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長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース
’15.9
3D-CAD/CAEの基礎
概 要
材料に外から力が作用すると応力が発生し、それに見合った変形が生じる。
変形が発生すると、材料に内力が発生し、内力は外力と釣り合い変形が
止まる。
この応力と変形（歪）の関係を本講座では復習する。
学習の内容
１．応力と歪
２．真っ直ぐな軸に外力が軸方向に作用する場合
３．真っ直ぐな梁の曲げ
４．軸のねじり
５．有限要素法の中身
６．塑性変形の開始
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第１章
１：釣り合いの状態
力の釣り合いとモーメントの釣り合いを満たすことによる
１．力の分解と釣り合い
釣り合うとはその方向の力の合計がゼロ。
（力が働いていないのと同じ）
水平、垂直の両方とも釣り合う事により
水平にも、垂直にも動けない。
棒に方向が反対で、大きさが同じ力が作用してい
る。（偶力によるモーメント）
力は釣り合っている。→位置（重心）は動かない。
モーメントは釣り合っていない。→まわる。
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２．モーメントの釣り合い（Ｏ点回りに回転させようとする力の成分）
O点回りのモーメント
M  rF
大きさ：
（ベクトル）
 r ( F sin )  (r sin ) F
偶力モーメントが働く場合
O点回り
Mo   pf  ( p  c) f  cf
p
O
c=a+b
b
a
f
A
C
C点回り
B
f
Mc  af  bf  cf
A点、B点でも同一の値。つまり剛体全体に同
一のモーメントを発生させる。
どの点も ｃｆ のモーメントで自転しようとする。
釣り合うためにはこれと反対のモーメントが必要。
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３．外力と内力
棒を長手方向に左右に外力を作用させる。
すると左から作用させた力と右から作用させ
た力で釣り合う。
仮に材料の仮想面で考えると、力は棒の内
部では同じ面の右向きの面には右向きの、左
向きで考えれば左向きの力が作用している。
このように面と直角に作用する力を軸力。
材料をはさみで切る時のような、仮想面
に面と平行な力が作用する力のかけ方
がある。このような力を剪断力という。
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４．応力とひずみ
ここから、考え方だけでなく、数値が導入されます。
４－１．垂直応力 σ(N/m2)
垂直応力：応力とは   P / A 面積当たりの力を示す。
つまり、単位面積当たりどの程度の力が作用するかで考える。
面に直角に作用し、正（負）のほうを向いた面に正（負）の力が加わると、
正の応力、 あるいは引張力を正の応力とする。
正（負）のほうを向いた面に負（正）の力が加わると、
負の応力、あるいは圧縮力を負の応力とする。
演習１： 60Kg の人が 1cm2の鉄の棒にぶら下がった。応力は？ 1Kgｆ=9.8N.
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４－２． 垂直歪
軸力を作用させると内力が発生し材料は伸
びる。（圧縮なら縮む）
もとの長さが倍なら力が同一でも倍伸びる。
従って伸びの長さではなく、伸び量が元の長
さの何パーセントかで歪を表す。
垂直歪

x
x
歪は軸力を倍にするとバネと同じく、倍伸びる。外力が倍でも断面積が倍な
ら応力は同じ。
垂直応力を倍作用させると垂直歪も倍になる。つまり比例する。
その比例定数を Ｅ で示しヤング率（縦弾性係数）と言う。
これをフックの法則と言う。
F
x
   E  E
A
x
応力と歪で考えることにより、長さ（形
状）とか断面積（太さ）を考えることなく、
材料の種類だけ考慮すればよい。
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４－３． ポアソン比
軸方向に引張力を作用させる。
軸方向は伸び、それと直角方向は縮む。
両歪の比をポアソン比と呼び
軸方向の歪（数値は正）
l  l0
x 
l0
直径方向の歪（数値負）
y 
d  d0
d0
y
 
x
通常ポアソン比は、横歪の少ないガラスなどの０．２位から
体積変化しないゴムなどの０．５位であり、鉄などは約０．３程度である。
圧縮力の時も歪の符号が変わるだけで上の式は成立する。
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４－４． 剪断応力と剪断歪
l 離れた面積 A に剪断力 P が作用している。
すると単位面積当たりの剪断力（剪断応力）は


P
A

この力が働くことにより、四角であった
断面は λ だけ菱形に変形する。この
変形量 λ を l で割り単位長さ当たりの
変形量（剪断歪）を求める。
l
ここで、変形量は小さいので
と思って構わない。
tan

l

今、γ と τ は比例し、その比例定数を 横弾性係数 Ｇ とする。
  G
ＥとＧとνの間には以下の関係があることが後で分かる。
E
G
2(1   )
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４－５． 応力歪線図
軟鋼と硬鋼を軸方向に引っ張った時の
応力歪線図を示す。
σP : 比例限界、σS : 降伏応力（軟鋼特有）、
σB : 引っ張り強さ、 σY : 0.2%耐力（0.2％の永久
歪が残る応力）
Ｅ ： ヤング率
降伏応力：σS
または
引っ張り強さ:σB
0.2％耐力σY
(MPa)
(MPa)
ヤング率：Ｅ
(GPa)
ポアソン比：ν
(%)
軟鋼
２００～２１０
0.3
２００～２４０
３５０～４５０
硬鋼
２００～２１０
0.3
２６０～３８０
４５０～５５０
Al合金
７０～７５
0.3～0.33
１１０～１３０
１４０～１６０
耐力より大きい応力が作用する場合、材料に塑性変形発生。
それを通常“壊れた”と言う。
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４－６．許容応力と安全率
機械の設計を行うとき、変形や破壊は具材にどのような応力が働くかによる。
材料欠陥、応力集中、繰り返し荷重等により作用させうる荷重が決まる。
この荷重を許容応力と呼ぶ。これに対して設計基準強度（例えば引っ張り強度、
降伏応力、あるいは疲労限度など）が何倍になっているかを安全率Ｓで表す。
Ｓ＝（たとえば引っ張り強さ）／（設計上材料に作用する最大応力）
演習２．
E=210GPa, F=5000N, L=200mm, 直径10mm.
応力、歪、伸びλ を求めよ。
答え： σ=63.7MPa, ε=0.000303, λ=0.0606mm
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５．応力と変形の取り扱い
左の様な外形のものに外力が作用する。
材料はＡｌで E=70GPa。
長さ全体の伸びを求める。
A1  D12 / 4
添字１での断面積は
よって応力、歪、伸びは
P
4P

,
2
A1 D1
1 
P
4P

,
2
A2 D2
2 
1 
1
E

4P
ED12
4Pl1
,
1   1l1 
,
 2   2l 2 
ED12
同様、添字2の部分では
2 
2
E

4P
ED2 2
4Pl2
ED2 2
よって、全体の伸びは
4 P  l1
l 2  4  6 103
  1   2 


 
2
2
E  D1
D 2  70109  
 0.1
0.2 

  109106 (m)

 0.032 0.0152 
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サンブナンの原理
上記計算では、サンブナンの原理が成立すると仮定して計算されている。
サンブナンの原理とは円形の断面は円形のままで、かつワーピング（平らだった面
が平らでなくなること）しない事を言う。
これは、太い部分と細い部分の結合部の様な所では。太い部分の中央部のみ
が右に引っ張られ外周部より変位が大きく、厳密には平らではない。しかしこのよ
うな現象は、結合部から少し左の部分では、面全体に同一の応力が作用し面の平
らが保たれる。と考えるのである。
これを、角のような応力が集中する、細かい
部分まで計算しようとした場合
有限要素法のようなものが有効。
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積分を用い、慣れる。
長さ l 、断面 A の棒の下に質量 Mが吊るされている。
棒のヤング率 E, 密度 ρ, 重力加速度 ｇ, として、棒に生じる
最大応力、および棒全体の伸びを求めよ。自重は無視で
きない。
図のように座標 x をとる。ｘまでの棒の質量は ρAx.
xにおける荷重と応力は
P( x)  ( M  Ax) g ,
 ( x) 
P( x)  M


 x  g
A
 A

よって最大応力はｘが最大の l で生じ、
M

 l  g
 A

 max  
また、ｘにおいて、σ（ｘ）の応力が作用し、ｄｘの長さに対しｄλだけ伸びるとする
と、ｘでの歪は
 ( x) 
d
,
dx
d   ( x)dx 
 ( x)
E
dx 
g M

 x dx

E A

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積分実行
この伸びをｘ＝０からｘ＝l まで足し合わせる。（積分する）
g M
gl  M 1 

  d 
  x dx    l 
0
0E A
E A 2 


l

l
と全体の伸びが求められる。
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６．棒の伸びに関する不静定問題
既に示した左の問題を考える。
添字1，2両方の部分の応力と歪（ l をか
けると伸び）を求める。
A1  D12 / 4
添字１での断面積は
よって応力、歪、伸びは  1 
P
4P

,
A1 D12
P
4P
,
同様、添字2の部分では  2  A2 
2
D2
1 
1
E
2 
よって、全体の伸びは
  1   2 

4P
ED12
2
E

1   1l1 
,
4P
ED2 2
4 P  l1
l2


E  D12 D 2 2
,
4Pl1
ED12
 2   2l 2 
4Pl2
ED2 2



と各部の力の釣り合いから応力と歪が決まる。これを静定問題と言う。
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これに対し、以下に示すような問題を不静定問題と言う。
左のような3本の棒でできていて、一本がヤング率が
異なる。これをらをまとめて荷重 Ｐ で引っ張る。各棒の
応力と伸びを求めよ。
今、棒を上から１，２，３と呼ぶ。各棒に作用する力を
Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３．
P  P1  P2  P3
外力と内力の釣り合い
内力を応力で
応力と歪の関係、
フックの法則
1 
P1
 ( D 2) 2
 1  E1 ,

4 P1
D 2
2 
,
4P2
3 
4 P3
D 2
-（２）
 3  E1   1
-（３）
D 2
 2  E 2 ,
,
-（１）
ここで歪は3本の棒全てで同じという条件が適応されている。
このように力の釣り合いだけではその位置（この場合、棒）の力（応力）が決め
られず、歪（曲げなら傾き角）などの条件を必要とする問題＝不静定問題
歪が同じなら
P1 
D 2
4
E1 ,
P2 
D 2
4
E 2 ,
P3 
D 2
4
E1  P1 -（４）
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これなら（１）式に入れ歪が求められる。
P
D 2
4
(2 E1  E 2) ,
歪が分かれば（４）式より軸力が分かる。
E1
P1  P3 
P,
2E1  E 2
応力は
断面積で割り
全体の伸びは
歪より
1  3 
  l 
 
4P
D 2 (2 E1  E 2)
P2 
4 E1P
,
2
D (2 E1  E 2)
-（５）
E2
P
2E1  E 2
2
4E 2 P
D 2 (2 E1  E 2)
4 Pl
D 2 (2 E1  E 2)
と求められる。
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