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長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース
’15.9
破壊基準
材料内部の発生応力が材料自体の強さに達すると
その材料は破壊する。
金属のような延性材料は破壊の代わりに降伏し変形し
機械の機能を失う。この応力が降伏応力 σy
σu=P/A で棒を引っ張った場合、Ａ面に直角に
σu=P/A が作用し破断する。この σu を引っ張り強さ
という。
破壊（変形）は応力がどの状態に
なった時に起きるか？
現実は３次元で考える必要がある。
1
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１）最大主応力基準（破損包絡面）
３個の主応力のどれかが
引張り強さに達したら破損
する。＝脆性材料(ガラス)
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２）最大せん断応力基準（延性材料＝金属）
モールの応力円は主応力は９０度で交差し
最大せん断力は主応力と４５度をなすことを示
している。
モールの円
σ２=0
τmax
延性材料は σu に応力が大きくなる前に耐力
σｙ で降伏（塑性変形）する。そしてその値は σu
の約半分である。
一軸引張り実験をするとリューダースラインが
観察でき、その傾きは４５度である。
（この塑性変形は刃状転移の移動の結果と言
われている。）
実験結果から、
延性材の場合、材料はまず最大せん断応力面
で塑性変形をおこすことが示される。
σ１
最大せん断応力面で滑りが真っ先に起きる。
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最大せん断応力基準（その２）
• 最大せん断応力基準
降伏応力が τy の材料の場合
となるような主応力が
生じたとき降伏する。
1
( 1   2)   max  y
2
単純一軸引張りの場合
1
2
 max  y  y
：トレスカの降伏条件
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最大剪断応力基準の破損包絡面（トレスカの降伏条件）
線図の範囲以内なら材料は降伏せず健全
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トレスカの降伏条件：演習
図のような内圧がかかる薄肉円筒型圧力容器
（タンク）がある。
発生応力は
周方向： σθ＝ｐｒ／ｔ
軸方向： σｘ＝ｐｒ／２ｔ
材料の降伏応力σｙ＝２４０（ＭＰａ）
ｒ＝２４０ｍｍ、ｔ＝１２ｍｍの時
トレスカの降伏条件より容器の降伏限界圧力を
求めよ。
（解：１２ＭＰａ、軸と平行に破断線が入る）
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３）せん断歪エネルギー基準（１）
３次元等方性体応力歪関係は
1
x  (y  z ),
E
1
y  y  (z  x ),
E
1
z  z  (x  y ),
E
x 
1
yz
G
1
zx  zx
G
1
xy  xy
G
yz 
単位体積当たりの歪エネルギーＵは
1
(xx  yy  zz  yzyz  yzzx  xyxy)
2
1

(x 2  y 2  z 2 )
2E

1
 (xy  yz  zx ) 
(yz 2  yz 2  xy 2 )
E
2G
U
7
せん断歪エネルギー基準（２）
U= 式に
xy  yz  zx 
x  y  z 
2
2
2


1
(x  y ) 2  (y  z ) 2  (z  x ) 2  x 2  y 2  z 2
2

1
(x  y  z ) 2  (x  y ) 2  (y  z ) 2  (z  x ) 2
3

という恒等式を代入。
1  2
Uv 
(x  y  z ) 2
6E
1 
1
Ud 
(x  y ) 2  (y  z ) 2  (z  x) 2 
(yz 2  yz 2  xy 2 )
6E
2G
U  Uv  Ud


Ｕは全歪エネルギ、
Ｕｖは体積変化を伴う歪エネルギ
Ｕｄは体積変化を伴わない歪エネルギ
これらの式を主応力で表現すると τ はゼロとなり次のように書ける。
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せん断歪エネルギー基準（３）
1  2
( 1   2   3) 2
6E
1 
Ud 
( 1   2) 2  ( 2   3) 2  ( 3   1) 2
6E
U  Uv  Ud
Uv 


1
参考：  max  ( 1   2)
2
今、このエネルギーのうちせん断歪エネルギＵｄがある値になると降伏するとい
う考えがある。
つまり、 一軸で考え、 σ1=σe（相当応力＝一軸でいう降伏応力）, σ2=σ3=0
とするなら、
1  2
Ud 
e
3E
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せん断歪エネルギー基準（４）
e 

1
( 1   2) 2  ( 2   3) 2  ( 3   1) 2
2

右辺の計算結果（ミーゼス応力）が
一軸の実験で得られる降伏応力 σｅ になると降伏現象が発生する。
２次元で考えやすくするため
σ2=0
とすると、
 1   1 3   3  e
2
2
2
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せん断歪エネルギー基準（５）
４５°座標変換すると楕円となる。
ｙ
x2 3y2

 e 2
2
2
ｘ
図に示すように実験結果は最大せん断応力説より最大歪エネルギー説
に近い線が得られている。＝＞ミーゼス応力は降伏が始まるかどうかを
チェックしている。
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４）ミーゼス応力（剪断歪エネルギー基準を３次元で考察）
静水圧応力軸
3
P ( 1,  2 ,  3 )
Ｓ
応力は座標軸の取り方を工夫すると
各主応力を軸方向とする3次元空間
が考えられる。
Ｐ点は3軸の主応力で表した点であり、
Ｍ点は3軸の主応力が全て等しい、
静圧状態の点を結んだ点である。
静水圧軸方向から見
2
た半径　の円
e
3
M ( m ,  m ,  m )
O ( 0 ,0 ,0 )
1
2
Ｐ-Ｍの距離Ｌは
L  ( 1  m) 2  ( 2  m) 2  ( 3  m) 2
Ｐが決まっているときの最短のＬは
L
 0,  ( 1  m)  ( 2  m)  ( 3  m)  0
m
1
m  ( 1   2   3)
3
となり、３主応力の平均の静水圧点 σｍ のＭ点で与えられる。
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静水圧応力軸
3
P ( 1,  2 ,  3 )
Ｓ
静水圧軸方向から見
2
た半径　の円
e
3
さらに原点からＭに向かうベクト
ルとベクトルＳの内積をとると、
M ( m ,  m ,  m )
O ( 0 ,0 ,0 )
1
2
  1  m 


(m, m, m)  2  m   m( 1  m)  m( 2  m)  m( 3  m)
  3  m 


 m( 1   2   3)  3m 2
 3m 2  3m 2  0
よって、Ｓベクトルは静水圧応力軸に直行する。
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静水圧応力軸
3
P ( 1,  2 ,  3 )
Ｓ
次に、Ｓ の長さは
静水圧軸方向から見
2
た半径　の円
e
3
M ( m ,  m ,  m )
S  ST S  ( 1  m) 2  ( 2  m) 2  ( 3  m) 2
  12   2 2   3 2  3m 2  2m( 1   2   3)
O ( 0 ,0 ,0 )
2
1
2
  12   2 2   3 2  ( 1   2   3) 2  ( 1   2   3) 2
3
3
1
  12   2 2   3 2  ( 12   2 2   3 2  2 1 2  2 2 3  2 3 1)
3
1

2
1
( 12   2 2   3 2 )  (2 1 2  2 2 3  2 3 1)
3
3

1
( 1   2) 2  ( 2   3) 2  ( 3   1) 2
3


ここで、１軸引張りを仮定すると、
 1   1,  2  0,  3  0
S
2
1
3
今、σ１ が耐力 σｅ で在ったなら
S
なので
2
e
3
これ以上Ｓの長さが大きくなり円柱の外側になると材料は変形
するようになる。
水圧などは3主応力とも等しいので Ｓ の長さはゼロとなる。
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したがって ｓ の長さが体積変化せずに単なる剪断変形に
よる変形エネルギーの指標になっているのである。
前ページの補足：
ｙ
ｘ
既に示した円柱が σ１、σ３ 軸でできる
平面での断面が2軸の場合で交線は
したの式で与えられることを示した。
x2 3y2

 e 2
2
2
x2
y2


1
2
2
 2 
2e
 e 
 3 




この式より、円柱の半径が直接断面に現れる ｙ軸は楕円の短軸となっ
ていて
2
e
3
で与えられる。長軸は
2e
で、最大せん断応力説
の包絡面の角を通って居る。
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ミーゼス応力の工学的意味
延性材料の降伏現象(変形すること)を実験で確認するには1軸引張りで確
認するしかないが、現場で1軸の応力状態はまずない。そこで計算で求まっ
た結果を1軸と比較する方法が必要。
するとミーゼス応力が 1軸の引張りのときの降伏応力と同値になるので
この応力で降伏現象の始まりを評価しているのである。
実験的にも2次元で確認しても、正しそうである。
つまり、静圧では降伏しないが、せん断変形によるエネルギーに関係する、
ミーゼス応力が、1軸引張りの降伏応力と等しくなったら変形が始まるのであ
る。
ミーゼス応力の使いやすいポイントは、ある接点なり要素が決まるとその
場で量(スカラー)で与えられることである。これにより降伏応力と比較する等
の比較が感覚的に理解しやすい。
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