)2 + (0,8*0,09)2 +
2*0,3*0,2*0,15*0,8*0,09]1/2 = 0,0859 = 8,59%
 σ(rP)

II. portfólió:
 E(rP)
= 0,8*0,12 + 0,2*0,07 = 0,11 = 11%
= [(0,8*0,15)2 + (0,2*0,09)2 +
2*0,3*0,8*0,15*0,2*0,09]1/2 = 0,1266 = 12,66%
 σ(rP)
Portfólió-választás példa (III.)

Portfóliók várható hasznossága, ha A=2:
 I.
portfólió: U = 0,08 – 0,5*2*0,112 = 0,0726
 II.
portfólió: U = 0,11 – 0,5*2*0,12662 = 0,0940
 Mivel

UII > UI, ezért a II. portfóliót választaná
Portfóliók várható hasznossága, ha A=8:
 I.
portfólió: U = 0,08 – 0,5*8*0,112 = 0,0505
 II.
portfólió: U = 0,11 – 0,5*8*0,12662 = 0,0459
 Mivel
UI > UII, ezért az I. portfóliót választaná
Portfólió-választás példa (IV.)
E(r)
i
12%
11%
8%
7%
UIIA=2
UIA=8 > UIIA=8
UIA=2
II.
I.
j
8,59% 9% 12,66% 15%
Csak hozzávetőleg,
jellegében helyes
ábrázolás!
σ(r)
Portfólió-választás példa (V.)
Gyakorlásra:
 Kétféle portfólió 3 db elemből:



E(r)
σ(r)
I.
II.
i
10%
20%
0,4
0,2
j
8%
12%
0,2
0,2
z
5%
5%
0,4
0,6
Korrelációk: ki,j = -0,2; ki,z = 0,7; kj,z = 0,5
Az I. vagy II. portfóliót választaná egy A=8 befektető?
(Megoldás: a II.-t, mert UII = 0,0456 > UI = 0,0387,
mivel I.-re E(rP) = 7,60% és σ(rP) = 9,66%, és II.-re E(rP) =
6,60% és σ(rP) = 7,14%)
Portfólió-választás példa (VI.)
Csak akit jobban érdekel a téma, és szeret számolni:
 Előző kételemű példához:
 i-hez
és j-hez önmagában tartozó hasznosságok
 Legkisebb szórású portfólió meghatározása
 Legnagyobb hasznosságú portfólió meghatározása
 (Utóbbi kettőhöz az ötlet: aj = 1 – ai, majd egy
egyváltozós szélsőérték feladat)
 Aki rajzolni is szeret: pontosabb grafikus ábrázolás a
fentiek ismeretében…