Transcript 10_trasnformasi linier II

TRANSFORMASI LINIER II
BUDI DARMA SETIAWAN
MATRIKS TRANSFORMASI
• Jika T: RnRm adalah transformasi linier, dan
jika e1, e2, …, en adalah basis baku untuk Rn,
maka T adalah perkilaan oleh A atau
T(x) = Ax
dimana A adalah matriks yang mempunyai
vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)
MATRIKS TRANSFORMASI
• Carilah matriks standar untuk transformasi T:R3R4
TRANSFORMASI LINIER BIDANG
• Transformasi dari R2 ke R2. Jika T:R2R2 adalah
sebuah trasnformasi seperti itu dan
• adalah matriks transformasi untuk T, maka
T MEMETAKAN VEKTOR KE VEKTOR
y
(ax+by, cx+dy)
(x,y)
x
T MEMETAKAN TITIK KE TITIK
y
(ax+by, cx+dy)
(x,y)
x
TRANSFORMASI TITIK DI R2
• Misalkan T:R2R2 adalah transformasi linier
yang memetakan setiap titik ke dalam
bayangan simetrisnya terhadap sumbu y.
carilah matriks standar dari T
(-x,y)
(x,y)
JAWAB
• Matriks A adalah matriks untuk refleksi
terhadap sumbu y
TRANSFORMASI GEOMETRI
•
•
•
•
•
Rotasi
Refleksi
Ekspansi
Kompresi
Geseran
ROTASI
• Jika T:R2R2 merotasikan setiap titik di dalam
bidang terhadap titik asal melaui sudut Ɵ,
maka didapatkan bahwa matriks standar
untuk T adalah
REFLEKSI
• Terhadap sumbu y
• Terhadap sumbu x
(-x,y)
(x,y)
(x,y)
(x, -y)
REFLEKSI
• Terhadap garis y = x
(x,y)
(y, x)
EKSPANSI DAN KOMPRESI
• Jika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang
dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka
efeknya adalah mengekspansi atau
mengkompresi setiap bidang dalam arah x
• Kapan ekspansi??
Jika k > 1
• Kapan kompresi??
Jika 0 < k < 1
EKSPANSI DAN KOMPRESI
(1/2x,y)
(x,y)
EKSPANSI
KOMPRESI
(2x,y)
EKSPANSI DAN KOMPRESI
• Jika T:R2R2 adalah sebuah ekspansi atau
kompresi di dalam arah x dengan faktor k, maka
• Sehingga matriks T adalah
• Hitung matriks standar untuk ekspansi dan
kompresi dalam arah sumbu y!!
GESERAN
• Geseran di dalam arah x dengan faktor k
adalah sebuah transformasi yang
menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar sumbu
x sebanyak ky ke kedudukan yang baru (x + ky,
y). Dengan transformasi seperti itu, maka
sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0
GESERAN
K>0
(x,y)
(x + ky, y)
K<0
(x + ky, y)
GESERAN
• Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k
adalah sebuah transformasi yang
menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar subu y
sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y+kx).
• Dengan transformasi tersebut, maka titik-titik
pada sumbu y tetap diam, dan titik-titik yang
lebih jauh dari sumbu y akan bergerak dengan
jarak yang lebih jauh dibandingkan dengan
titik-titik yang lebih dekat dengan sumbu y
GESERAN
• Jika T:R2R2 adalah sebuah geseran yang
faktornya k didalam arah x, maka:
• Sehingga matriks standar untuk T adalah
• Cari matriks untuk T yang merupakan geseran
dalam sumbu y!!
CONTOH SOAL
• Misalkan setiap titik (x,y) pada sebuah bidang
dirotasikan melalui sudut Ɵ dan kemudian
dipengaruhi oleh geseran dengan faktor k
dengan arah x. carilah sebuah matriks
transformasi tunggal yang menghasilkan efek
yang sama dengan kedua transformasi yang
berurutan tersbut!
SOAL
• Cari matriks standar dari operator linier
berikut: T(x1,x2) = (2x1 – x2, x1 + x2)
• Carilah matriks standar untuk transformasi
semua titik (x,y) ke dalam
– Refleksi terhadap garis y = -x
– Refleksi terhadap titik asal
– Proyeksi ortogonal pada sumbu y
TERIMA KASIH