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長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース
’13.10.25
本日の講義内容
前提：微分積分、線形代数が何をしているかはうろ覚え。
材料力学は勉強したけど、ちょっと。
弾性および塑性学は勉強したことが無い。
ー＞
ですので、解らないときは質問してください。
１） モールの応力円を理解するとともに、応力を3次元的に考える。
２） ＦＥＭ(有限要素法）の概略。 内部では何を計算しているのか？
３） 物が壊れる条件を考える。 特に、変形（塑性変形）が発生する条件
としての ミーゼス応力 とはどのような応力か？
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応力歪線図
おもな材料特性
材料
SS400
S45C
耐力
(N/mm2)
215
365
引張り強さ
(N/mm2)
400
610
20
18
伸び（%）
引張り強さの５０％強が降伏応力
金属は切れる（破壊する）力の５０％強
の力が作用すると塑性変形が起き機械
の機能を満たさなくなる。
2
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Nn=N・cosθ ,
Ns=N・sinθ ,
A’=A/cosθ
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応力とその方向
よって、θ傾いた平面には
σ’=Nn/A’=(P/A)cos2θ=σcos2θ
τ’=Ns/A’=(P/A)cosθsinθ= σcosθsinθ
応力は平面が指定されて初めて決まる。
応力はA面では面を離すような引っ張り応力しか働かない
が、A’面では引っ張りの他、面をこするようなせん断応力も
働く。特別な面以外は両方の応力が働く。
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２次元応力
Z方向に力が働いていない
2次元応力状態を考える。
この微小要素の‘重さ’を無視
すると図のような応力が作用す
る。
また回転していないことより、
xy  yx
このことをせん断応力は共役であるという。つまり運
動を考えない材料力学では90度傾きの違う面には大
きさの同じせん断力が作用している。
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２次元 θ方向の応力
Ｘ、ｙ方向での応力が求められているときに面の方向による応力の変化。
ｘ方向のつり合い
σｎ・AB・cosθ=τｎ・AB・sinθ+σx・OB+τyx・OA
ｙ方向のつり合い
σｎ・AB・sinθ+τｎ・AB・cosθ=σy・OA+τxy・OB
ここで OA=ABsinθ 、 OB=ABcosθ より
σｎ= σxcos2θ+σysin2θ+2τxysinθcosθ
=(1/2)(σx+σy)+ (1/2)(σx-σy)cos2θ+τxysin2θ
τｎ= (σy-σx)sinθcosθ+τxy(cos2θ-sin2θ)
=-(1/2)(σx-σy) sin2θ+ τxycos2θ
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θ方向応力の性質（１）
σｎ は θ の変化に対し極大極小値を持ち、
dn
 (y  x ) sin 2  2xy cos 2  0
d
のとき極小極大となり、その時の θ は
tan2 0 
2xy
x  y
で与えられ、
1
1
(n) max , min  (x  y ) 
(x  y ) 2  4 2 xy
2
2
1
 x  y 
2
 (x  y )  
   xy   1,  2
2
 2 
2
この２力 σ１、σ２ を主応力という。
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θ方向応力の性質（１）


x y
2
式を絵で表すと
左のような絵で表せる。
xy
2 y
O
順次説明するが、応
1 
力をうまく説明できる円
x
を書くことができるので
ある。
 
yx
xy
x y
2
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θ方向応力の性質（２）
2xy
tan2 0 
x  y
より
 2xy 
1  2xy 
2 0  tan1 
or
tan


 
 x  y 
 x  y 
1
1

1  2xy 
1  2xy 
 0  tan 
or tan 

2
 x  y  2
 x  y  2
以上より二つの主応力方向は直行する。
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θ方向応力の性質（３）
2xy
tan 2 0 
x  y
cos 2 0 
x  y
(x  y ) 2  4xy 2
, sin 2 0 
2xy
(x  y ) 2  4xy 2
をスライド５の以下の式に代入すると
τｎ=-(1/2)(σx-σy) sin2θ+ τxycos2θ
n  0
つまり、主応力方向の面ではせん断力はゼロである。
（主応力面においてはせん断力は働かない＝せん断力が働
いてないような面を主応力面と言い、２面あって、それらは直
行する）
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θ方向応力の性質（４）
スライド５においてせん断力
τｎ =-(1/2)(σx-σy) sin2θ+ τxycos2θ
が極大極小になるθは
dn
 x  y  cos 2  2xy sin 2  0
d
この時スライド５の式より
x  y
2xy
tan 2 1  
：主剪断応力
1
 (x  y ) 
2
2
2
(n ) max , min  
(x  y )  4 xy   


xy

2
2


2
1
1
 1  (x  y )   max ,  2  (x  y )   max
2
2

 max
よって
xy
1
 max  ( 1   2)
2 y
2
主応力の差の半分が最大せん断力
O
 
yx
xy
  max
x y
2
1 
x
x y
2
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θ方向応力の性質（５）
2xy
tan2 0 
x  y
よって
2 0  2 1 
tan
2 1  
,

2
x  y
2xy
  0 1 
より
tan 2 0 tan 2 1  1

4
主応力軸と主せん断応力軸は４５度の角度をなす。
スライド５，６より
x  y  n  n   2   1   2  I
引っ張り応力の合計は不変量となる。
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モールの応力円
スライド５のσｘ、σｙをσ１、σ２と読み替えて、
θ0 を -θ0、 τxy=0 とすると
1
1
x  ( 1   2)  ( 1   2) cos 2 0
2
2
1
1
y  ( 1   2)  ( 1   2) cos 2 0
2
2
1
xy  ( 1   2) sin 2 0
2
中心はC((σx+σｙ)/2, 0)= ((σ1+σ2)/2, 0)
で半径 (σ1-σ2)/2 の円で応力状態を表すこ
とができる。
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今まで、ｘｙ面のみであったが、ｙｚ面、ｚｘ面でも成り立ち3次元で成り立つ。その議
論は必要になったらやることにする。
演習（モールの円）
上記の左図のような応力状態場合の主応力と主応力方向を求めよ。
演習２
演習３
上図でτｘｙ＝０ ならモールの円はどのようになるか？
上図でσｙ＝―100MPa ならどうなるか。
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応力と歪
2次元での応力と主応力の関係モールの円に関して説明した。
次に、この応力と材料の変形（歪）の間の関係を述べる。
一軸引張なら引っ張った方向に材料は伸び、横方向は細く
なる。式であらわすと
x  Ex
または
x 
x
E
,
通常引っ張ると体積は増える。
計算によると
体積不変のゴムなどは ν＝0.5
鉄などは 約 ν＝0.3 である。
この ν をポアソン比と言う。
dy
y

x
y
y 
x
dx
x 
P
dy
y
dx
x
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一片の長さ：ａ
ここで先ほどの演習でやった問
題３を思い返すと、
2軸で同じ力で片方は引っ張り、
片方は圧縮の場合、モールの
円は原点周りの円となり、45度
傾いた面は単純せん断となる。
ｘ 方向の歪は σ による歪と ｙ軸の圧縮による歪の和と
なり
ｙ方向は歪は σ による歪と ｘ軸の引っ張りによる歪の和
となり破線で表される。
x 
 (1  )
E
,
y  
 (1  )
E
 x
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次にこの歪が単純せん断力で発生したと考える。
せん断歪は下に示すようにγなので
OH ' E ' 

4


2
    OE ' a (1  x )
tan   

 4 2  OH ' a (1  x )

より
2
これに、


G


G
,
 x
x 
E  2G (1  ) , or G 
 (1  )
E
を代入すると、
E
2(1  )
が求まる。これは弾性係数は2個わかるとほかの弾性係数が計算できるのである。
途中
    sin( / 4) cos( / 2)  cos( / 4) sin( / 2) 1  ( / 2)
tan   

 4 2  cos( / 4) cos( / 2)  sin( / 4) sin( / 2) 1  ( / 2)
を用いている。
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ここで記憶にとどめておいていただきたいこと。
１）応力には引っ張りとせん断の2種類がある。
２）応力は作用している面の方向が決まらないと大き
さは決まらない。
３）主応力方向のせん断応力はゼロである。
４）せん断力だけの場合は体積変化が発生しない。
５）面に垂直な力はポアソン比を通じ90度方向の歪を
変化させる。
６）弾性定数は2個決まると残りは計算で求められる。
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3次元での応力と歪と応力の関係
z
zx
xy
yz
xz yx
x
z
y
x
zy
y
直方体に図のように応力が働いている。
3軸方向の応力はポアソン比を介して互いに影
響しあい、式のようになる。
つまり、ｘ、ｙ、ｚ 各軸方向の引っ張り応力に
よりｘ軸方向の歪量はそれぞれ次のようになり、
ｘ軸方向の歪はこれらの和となる。
x ' 
x
E
, x ' '  
y
E
, x ' ' '  
z
E
,
ほかの2軸も同様に求められ、
Ex  x y z 

Ey  x  y z 
Ez  x y  z 
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扱いやすいように行列式に書いて
x   1
 
E y   
z  
  
x 
1
 

y   E 
z 

 

1


1

  x 
 
  y 
1  z 
 
 
1 
1
x 
 
y 
z 
 

  x 
1 
E
 




1 
  y 

(1  2 )(1  )
 

1   z 
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
E
xy 
2(1  ) 

E
yz  Gyz 
yz 
2(1  ) 

E
zx  Gzx 
zx 
2(1  ) 
xy  Gxy 
また、せん断応力に関しては
であるからこれを前のページの式に組み込み


1 
 
x 
1 


y 
 

1 
 

z 
E
0
0
 0
σ 
xy  (1  2 )(1  ) 
 0
0
0
yz 

 
zx 

0
0
 0
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0
0
0
0
0
1  2
2
0
0
0
1  2
2
0
0
0 
0   x 
 y 

0  

0   z   Dε
 xy 
0  yz 
 
1  2  zx 
2 
これが、歪と応力の関係を表す3次元での構成方程式である。
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平面応力の構成方程式
有限要素法の説明で必要になる平面応力の構成方程式を求めておく。
平面応力とは σｚ＝０ であるので
Ex  x y  0 

Ey  x  y  0
Ez  x y  0 
x   1
E   
y  
  x 
 
1  y 
Εｚはゼロではないが、応力の計算に
は影響ないので3本目の式は省略し
整理すると
x 
1
   E
y 
 
x 
1   x 
E
 
 1  y 

y
(
1


)(
1


)
 

 


1 
0   x 
x 

E
 
 
 1
0   y 
y  
xy  (1  )(1  ) 0 0 1   xy 
 

 
2 

1
  x 
 
1  y 
せん断成分はτｘｙのみとなり前と同
様に入れると、
という構成方程式が求まる。
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