Transcript презентацию
История тригонометрии Мы надеемся узнать об истории тригонометрии какие-то неизвестные нам факты. Мы думаем что проект поможет исследовать что-то новое и неизведанное нами. Тригонометрия (от греч. trigonon-треугольник и metrio-измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2a. Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт. sin 2 1 cos , sin 2 2 sin cos 2 sin sin cos sin cos Птолемей Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть Радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. В первом тысячелетии нашей эры происходит бурный расцвет культуры и науки в странах Арабского Халифата, и поэтому основные открытия тригонометрии принадлежат ученым этих стран. Туркменский ученый альМаразви первым ввел понятие tg и ctg как отношение сторон прямоугольного треугольника и составил таблицы sin, tg, и ctg. Основным достижением арабских ученых является то, что они отделили тригонометрию от астрономии. Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.) Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам. Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.) В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274). Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как: sin a + cos a = 1, sin a = cos (90 - a) sin (a + b) = sin a. cos B + cos a. sin b В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.. Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. В отличие от греков индийцы стали Наряду с синусом индийцы ввели тригонометриюв рассматривать и вупотреблять косинус, точнее говоря, стали в своих вычислениях ужеупотреблять не целую хорду ММ вычислениях соответствующего линию косинуса. Им были известны центрального угла, а 2 2=r2, также соотношения и sin толькоcos=sin(90-) ее половину МР, т. е.+cos синуса а также формулы для синуса суммы угла. и разности половины центрального двух углов. Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus. . Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль - Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках. Позже тригонометрия начала широко изучаться в Европе. Его обширные таблицы синусов Швейцарский математик через 10 с точностью до 7-ой цифры Иоганни Бернулли его изложенный (1642-1727) тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех уже применял символы Обратных тригонометрическихфункций видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII вв. Якоб Бернулли Якоб Бернулли, совместно с братом Иоганном, положил начало вариационному исчислению. Они доказал в 1713г. так называемую теорему Бернулли - важный частный случай закона больших чисел. Тригонометрия: 1) плоская - изучает только плоские треугольники 2) сферическая – изучает только сферические треугольники 3) прямолинейная – не входит в школьную программу. Плоская тригонометрия начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы ее встречались и раньше, так например 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (III в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина IX – начало Xв.), Абу-ль-Вефа, Бхскала и Насиреддина Туси, которым была уже известна теорема синусов. Тригонометрия, занимающаяся сферическими треугольниками, называется сферической, также она рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. В работах математика Франсуа Виета (15401603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным. Франсуа Виет Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) Исключил из косинус своих иформул трактует синус, т.д. не как тригонометрические линии, обязательно учение R –Разрабатывает целый синус, принимая связанные с окружностью, а как о тригонометрических функциях R = 1, и упростил таким тригонометрические функции, которые он любогокакаргумента. образом записи и сторон рассматривал отношения прямоугольного треугольника, как числовые вычисления. величины. Леонард Эйлер Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику. Он придал всей тригонометрии ее современный вид. В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций. « Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа». В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников рассматривается как глава геометрии. Редко используемые тригонометрические функции Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелкой дуги»): Косинус-верзус (другие написания: коверсинус, косинус версус): Гаверсинус (англ. haversinus, сокращение от half the versed sine): Эксеканс (англ. exsecant) или экссеканс: Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу: «Сближение теории и практики дает самые благотворные результаты, и не одна только практика выигрывает; сама наука развивается под влиянием ее». П.Л.Чебышев ? Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания Тригонометрия в артиллерии Координаты этого тела в момент времени t выражается так: x v0 t cos 2 gt (1) y v0 t sin 2 Определяем из первого уравнения системы t и подставляем полученное значение во второе уравнение: y=xtg- gx 2 2 v0 cos 2 2 Мы получили формулу, выражающую зависимость между высотой у, на которой находится брошенное тело над Землей, и горизонтальным расстоянием его х от начальной точки полета. Эта формула принадлежит к типу : у=bx-ax2. Следовательно, перед нами квадратичная функция и графиком ее будет парабола, ось которой параллельна оси ординат и ветви которой обращены вниз от ее вершины. Координаты вершины параболы мы найдем по b формулам: xA=2a и yA= 4ac b . 4a tg 2 v0 cos 2 2 xA= 2g 2 tg v0 cos 2 = 2 g v sin 2 2 = 0 2g Дальность полета артиллерийского снаряда, начальная скорость которого v0 будет: 2 v0 sin 2 Последняя формула показывает, что дальность полета зависит от угла . D=2xA= g Функция y=sin2 принимает наибольшее значение, равное1, если 2=90,т.е. =45.А это и значит, что наибольшая дальность поражения получится, если наклонить орудие под углом 45 к горизонту. Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. Кривошипно-шатунный механизм служит для преобразования равномерного вращательного движения конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение ползуна, и обратно. Аналогично работает двигатель автомобиля. В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА1, точка В шатуна находится в В1. Если в данный момент кривошип находится в положении ОА, образуя угол с линией мертвых точек, соответственно чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол , то, следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол переместился на величину х=В1В. Выразим перемещение х в зависимости от данных величин. Опустим перпендикуляр АК на ОВ1; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников АОК и АВК имеем: ОК=ОА cos=rcos и KB=ABcos=lcos;следовательно, ]. ОВ=rcos+lcos и x=r+l- rcos- lcos =r(1-cos)+l(1-cos). Выразим cos в зависимости от угла из треугольников АОК и АВК; найдем r sin l АК=rsin и AK=lsin. Отсюда: rsin= lsin и sin= 2 2 2 cos = 1 sin = r r х=r(1-cos)+l[1] 1 ( l sin ) 1 ( l sin ) Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Пусть расстояние между центрами шкивов равно d и радиусы их- R и r. Длину ременной передачи разобьем на части АВ, ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину каждой отдельной части. 2 2 Из треугольника О1КО имеем: О1К=АВ= d ( R r ) AOE=BO1G=KO1O; обозначим AOE через и найдем его величину. Rr Из треугольника О1КО sin= d Зная sin, мы сможем по таблицам определить и угол . AE=DF= 2R 360 = BG=CH= 2R = 360 R 180 R 180 R ; BC=r- R 90 2 2 +(R+r)+ R (R-r). 90 90 ; . Длина всего ремня =2 d 2 d ( R r) R AEFD=R+2 180 =R+ 2 ( R r) 2 +R+ R 90 +R- R 90 = Определение коэффициента трения. Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k. Решение. Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos. = Сила, которая тянет тело вниз равна F=PsinkPcos=P(sin-kcos).(1) Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= С другой стороны, . ускорение F а= = m 2S t 2 F P =gF ;следовательно, g . 2S Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin-kcos)= 2 t 2S 2S Отсюда: k==gtg- g sin =gtg2 2 cos g t cos g t cos gF 2 S 2 P t .(2) Зависимость между угловой и линейной скоростями Выразим зависимость между угловой ()и линейной (v) скорост равномерного движения по окружности .Пусть за время t секун материальная точка проходит по окружности радиуса R путь, равный l, и совершает при этом поворот вокруг центра окружн на угол . Тогда линейная скорость точки : lv= , а угловая ее скорость := t t l R . Из равенства = находим, что l=R.Подставим произведение R вместо l R l в формулу линейной скорости : v= t =R. t= По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость. Пример1.Маховое колесо диаметром в 320 см вращается с угловой скоростью 9 радианов в секунду. Определить линейную скорость в точке на внешней части обода колеса в м/мин. Решение.R=100cм; v=R;v=1609 cм/сек=160960 см/мин=864 м/мин. Пример2.Определить угловую скорость шлифовального камня диаметром 90 см, если его линейная скорость на окружности равна 225 м/сек. v; Решение.R=45 см; = = R 22500 45 =500 1/сек.(рад/сек) Соединение двух труб Практическая задача. Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа шириной D ( без учета швов), он должен разрезать его по синусоиде и согнуть в виде трубы. В зависимости от угла α, под которым должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует сделать равной D/2·tg(α/2).Аналогичным образом мастер поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по образовавшимся из синусоид эллипсам. Периодические процессы и колебания в окружающем мире Электромагнитные колебания доносят до нас вести о В течение процессах, месяца Луна меняет свойвнутри облик, сложнейших происходящих звезд, Механические колебания применяются для превращаясь из тонкого серпа сначала в о взрывах в отдаленных галактиках. С помощью скорейшей укладки бетона специальными полукруг, потом вколебаний полный диск, апротекающие затемучеными снова Многие процессы, в электромагнитных советскими виброукладчиками, для просеивания убывая до полного исчезновения. Ежедневно мы были получены снимки обратной стороны материалов на виброситах и даже для почти окружающем нас мире, поЛуны. истечении видим, как восходит Солнце, движется по Такие колебания сопровождают и биологические безболезненного высверливания отверстий некоторого промежутка более или небосводу заходит за горизонт, с времени тем, чтобы процессы, передачу возбуждения по в зубах.инапример Акустические колебания нужны дляна другое утро вновь на востоке. А их, менее точноизвука, повторяются. нервной работупоявиться сердца мозга. приематкани, и воспроизведения аЗаписывая ночью звездыэлектрокардиограммы вращаются вокруг Полярной врачи получают и электромагнитныедля радио, телевидения, звезды, по истечении энцефалограммы. связи с возвращаясь космическимиобратно ракетами. суток. Гармонические колебания Уравнение гармонического колебания имеет вид: y = A sin ( t+ α ) График гармонических колебаний называется синусоидой, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями. Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. x= R cos(t+). Груз на пружине Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине и толкнем ее вниз. Отклонение гири от положения равновесия v 0 выражается формулой s= sint. Здесь v0-скорость, с которой мы толкнули гирю,а =k m где m-масса гири,k- жесткость пружины( сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см). Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом толкнем ее со скоростью v0, то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin(t+) . Колебания маятника Колебания маятника тоже происходят по синусоидальному закону. Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается gформулой: l ), l-длина маятника, 0-начальный угол =0sin(t отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается Изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется. Разряд конденсатора И в электрических цепях также возникают синусоидальные колебания ,например, в цепи, изображенной в правом верхнем углу, где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, - угловая частота колебаний в цепи. L –индуктивность катушки, Полярные координаты При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом у = угол РОМ . Числа r (полярный радиус) и (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Рис. 16 Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью - ось абсцисс ; рисунок сам подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами точки: у=m·arcsin(sin k(x-)). k=2 =0 m=1; -2 ;0,5 в А с m Кривые r=sin n Первый лепесток будет заключен 180n ), т.к. в этом m в секторе ( 0; секторе 0≤ m n ≤180. 1 2 При mn 1 лепесток будет занимать сектор, больший 180, m 1 но меньший 360, а приn 2 для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360. На рис. показан вид m лепестков при n 2 = 3 Кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3 в полярных координатах I. r=sin3 ( трилистник ) (рис.1) II.r=1/2+sin3 (рис.2), III. r=1+ sin3 (рис.3), IV. r=3/2+ sin3 (рис.4) . У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид.(рис.IV в приложении). Таким образом при а 1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид. Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабених для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3) и r=4(1+cos3)+4sin23 r sin 4 r sin 3 r sin 2 Рассмотрим кривые 5 r a sin 3 при а=0; 1/2; 1;3/2 При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4). Кривые Лиссажу. Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями: x a sin mt y b sin n(t ) В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в. Кривые могут быть замкнутыми и незамкнуты Рассмотрим это на следующих примерах: Замкнутые кривые. Математические орнаменты (y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+ )))<0 6 Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую. Математические орнаменты Решение неравенств системы y sin x, y sin x Решение неравенства (y-sinx)(y+sinx)<0. Математические орнаменты (y2-sin2x)(y2-sin2(x+ ))(y2-sin2(x- 6 ))<0 6 Прикладная направленность тригонометрии Как глава математического анализа Как глава геометрии Учение о тригонометрических функциях Решение треугольников Периодические процессы. Гармонические колебания (механические колебания, колебания маятника, разряд конденсатора, исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. задача на соединение двух труб, ).Биения Зависимость между угловой и линейной скоростями. Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Определение коэффициента трения. Тригонометрия в артиллерии Задача на применение винтовой линии Построение интересных кривых в полярных координатах (розетки, геометрические формы, встречающиеся в мире растений ). Построение интересных кривых в декартовых координатах (кривых Лиссажу, у=m·arcsin(sin k(x-))). Математические орнаменты на основе решений тригонометрических уравнений, КРОССВОРД 1. Наука об измерении треугольников 3 2.Автор работы «Пять книг о треугольниках всех видов» в XVI-XVII в. 3.Греческий астроном, основоположник тригонометрии 5.Математик, придавший тригонометрии современный вид 1 2 7.Русский ученый математик, продолживший развитие тригонометрии в XIX веке 4 5 7 4.График гармонических колебаний 6. «синус дополнения» 6 8 8.Колебания , задаваемые уравнением y=Asin(wt+) Проверь! КРОССВОРД Г С И Э Й Л Л О Б А Ч Е В С К Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я П П А Р Е Г У С О И О М Р К О Н Т Й Г А Н Х Д А С И Н У С Р М О Н И Ч Е С К И Е ДАННАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ СОЗДАНА ШАЙХЛИСЛАМОВОЙ МАСТУРОЙ ГУЛЯМОВНОЙ- ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ УФИМСКОГО ТОПЛИВНОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОЛЛЕДЖА УЧИТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ