Transcript 6장 (2636919)

6장
반도체 내에서의
비평형 과잉캐리어
6.1 캐리어 생성및 재결합
• 생성(generation) : 전자와 정공들이 만들어지는 과정
• 재결합(recombination) : 전자와 정공이 소멸되는 과정
• 온도 및 빛을 주입하면 전자와 정공은 열적 생성률이 증
가하여 비평형 조건을 만듦
6.1.1 평형상태의 반도체
• 열-생성률 : 𝐺𝑛0 = 𝐺𝑝0
• 재결합율 : 𝑅𝑛0 = 𝑅𝑝0
• 열평형상태에서는 전자와 정공의 농도는 시간에 의존하지 않음
• 𝐺𝑛0 = 𝐺𝑝0 = 𝑅𝑛0 = 𝑅𝑝0
6.1.2 과잉 캐리어 생성 및 재결합
• 전자가 전도대로 여기되면 전도대에는 전자가 생성, 가전자대는 정공
이 생성됨.
•
즉, 전자-정공은 쌍으로 생성됨
• 부가적으로 만들어진 전자와 정공은 과잉전자(excess electrons), 과잉
정공(excess holes)이라고 함
• 과잉전자 생성률 : 𝑔𝑛′
• 과잉정공 생성률 : 𝑔𝑝′
• 밴드와 밴드간의 직접 생성에서 과잉전자와 과잉정공은 쌍으로 생성됨
•
즉, 𝑔𝑛′ = 𝑔𝑝′
• 과잉전자와 과잉정공이 생성될 때 전도대의 전자농도와
가전자대의 전자농도는 열평형상태 보다 증가하게 됨
• 즉, 𝒏 = 𝒏𝟎 + 𝜹𝒏 , 𝒑 = 𝒑𝟎 + 𝜹𝒑
열평형을 이루기 위한
과잉 캐리어의 재결합
• 과잉전자와 정공의 정상상태(steady-state) 생성은 캐리어 농도를 지
속적으로 증대시키지 않음
• 전도대에 있는 전자가 가전자대로 떨어지면 과잉전자-정공 재결합
과정이 발생됨
• 과잉전자-정공은 쌍으로 재결합하므로 재결합율은 같다.
• 즉, 𝑅𝑛′ = 𝑅𝑝′
• 전자와 정공의 재결합율은 시간에 관계없이 일정함
• 전자 및 정공의 재결합은 전자농도 및 정공농도에 비례
• 전자농도의 순 변화율
𝑑𝑛(𝑡)
𝑑𝑡
= α𝑟 [𝑛𝑖2 − 𝑛 𝑡 𝑝 𝑡 ] ,
𝑛 𝑡 = 𝑛0 + δ𝑛(𝑡) , 𝑝 𝑡 = 𝑝0 + δ𝑝(𝑡)
• 과잉전자와 정공이 쌍으로 생성되고 재결합되므로,
δ𝑛(𝑡) = δ𝑝(𝑡) 가 됨
그러므로
𝑑(δ𝑛 𝑡 )
𝑑𝑡
= α𝑟 [𝑛𝑖2 − (𝑛0 + δ𝑛 𝑡 𝑝0 + δ𝑝 𝑡 ]
= α𝑟 [𝑛0 𝑝0 − (𝑛0 𝑝0 + 𝑛𝑜 δ𝑝 𝑡 + δ𝑛 𝑡 𝑝0 + δ𝑛 𝑡 δ𝑝 𝑡 )]
= -α𝑟 δ𝑛 𝑡 (𝑛0 +𝑝0 + δ𝑛(𝑡)]
• 저준위주입(low-level injection) : 과잉 캐리어의 농도가
열평형의 다수캐리어 농도보다 아주 작은 상태를 의미함
• 고준위주입(high-level injection) : 과잉캐리어 농도가
열평형 상태의 다수 캐리어 농도와 비슷하거나 더 클 때
를 의미함
• P형 물질(𝑝0 ≫ 𝑛0 )에서 저준위주입(δn(t)≫ 𝑝0 )상태라면
𝑑(δ𝑛 𝑡 )
= −α𝑟 𝑝0 δ𝑛(𝑡)
𝑑𝑡
• 위 식은 최초의 과잉 캐리어 농도 값으로부터 지수적으
로 감소함
𝛿𝑛 𝑡 = 𝛿𝑛 0 𝑒 −𝛼𝑟𝑝0 𝑡 = 𝛿𝑛(0)𝑒
−𝑡
𝜏𝑛0
•
과잉 소수캐리어인 전자의 감소를 나타냄
•
과잉 소수캐리어 수명 : 𝜏𝑛0 = (𝛼𝑟 𝑝0 )−1 임 저-준위 주입 일 때 일정함
+의 값으로 과잉 소수 캐리어 전자의 재결합률은
𝑅𝑛′ =
•
−𝑑(𝛿𝑛 𝑡 )
𝑑𝑡
= +𝛼𝑟 𝑝0 𝛿𝑛 𝑡 =
𝛿𝑛(𝑡)
𝜏𝑛0
직접 재결합에서 과잉 다수 캐리어 정공 재결합율은 (p형물질에서)
𝑅𝑛′ = 𝑅𝑝′ =
𝛿𝑛(𝑡)
𝜏𝑛0
 저-준위 주입상태에서 n형 물질인 경우
: 시정수 , 𝜏𝑝0 = (𝛼𝑟 𝑛0 )−1 임, 즉, 과잉 소수캐리어 수명
소수캐리어 정공이 감소함
: 다수 캐리어 전자의 재결합률 = 소수 캐리어 정공의 재결합률
𝑅𝑛′ = 𝑅𝑝′ =
𝛿𝑛(𝑡)
𝜏𝑝0
6.2 과잉 캐리어의 특성
• 과잉 전자와 과잉 정공은 서로 독립적으로 움직이지 않음
• 앰비폴러 전송(Ambipolar transport) : 동일 유효 확산
계수와 동일 유효 이동도를 지니고 확산과 드리프트 하는
현상.
• 저-준위 주입 상황에서 도핑 반도체에 있어서 유효확산계
수와 유효이동도 파라미터는 소수캐리어 임
6.2.1 연속방정식
•
+
𝐹𝑝𝑥
𝑥 + 𝑑𝑥 =
+
𝐹𝑝𝑥
𝑥 +
+
𝜕𝐹𝑝𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
+
• 𝐹𝑝𝑥
: 정공입자 흐름
• 미분 체적 성분 범위에서 단위시간당 정공숫자의 순증가는 정공 흐름의
x성분에 기인 함
•
𝜕𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑡
=
+
𝐹𝑝𝑥
𝑥 −
+
𝐹𝑝𝑥
𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
+
𝜕𝐹𝑝𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
+
+
• 만약, 𝐹𝑝𝑥
(𝑥) > 𝐹𝑝𝑥
(𝑥 + 𝑑𝑥)이면 시간에 따른 미분체적 성분 내의 정공의
숫자는 순증가를 보인다.
• 정공의 생성률과 재결합률은 미분 체적 내에서 정공의 농도에 영향
을 끼친다.
• 미분 체적 성분 내에서 단위시간당 정공의 순증가는
𝜕𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑡
•
=−
𝜕𝐹𝑝+
𝜕𝑥
𝑝
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑔𝑝 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑝𝑡
정공의 흐름에 기인한
단위시간당 정공의 증가
• 정공의 재결합률은
정공의 생성에 기인한
정공의 재결합에 의한
단위시간당 정공의 증가 단위시간당 정공의 감소
𝑝
로
𝜏𝑝𝑡
주어지고
• 𝜏𝑝𝑡 =열평형 캐리어 수명+ 과잉 캐리어수명
• dx dy dz로 나누면 단위시간당 전자농도의 순증가는
•
𝜕𝑝
𝜕𝑡
•
𝜕𝑛
𝜕𝑡
=−
=
𝜕𝐹𝑝+
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑛+
−
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑝 −
𝑝
𝜏𝑝𝑡
: 정공의 연속방정식
+ 𝑔𝑛 −
𝑛
𝜏𝑛𝑡
: 전자의 연속방정식
6.2.2 시간의존 확산 방정식
•
•
𝜕𝑝
𝐽𝑝
(+𝑒)
= 𝐹𝑝+ = 𝜇𝑝 𝑝𝐸 − 𝐷𝑝
•
•
𝜕(𝑝𝐸)
𝜕𝑝
𝜕𝐸
=
𝐸
+
𝑝
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑝
𝜕2 𝑝
𝜕𝑝
=
𝐷
−
𝜇
𝐸
𝑝 𝜕𝑥 2
𝑝
𝜕𝑡
𝜕𝑥
•
𝜕𝑛
𝜕𝑡
=
=
𝜕 𝑝𝐸
−𝜇𝑝 𝜕𝑥
𝜕2 𝑛
𝐷𝑛 𝜕𝑥 2
+
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕2 𝑝
𝐷𝑝 𝜕𝑥 2 +
𝜕𝑝
𝜕𝑡
•
𝜕𝑛
𝐽𝑝 = 𝑒𝜇𝑝 𝑝𝐸 − 𝑒𝐷𝑝 𝜕𝑥 , 𝐽𝑛 = 𝑒𝜇𝑛 𝑛𝐸 − 𝑒𝐷𝑛 𝜕𝑥
,
𝐽𝑝
(−𝑒)
𝑔𝑝 −
= 𝐹𝑝− = −𝜇𝑛 𝑛𝐸 − 𝐷𝑛
𝑝
𝜏𝑝𝑡
,
𝜕𝑛
𝜕𝑡
𝜕𝐸
=
+
𝜕2 𝑛
𝐷𝑛 𝜕𝑥 2
𝜕𝐸
𝑝𝑡
𝑛
+ 𝜇𝑛 𝐸 𝜕𝑥 + 𝑛 𝜕𝑥 + 𝑔𝑛 − 𝜏
𝑛𝑡
과잉캐리어의 공간과 시간에 대한 경향임(시간의존 확산방정식)
정공과 전자농도는 열평형값과 과잉값에 대한 함수임
• 𝑛0 , 𝑝0 ∶ 시간의 함수는 아님, 공간에 대한 독립적임
𝜕2 (δ𝑝)
𝐷𝑝 𝜕𝑥 2
− 𝜇𝑝 𝐸
𝜕(δ𝑝)
𝜕𝑥
+ 𝑝 𝜕𝑥 + 𝑔𝑝 − 𝜏
𝜕2 (δ𝑛)
𝜕𝑥 2
− 𝜇𝑛 𝐸
𝜕(δ𝑛)
𝜕𝑥
+ 𝑛 𝜕𝑥 + 𝑔𝑛 − 𝜏
•
𝜕(δ𝑝)
𝜕𝑡
=
•
𝜕(δ𝑛)
𝜕𝑡
= 𝐷𝑝
𝜕𝐸
𝜕𝐸
𝑝
𝑝𝑡
𝑛
𝑛𝑡
𝑛
+ 𝑔𝑛 − 𝜏
𝑝
+ 𝑝 𝜕𝑥 + 𝑔𝑝 − 𝜏
𝜕𝑛
𝜕 𝑛𝐸
−𝜇𝑛 𝜕𝑥
𝜕𝑛
𝜕𝑥
𝑛𝑡
6.3 Ambipolar transport
• 과잉전자의 펄스와 과잉정공의 펄스가 전계가 인가된 경우에 생성된다면
과잉전자와 과잉정공은 반대방향으로 움직인다.
• 전자와 정공들은 대전된 입자들이므로 이러한 입자의 분리는 두 입자들
간에 내부 전계를 유기시킴.
• 내부전계는 전자와 정공을 서로 반대방향으로 끌어당기는 힘을 만듦.
• 𝐸(𝐸 − 전계) = 𝐸𝑎𝑝𝑝 인가한 전계 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 (유기된 내부전계)
• Ambipolar diffusion, ambipolar transport : 내부전계가 전자와 정공을
끌어당기는 힘을 만들기 때문에 E-전계는 과잉전자와 정공의 펄스를 잡
고 있게 될 것임, 그때 음으로 대전된 전자들과 양으로 대전된 정공들은
단일 유효이동도나 확산계수를 갖고 drift, 혹은 diffusion하게 되는 현상
6.3.1 앰비폴러 전송 방정식의 유도
• 과잉전자와 과잉 정공의 농도를 내부전계와 연관시켜야 함
• Poisson 방정식
: 𝛻 ∙ 𝐸𝑖𝑛𝑡 =
•
𝑒 𝛿𝑝−𝛿𝑛
𝜀𝑠
=
𝜕𝐸𝑖𝑛𝑡
𝜕𝑥
, 𝜀𝑠 : 반도체 물질의 유전율
𝐸𝑖𝑛𝑡 ≪ 𝐸𝑎𝑝𝑝
• 𝑔𝑛 = 𝑔𝑝 = 𝑔
• 𝑅𝑛 =
•
𝜕(δ𝑛)
𝜕𝑡
•
𝜕(δ𝑛)
𝜕𝑡
𝑛
𝜏𝑛𝑡
= 𝑅𝑝 =
𝑝
𝜏𝑝𝑡
≡𝑅
=
𝜕2 (δ𝑛)
𝐷𝑝
−
𝜕𝑥 2
𝜇𝑝 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
+𝑝
𝜕𝐸
𝜕𝑥
+𝑔−𝑅
=
𝜕2 (δ𝑛)
𝐷𝑛
+
𝜕𝑥 2
𝜇𝑛 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
+𝑛
𝜕𝐸
𝜕𝑥
+𝑔−𝑅
•
𝜇𝑛 𝑛𝐷𝑝 + 𝜇𝑝 𝑝𝐷𝑛
𝜕2 𝛿𝑛
𝜕𝑥 2
+ 𝜇𝑛 𝜇𝑝 𝑝 − 𝑛 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
+ 𝜇𝑛 𝑛 + 𝜇𝑝 𝑝 𝑔 − 𝑅 = 𝜇𝑛 𝑛 + 𝜇𝑝 𝑝
(𝜇𝑛 𝑛 + 𝜇𝑝 𝑝) 로 나누면
•
2
′ 𝜕 𝛿𝑛
𝐷 𝜕𝑥 2
•
𝐷′ =
•
이동도와 확산계수에 관한 Einstein 관계 :
𝐷′ =
+ 𝜇′ 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
𝜇𝑛 𝑛𝐷𝑝 +𝜇𝑝 𝑝𝐷𝑛
𝜇𝑛 𝑛+𝜇𝑝 𝑝
𝐷𝑛 𝐷𝑝 (𝑛+𝑝)
𝐷𝑛 𝑛+𝐷𝑝 𝑝
+𝑔−𝑅 =
𝜕(𝛿𝑛)
𝜕𝑡
𝜇𝑛 𝜇𝑝 (𝑝−𝑛)
, 𝜇′ =
𝜇𝑛 𝑛+𝜇𝑝 𝑝
𝜇𝑛
𝐷𝑛
𝜇𝑝
𝑒
= 𝐷 = 𝑘𝑇
𝑝
𝜕(𝛿𝑛)
𝜕𝑡
6.3.2 외인성 도핑 및 저 주입에 의한 제한
𝐷𝑛 𝐷𝑝 [ 𝑛0 +𝛿𝑛 + 𝑝0 +𝛿𝑛 ]
𝐷𝑛 𝑛0 +𝛿𝑛 +𝐷𝑝 (𝑝0 +𝛿𝑛)
•
엠비폴러 확산 계수 , 𝐷′ =
•
p형 반도체 라고 가정
•
저주입을 적용하면 𝛿𝑛 ≪ 𝑝0 , 𝑛0 ≪ 𝑝0 , 𝐷𝑝 = 𝐷𝑛
 엠비폴러 확산계수 : 𝐷′ =
𝐷𝑛 𝐷𝑛 [ 𝑝0 +𝑝0 + 𝑝0 +𝑝0 ]
𝐷𝑛 𝑝0 +𝑝0 +𝐷𝑛 (𝑝0 +𝑝0 )
= 𝐷𝑛
 엠비폴러 이동도 : 𝜇 ′ = 𝜇𝑛
 즉, 엠비폴러 확산 계수와 엠비폴러 이동도 계수는 소수-캐리어(전자) 파라미터 값
들로 결정됨.
•
n형 반도체일 경우
 𝐷′ = 𝐷𝑝
 𝜇′ = −𝜇𝑝
•
엠비폴러 이동도는 캐리어 드리프트와 관련됨
•
1
𝜏𝑛𝑡
: 전자가 정공을 만나서 재결합하는 단위시간당 확률
•
1
𝜏𝑝𝑡
: 정공이 전자와 만나서 재결합하는 단위시간당 확률
• 저주입하의 외인성 p형 반도체를 고려한다면 과잉 캐리어가 존재한
다고 하더라도 다수 캐리어 정공의 농도는 결국 일정하게 될 것임
• 다수캐리어(정공)와 만나는 소수캐리어(전자)의 단위 시간당 확률은
결과적으로 일정함
• 𝜏𝑛𝑡 ≡ 𝜏𝑛 이므로, 소수캐리어 전자의 수명은 일정하게 유지됨
전자에 대한 생성 및 재결합
𝑔 − 𝑅 = 𝑔𝑛 − 𝑅𝑛
= 𝐺𝑛0 + 𝑔𝑛′ − (𝑅𝑛0 + 𝑅𝑛′ )
정공에 대한 생성 및 재결합
𝑔 − 𝑅 = 𝑔𝑛 − 𝑅𝑛
= 𝐺𝑝0 + 𝑔𝑝′ − (𝑅𝑝0 + 𝑅𝑝′ )
𝐺𝑝0 = 𝑅𝑝0
𝐺𝑛0 = 𝑅𝑛0
𝑔−𝑅 =
𝑔𝑛′
−
𝑅𝑛′
=
𝑔𝑛′
𝛿𝑛
−
𝜏𝑛
𝑔−𝑅 =
𝑔𝑝′
−
𝑅𝑝′
=
𝑔𝑝′
𝛿𝑝
−
𝜏𝑝
• 항상, 과잉전자의 생성률 = 과잉정공의 생성률
𝑔𝑛′ = 𝑔𝑝′ ≡ 𝑔′
• 저 주입조건하에서 소수캐리어의 수명은 상수값 임.
• 앰비폴러 전송방정식에서 g-R항은 소수캐리어 파라미터들의 항으로 쓸
수 있음
2 𝛿𝑛
𝜕
𝜕 𝛿𝑛
𝜕(𝛿𝑛)
′𝐸
𝐷′
+
𝜇
+
𝑔
−
𝑅
=
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥
𝜕𝑡
• 저주입, p형 반도체에 대한 앰비폴러 전송 방정식은
𝜕2 𝛿𝑛
𝐷𝑛
𝜕𝑥 2
+ 𝜇𝑛 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
+ 𝑔′ −
𝛿𝑛
𝜏𝑛0
=
𝜕(𝛿𝑛)
𝜕𝑡
(6.55)
• 저주입, n형 반도체에 대한 앰비폴러 전송 방정식은
𝜕2 𝛿𝑝
𝐷𝑝
𝜕𝑥 2
+ 𝜇𝑝 𝐸
𝜕 𝛿𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑔′ −
𝛿𝑝
𝜏𝑝0
=
𝜕(𝛿𝑝)
𝜕𝑡
(6.56)
• (6.55), (6.56)은 전송 및 재결합 파라미터는 소수캐리어에 대한 것임
• 즉, 공간좌표와 시간의 함수로서 과잉소수캐리어의 드리프트, 확산, 재
결합을 나타낸 것임.
6.3.3 앰비폴러 전송방정식의 적용
예제 6.2
• 전계=0, n형 반도체, t=0일 때, 결정내에서 과잉캐리어 농도는 일정, t>0
일 때에는 g’=0으로 가정, 저-주입 조건일 때, t≥0일 때의 과잉 캐리어 농
도를 시간의 함수로 표현하면
Sol.)
𝜕2 𝛿𝑝
𝐷𝑝
𝜕𝑥 2
− 𝜇𝑝 𝐸
𝜕 𝛿𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑔′ −
𝛿𝑝
𝜏𝑝0
=
𝜕(𝛿𝑝)
𝜕𝑡
𝜕2 (𝛿𝑝)
과잉캐리어(정공) 농도는 일정하므로
𝜕𝑥 2
𝛿𝑝
𝜕(𝛿𝑝)
t>0, g’=0 가정하였으므로, −
=
𝜏𝑝0
𝜕𝑡
로 수정
=
𝜕(𝛿𝑝)
𝜕𝑥
= 0,
공간적 변화가 없으므로 총 시간 도함수를 사용할 수 있음
저 주입때 소수캐리어 정공의 수명(𝜏𝑝0 )은 일정
𝛿𝑝 𝑡 = 𝛿𝑝(0)𝑒 −𝑡/𝜏𝑝0
과잉정공의 농도는 시간에 따라 지수적으로 감속,
시정수는 소수캐리어 정공의 수명과 같음
중성전하조건에서 𝛿𝑛 = 𝛿𝑝,
과잉전자농도는 𝛿𝑛 𝑡 = 𝛿𝑝 𝑡 = 𝛿𝑝(0)𝑒 −𝑡/𝜏𝑝0
예제 6.4
Sol.)
𝜕2 𝛿𝑛
𝐷𝑛 𝜕𝑥 2
+ 𝜇𝑛 𝐸
𝜕 𝛿𝑛
𝜕𝑥
𝛿𝑛
+ 𝑔′ − 𝜏
𝑛0
x≠0, E=0,g’=0, 정상상태에 있어서
𝜕2 𝛿𝑛
𝐷𝑛 𝜕𝑥 2
𝑑2 (𝛿𝑛)
𝑑𝑥 2
−
𝛿𝑛
−𝜏
𝑛0
𝛿𝑛
𝐷𝑛 𝜏𝑛0
=
𝜕(𝛿𝑛)
𝜕𝑡
𝜕(𝛿𝑛)
𝜕𝑡
=0
=0
=
𝑑2 𝛿𝑛
𝑑𝑥 2
𝛿𝑛
− 𝐿2 = 0 , 𝐿2𝑛 = 𝐷𝑛 𝜏𝑛0 ,
𝑛
𝐿𝑛 : 길이의 단위, 소수캐리어 전자의 확산길이
𝑥
𝐿𝑛
−
𝑥
𝐿𝑛
윗식의 일반해, 𝛿𝑛 𝑥 = 𝐴𝑒
+ B𝑒
소수캐리어 전자가 x=0로부터 확산함에 따라 소수캐리어 전자는 다수캐리어 정공
과 재결합하게 됨
소수캐리어 전자농도는 x=∞,x=-∞에서 0으로 감소함. 즉 x>0일때 B=0, x<0일 때,
A≡0
𝛿𝑛 𝑥 = 𝛿𝑛 0 𝑒 −𝑥/𝐿𝑛 , 𝑥 ≥ 0
𝛿𝑛 𝑥 = 𝛿𝑛 0 𝑒 +𝑥/𝐿𝑛 , 𝑥 ≤ 0
δn(0)는 x=0에서의 과잉전자의 농도값이다.
정상상태의 과잉전자농도는 x=0인 지점으로부터 거리에 따라 감소함
• p형 반도체, 𝛿𝑛(0) ≪ 𝑝0 , 저주입
• 총 다수캐리어 정공의 농도는 거의 변화 없음
• 𝛿𝑛(0) ≫ 𝑛0 임, 소수캐리어의 농도는 크게 변함
• 전계가 0이고, t>0일 때 과잉
소수캐리어 정공은 +x, -x의
양방향으로 확산함.
• 시간이 지남에 따라 과잉정
공과 과잉전자가 재결합하여
과잉정공의 농도는 0이 됨
• 시간변화에 대한 거리의 함
수임
• 과잉 소수캐리어 정공의 펄
스는 전계 방향인 +x 방향으
로 drift 됨.
• 어떤 순간의 시간과 공간에
서 𝛿𝑛 = 𝛿𝑝가 성립
• 과잉 전자농도는 과잉정공
농도와 같음
6.3.4 유전 완화 시정수
• 균일한 농도를 가지는 정공이 반도체 표면쪽으로 갑자기 주입되는
상황을 고려함
• 순간적으로 과잉전자농도를 띄게 되며 순 양전하 밀도는 과잉전자
의 농도와 균형을 을 이루지 않음
𝛻∙𝐸 =
𝜌
𝜖
• 전류방정식 : 𝐽 = 𝜎𝐸
• 생성과 재결합 효과를 무시한 연속방정식
𝛻∙𝐽 =−
𝜕𝜌
𝜕𝑡
, ρ : 순 전하밀도
𝛻 ∙ 𝐽 = 𝜎𝛻 ∙ 𝐸 =
𝜎𝜌
𝜖
• 해, 𝜌 𝑡 = 𝜌(0)𝑒
,
𝑡
𝜎𝜌
𝜖
−(𝑡 )
𝑑
=−
𝜕𝜌
𝜕𝑡
=−
𝑑𝜌
𝑑𝑡
,
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+
𝜎
𝜖
𝜌=0
, 유전 완화 시정수 : 𝜏𝑑 =
𝜖
𝜎
6.3.5 Haynes-Shockley 실험
• Hynes-shckley 실험은 과잉캐리어의 특성을 실제로 측정한 최초의
실험임
• V1은 n형 반도체 샘플에 +x 방향으로 전계 E0를 인가시키기 위함
• 과잉 캐리어들은 접촉점 A에서 반도체로 효과적으로 주입
• 접촉점 B는 전압원 V2에 의해 역방향 바이어스된 정류 접촉임
• 접촉점 B에는 반도체를 통해 과잉캐리어들이 drift됨에 따라 그 캐리
어들이 모이게 됨
• 캐리어들이 모이면 출력전압 Vo이 발생됨
(a)는 t=0 일때 접촉점 A에서의 이상적 과잉
캐리어 펄스를 보인것
전계가 E01로 주어졌을 때 과잉캐리어는 (b)에
서 보인 시간함수인 출력전압이 생성되어 반도
체를 따라 drift 될 것임
펄스의 최대치는 시간 t0일 때, 접촉점 B에 도
달하게 됨
인가한 전계가 𝐸02 < 𝐸01 인 𝐸02 값으로 감
소함
접촉점 B에서의 출력전압 응답은 그림(c)임
−(𝑥 − 𝜇𝑝 𝐸0 𝑡)2
𝑒 −𝑡/𝜏𝑝𝑜
𝛿𝑝 𝑥, 𝑡 =
𝑒𝑥𝑝
1/2
4𝐷𝑝 𝑡
(4𝜋𝐷𝑝 𝑡)
위식에서 거리와 시간 항이 있는 지수 항이 0일 때, 접촉접 B에 도달하면
𝑥 − 𝜇𝑝 𝐸0 𝑡 = 0
x=d이며 d는 접촉점 A와 B사이의 거리
𝑡 = 𝑡0 이며, t0: 펄스의 최대치가 접촉점 B에 도달하는 시간임
이동도 : 𝜇𝑝 =
𝑑
𝐸0 𝑡0
• 𝑡1 과 𝑡2 에 있어서 과잉농도의 크기는 최대값의 𝑒 −1 임
• 𝑡1 과 𝑡2 사이의 시간차이가 크지 않다면 𝑒 −𝑡/𝜏𝑝𝑜 와 (4𝜋𝐷𝑝 𝑡)1/2 는 그
다지 크게 변화하지 않음
• 𝑡 = 𝑡1 과 𝑡1 = 𝑡2 에서 (𝑑 − 𝜇𝑝 𝐸0 𝑡)2 = 4𝐷𝑝 𝑡
• 확산계수 : 𝐷𝑝 =
(𝜇𝑝 𝐸0 )2 (∆𝑡)2
16𝑡0
, ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
• 곡선 아랫부분의 면적 S는 다수캐리어 전자와 재결합하지 않는 과
잉 정공의 수에 비례함
• 𝑆 = 𝐾𝑒𝑥𝑝
−𝑡0
𝜏𝑝0
면적은 변함
−𝑑
)
𝜇𝑝 𝐸0 𝜏𝑝0
= 𝐾𝑒𝑥𝑝(
: 전계를 변화시킴에 따라 곡선 밑의
6.4 유사-페르미(Quasi-Fermi) 에너지 준위
𝐸𝐹 −𝐸𝐹𝑖
)
𝑘𝑇
𝐸 −𝐸
𝑛𝑖 exp( 𝐹𝑖 𝐹 )
𝑘𝑇
•
열평형 전자농도 : 𝑛0 = 𝑛𝑖 exp(
•
•
열평형 정공농도 : 𝑝0 =
비평형상태에서 전자농도 및 정공농도
𝑛0 + δ𝑛 = 𝑛𝑖 exp(
𝐸𝐹𝑛 −𝐸𝐹𝑖
),
𝑘𝑇
𝑝0 + δ𝑝 = 𝑛𝑖 exp(
𝐸𝐹𝑖 −𝐸𝐹𝑝
𝑘𝑇
)
•
EFn 과 EFp는 유사-페르미 에너지 준위임.
•
즉, 전체 전자농도와 전체 정공농도는 유사-페르미 준위의 함수임.
•
다수캐리어 전자농도는 열평형 페르미 준위와 큰 차이가 없음
•
소수캐리어 정공에 대한 유사-페르미 준위는 페르미 준위로부터 아주 많
이 다르다.
•
전자농도가 증가하므로 전자에 대한 유사-페르미 준위는 전도대쪽으로 약
간 접근
•
정공농도는 크게 증가하므로 유사-페르미 준위는 가전자대쪽으로 더 많이
접근함
6.5 과잉 캐리어 수명
6.5.1 Shockley-Read-Hall 재결합 이론
• Trap : 허용에너지 준위는 전자와 정공 들을 거의 같은 확률로 포획
한 재결합 중심으로 작용
• 재결합에 관한 Shockley-Read-Hall 이론은 단일 재결합 중심, 혹은
트랩이 밴드갭 내의 어떤 에너지 Et에 존재한다고 가정한 것
과정 1. 트랩에 의해 전도대에 있는 전자를 포획
과정 2. 포획된 전자를 전도대로 다시 방출
과정 3. 가전자대의 정공을 포획
과정 4. 포획된 정공을 다시 가전자대로 방출
• 과정 1에서 전자포획율
𝑅𝑐𝑛 = 𝐶𝑛 𝑁𝑡 1 − 𝑓𝐹 𝐸𝑡 𝑛
𝐶𝑛 = 전자포획 단면적 비례상수 , 𝑁𝑡 = 트랩 중심의 총 농도
n = 전도대의 전자농도, 𝑓𝐹 (𝐸𝑡 )= 트랩 에너지의 페르미 함수
• 트랩 에너지의 페르미 함수, 즉 트랩에 전자가 들어갈 확률
𝑓𝐹 𝐸𝑡 =
1
𝐸 −𝐸
1+exp( 𝑡𝑘𝑇 𝐹 )
• 과정 2에서 포획된 전자가 전도대로 되돌아갈 비율
𝑅𝑒𝑛 = 𝐸𝑛 𝑁𝑡 𝑓𝐹 𝐸𝑡
𝐸𝑛 =상수
• 열평형상태에서 전자가 전도대로부터 포획될 비율과 전자가 전도대
로 방출될 확률은 같음
즉, 𝑅𝑐𝑛 = 𝑅𝑒𝑛 , 𝐶𝑛 𝑁𝑡 1 − 𝑓𝐹0 𝐸𝑡 𝑛0 = 𝐸𝑛 𝑁𝑡 𝑓𝐹0 𝐸𝑡
𝐸𝑛 = 𝑛 𝐶𝑛 , 𝑛 = 𝑁𝑐 𝑒𝑥𝑝
′
′
−(𝐸𝑐 −𝐸𝑡 )
𝑘𝑇
• 𝐸𝑡 =𝐸𝐹 이면 𝑛′ 은 전도대에 존재하는 전자농도와 같은 값임
• 비평형상태에서 과잉전자가 존재하므로 전자들이 전도대로부터
포획되는 순 비율은 , 𝑅𝑛 = 𝑅𝑐𝑛 − 𝑅𝑒𝑛
• 𝑅𝑛 = 𝐶𝑛 𝑁𝑡 (1 − 𝑓𝐹 𝐸𝑡 𝑛 − 𝐸𝑛 𝑁𝑡 𝑓𝐹 (𝐸𝑡 ) , 𝑛은 과잉전자농도를 포
함하는 전체농도임
• 𝑅𝑛 = 𝐶𝑛 𝑁𝑡 𝑛(1 − 𝑓𝐹 𝐸𝑡 ) − 𝑛′ 𝑓𝐹 (𝐸𝑡 )
• 과정3, 4를 고려하면
𝑅𝑝 = 𝐶𝑝 𝑁𝑡 𝑝𝑓𝐹 𝐸𝑡 − 𝑝′ (1 − 𝑓𝐹 𝐸𝑡 )
• 반도체 내에 트랩밀도가 너무 많지 않으면 과잉전자와
과잉정공농도는 같고 전자와 정공의 재결합율은 같음
• 𝑓𝐹 𝐸𝑡 =
𝐶𝑛 𝑛+𝐶𝑝 𝑝′
𝐶𝑛 𝑛+𝑛′ +𝐶𝑝 (𝑝+𝑝′ )
• 𝑛′ 𝑝′ = 𝑛𝑖2 이므로
• 𝑅𝑛 = 𝑅𝑝 =
𝐶𝑛 𝐶𝑝 𝑁𝑡 (𝑛𝑝−𝑛𝑖2 )
𝐶𝑛 𝑛+𝑛′ +𝐶𝑝 (𝑝+𝑝′ )
• 과잉캐리어 재결합율 , 𝑅 =
≡𝑅
𝛿𝑛
𝜏
6.5.2 외인성 도핑 및 저주입에 의한 제한
•
•
•
•
•
저주입의 n형 반도체 조건
𝑛0 ≫ 𝑝0 , 𝑛0 ≫ 𝛿𝑝 , 𝑛0 ≫ 𝑛′ , 𝑛0 ≫ 𝑝′
𝑛0 ≫ 𝑛′ , 𝑛0 ≫ 𝑝′ : 트랩 에너지 준위가 에너지대 중간갭 근처에 있다는 의미
𝑛′ , 𝑝′ : 진성캐리어농도와 별차이가 없음
𝑅 = 𝐶𝑝 𝑁𝑡 𝛿𝑝
• 재결합율은 소수캐리어의 평균수명과 연관됨
• 𝑅=
•
𝛿𝑛
𝜏
= 𝐶𝑝 𝑁𝑡 𝛿𝑝 ≡
𝛿𝑝
𝜏𝑝0
, 𝜏𝑝0 =
1
𝐶𝑝 𝑁𝑡
트랩농도가 증가하면 과잉캐리어의 재결합율은 증가하며 과잉소수캐리어수명
은 감소함
• 저주입의 n형 반도체 조건
• 𝑝0 ≫ 𝑛0 , 𝑝0 ≫ 𝛿𝑛 , 𝑝0 ≫ 𝑛′ , 𝑝0 ≫ 𝑝′ , 𝜏𝑛0 =
1
𝐶𝑛 𝑁𝑡
• 저주입하의 외인성 물질에서 다수캐리어의 수명은 소수캐리어의 수명
과같음
6.6 표면효과
6.6.1 표면준위
• 소수캐리어 수명이 트랩준위밀도에 반비례함
• 표면에서 트랩의밀도는 벌크에서 보다 많음
• 표면에서의 과잉소수캐리어의 수명은 벌크물질에서의 수명보다 작
게됨
• 벌크에서의 과잉캐리어 재결합율
𝑅=
𝛿𝑝
𝜏𝑝0
≡
𝛿𝑝𝐵
𝜏𝑝0
,
𝛿𝑝𝐵 : 벌크 물질내에서 과잉소수캐리어 정공의 농도
• 표면에서 과잉캐리어 재결합율 : 𝑅𝑠 =
𝛿𝑝𝑠
𝜏𝑝0𝑠
6.6.2 표면 재결합속도
•
벌크영역에 있는 과잉캐리어들은 표면쪽으로 확산
•
벌크영역에 있는 과잉 캐리어들은 표면쪽으로 확산하여 표면에서 재결
합하게 됨
−𝐷𝑝 𝑛
𝑑 𝛿𝑝
𝑑𝑥
𝑠𝑢𝑟𝑓
= 𝑠𝛿𝑝 𝑠𝑢𝑟𝑓
s : 표면재결합속도.
•
표면과 벌크 내에서 과잉농도가 같다면 기울기 항은 영으로 되며 표면
재결합
•
속도도 0이 됨
표면에서 과잉농도가 더 작아짐에 따라 기울기 항은 더 커지게 되고 표
면 재결합속도는 증가함
•
과잉 소수캐리어 정공의 농도
′
𝛿𝑝 𝑥 = 𝑔 𝜏𝑝0 1 −
𝑠𝐿𝑝 𝑒 −𝑥/𝐿𝑝
𝐷𝑝 +𝑠𝐿𝑝