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’15.9
梁の曲げ
ここでは以下の事項を説明する。
１．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係
２．梁の曲げ応力
（外力により発生する内力）
３．梁のたわみの求め方
（静定はりー曲率、微分方程式）
４．力のかかり方による問題の解法の違い
（集中荷重、集中モーメント、切断法）
５．力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする
解法（不静定問題）
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１．梁の剪断力と曲げモーメント
力のかかり方
X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい
い、これに横方向の荷重が作用するとき、
曲げ問題という。
A
Q   dA   P
A'
A
M   z  dA   Pa
A'
力の釣り合い
外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τ
の合計力 Q と釣り合う。
モーメントの釣り合い
O点においてはモーメント Pa と A-A’ 面に
おける引っ張り圧縮応力（これを曲げ応
力）による曲げモーメント M と釣り合う。
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剪断力とモーメントの符号の定義
0
(-)
Q
z(+)
(+)
M
面の法線が正（負）のほうを向いた面に
正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪
断力と定義する。
その反対だと負。
Q
(+)
(+)
M
x(+)
モーメントの場合正（負）の方向を向いた面に
梁の中心をｚの正の方向に凸にするモーメント
を正のモーメントと定義する。
その反対だと負。
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剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）
左の図のような片持ち梁にＰが作用
すると、ｘの位置に置いて切り出した
仮想面には一定の剪断力Ｐが働き、
その符号は正。
また同様にこのＰによりｘの位置で
はモーメントＰ(ｌ-x)が働き、その符号は
負である。
これをグラフに描いたものが
ＳＦＤとＢＭＤである。
これはｄｘと言う微小な部分を切り出
して考えてもよい。
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剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合
Q( x)  q(l  x)
l x
0
M ( x)  dM  
l x
0
q(l  x) 2
qd  
2
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剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
左図の様な集中荷重が作用する回転自由
な両端支持の場合を考える。
Ａ，Ｂに反力ＲＡ、ＲＢがはたらく。
力の釣り合い
モーメントの釣り合い
釣り合い式より
RA 
b
P,
l
RB 
P  RA  RB
aRA  bRB
a
P
l
Ｃで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると
b

R
A
P (0  x  a )

l
Q( x )  
a
 RB   P (a  x  l )
l

剪断力分布
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剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
b

xR
A 
Px
(0  x  a )

l
M ( x)  
a
(l  x) RB  P(l  x)
(a  x  l )
l

ab
M max  M ( x  a ) 
P
l
となり、絵で描くと
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演習1
図の様な一様な荷重が作用する両端支
持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。
略解
RA  RB 
ql
2
よって、Ｘにおける剪断力は
Q( x)  q(l  x)  RB 
ql
 qx
2
曲げモーメントも同様に考え
M ( x)  RB(l  x)  q(l  x)
(l  x) qx(l  x)

2
2
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はりの曲げ応力
条件：
はりの断面は梁が曲がっても平面。
θ
b
R
M A
B
h
中立面
A'
中立軸
ひずみは中立軸に関し対称。
（ひずみは z に関し一次的
＝直線変化、よって応力も）
B'
σx(z)
z
微小な距離 AA’ も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。
今、モーメント M が作用。 曲がってその小さなθの範囲での半径
は Rと考える。
中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。
ひずみは；
応力は；
( R  z )  R z

R
R
E
 ( z )  E  z
R
 ( z) 
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b
中立軸から z 離れたところの応力は
z
h
中立軸
dA=bdz
 ( z )  E 
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E
z
R
（１）
そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは
E 2
z dA
R
よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメン
トと釣り合う
dM  z ( z )dA 
E h/2 2
E
M   dM   z dA  I
h / 2
R h / 2
R
h/2
（１）、（３）式より
 ( z) M

z
I
よって
 ( z) 
M
z,
I
 ( z) 
（２）
（３）
M
z
EI
ここで積分で表された I のことを断面２次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。
I は断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。
長方形断面の断面２次モーメント：I は
bh 3
I   z bdz 
h / 2
12
h/2
2
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重要事項の取りまとめ
EI
M
R
z

R
M
 ( z) 
z
I
bh 3
I
12
（長方形断面の場合）
さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。
それぞれまでの最大値を ｈ１、ｈ２ とすると
 (h1) 
M
M
h1 
I
Z1
ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。
今、断面が長方形なら、h1=h/2 より
I
bh 2
Z1  Z 2 

(h / 2)
6
材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので
M
 max 
Z1
となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ
かっていればよい。
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たわみ＝＞（１）曲率とは
EI
M
R
書き換えると
1 M

R EI
である。
実は、この １／R は曲率と呼ばれていて
0
x
dθ
R
ds
z
dx
dθ dz
θ
1
d
d


R Rd ds
図より
１ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率
(ds ) 2  (dx) 2  (dz ) 2
2
ds
 dz 
 1     1  ( z) 2
dx
 dx 
dx
1
 cos 
ds
1  ( z) 2
dz / dx  tan 
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d  dz 
d (tan  ) d
1 d



 z 
dx  dx 
d
dx cos 2  dx
1
d
d


R Rd  ds
さてここで
d
 z  cos 2 
dx
なので
1 d dx

 z cos 2 
R dx ds

よって
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1
1  z 
1
2 2
z
1  z 
1
 z
R
3
2 2
材力のたわみの問題の場合
梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とる
ので、
とみなせる。
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たわみ＝＞（２）たわみを求める式は
以上の議論より、たわみを求めるには
1
d 2 z ( x) M ( x)


,
2
R( x)
dx
EI
d 2 z ( x)
M ( x)

2
dx
EI
なる方程式を解くことに帰着する。
１）BMDより、ｘの位置におけるモーメントがｘの関数として求まる。
２）曲げ剛性 EI を設計で決める。
E は材料により決まるヤング率という剛性。
I は梁の断面形状により決まる剛性。
３）上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定
することとなる。
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梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁）
左のような片持ち梁を考える。
M ( x)   P(l  x)
これを曲げの方程式に代入
d 2 z P(l  x)

2
dx
EI
P
x2
z ( x) 
(lx   C1)
EI
2
P l 2 1 3
z ( x) 
( x  x  C 1 x  C 2)
EI 2
6
境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.
よって、たわみを表す関数は
P
z ( x) 
(3lx 2  x 3 )
6 EI
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はりのねじり（中実丸棒）
dx
B'
γ0
A
dφ
B
T
α
β
τ
B' B
γ0
A
φD
直径 D の中実丸棒にトルク T を作用させた。
トルクは力（N）と長さ（ｍ）の掛け算で（Nm）の単位
である。
トルクによりα面に対しβ面が dφ だけねじれる。
ねじれても、断面の円形は変わらず、α から β ま
で距離に比例して回転すると考えて差し支えない。
すると、丸棒表面のトルクによるねじりは、せん断歪
として下の図のように考えることができ、
BB' D d
0

AB 2 dx
GD d
 0  G 0 
2 dx
ここで G はせん断弾性係数（横弾性係数）
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横断面の相対回転角 dφ をその回転角が生じた長さ dx で割った
単位長さ当たりのねじれ角を θ とすると。
d

dx
単位は rad/m。 これよりせん断歪とせん断応力は
D
GD
0  , 0  
2
2
半径 r の位置におけるせん断歪とせん断応力は
 (r )  r ,  (r )  Gr
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各半径位置における τ（ｒ） の断面全域での合計はトルク T と同一である（つり
あう）。
微小幅 ｄｒ の円環に作用する剪弾力は τ（ｒ） なので、円環全体でのトルクは
dT  dQ  r   (r )dA  r
  (r )2rdr  r  2r  (r )dr
2
T 
D/2

D/2
0
0
ここで、
Ip
dT  
D/2
0
を考慮して
 (r )  rdA
GrrdA  G 
D/2
0
r 2 dA  GIp  
を断面２次極モーメントと呼び、GIp をねじり剛性と呼ぶ。
今回は円形断面なので
Ip
Ip  
は
D/2
0
4

D
2r 3dr 
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T

GIp
の式は
D
T
T
 max  G 

2  Ip  Zp


 ( D / 2) 
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と変形でき
Zp をねじりの断面係数と呼ぶ。
トルクをねじりの断面係数で割ると最外周で発生する最大せん断応力が求められる。
次のページに曲げの場合とねじりの場合を対比し重要でかつ同じような形をしている
式を示す。
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曲げの場合
曲率：
 1 M
z     
   EI
I
I   y dA , Z 
A
h/2
2
断面２次モーメントは中立軸からの距
離で
最外周までの長さで割れば断面係数
M
 max 
Z
最大引張り応力は
その位置でのモーメントを形状係数
で割る
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ねじりの場合
T

GIp
Ip
2
Ip   r dA , Zp 
A
D/2
単位長さ当たりのね
じり角：
断面２次極モーメントはねじり中心からの
距離で
最外周までの長さで割ればねじりの断面
係数
T
 max 
Zp
最大せん断応力は
その位置でのトルクをねじりの形状係
数で割る
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演習１
先端のねじれ角と最大せん断応力を求
めよ。
略解：

T
T
100


(rad / m)
4
9
4
GIp G (D / 32) 80  10 ( 0.02 / 32)
  L  7.96  102 (rad / m) 1(m)  7.96  102 rad  4.56
最大せん断応力は外周表面で発生し（半径が一番大きくひずみが一番大きいか
ら）
 max 
T
T
T


 63.7 MPa
3
Zp Ip /( D / 2) (D / 16)
21