Transcript 강의록_10.

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제10장: 다전자 원자들과 현대 원자모형
10.1. 전자는 파동의 성질을 소유한다.
10.2. 원자 차원의 세계를 보는 새로운 관점: 불확정성 원리
10.3. 양자역학으로의 발전: Schrödinger의 파동방정식
10.4 오비탈에 전자 채우기: 전자 배치
10.5 원자의 전자 배치와 주기성
2
10.1 전자는 파동의 성질을 소유한다.
10.1.1 de Broglie의 물질파
Electron diffraction
Bragg’s law:
보강간섭
2d sin   n
전자의 회절을 설명하기 위해 전자를 파
동으로 간주.
파동-입자의 이중성duality
빛: 전자파(파동)→광량자(입자)
전자: 입자→물질파(파동)
de Broglie relation:  
h
mv
h = 6.526×10-34 J·s
3
 질량 1.0 kg인 물체가 1.0x105 m/s로 운동할 때 파장은?
 질량 9.1x10-31 kg인 물체가 1.0x105 m/s로 운동할 때 파장은?
질량이 큰 거시세계에서는 파장이 너무 짧아 회절이나 간섭과
같은 파동의 성질이 관찰되지 않는다.
4
10.1.2 정류파로 기술되는 전자
▪ 정류파standing wave: 마디node의 위치가 시간에 따라 변하지 않는 파동.
단지 위 아래로만 진동. 파의 에너지가 안에 갇혀 있다.
L
마디
정류파의 생성 조건: 2L  n
정류파의 생성 조건: 2r  n
5
▪ Bohr의 원자 모형
원자 내에서 전자는 원운동을 하지만 전자의 에너지가 불변하려면
정류파여야 한다. 즉,
2πr  n (1)
mv2
e2
k 2
원심력=쿨롱힘 →
r
r

1 
 k 

40 

1 2 ke2
ke2

에너지: E  mv 
2
r
2r
KE
(1)과 (2):
ke2
v
mr
(2)
PE
2πr  n  n
h
h 

 mvr  n   

mv
2



de Broglie
n 2  2 ke2
1 ke2 m
m v r n  v  2 2 
  2 2
m r
mr
r n 
2 2 2
따라서,
2
2
ke2
mk 2e 4 1
1
E



R
H
2r
2 2 n 2
n2
2
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Bohr의 수소원자이론
0
여기상태(활성상태, 들
뜬상태)excited state
R
 H
9
R
 H
4
E  hv 흡광absorption
발광(방출)emission
바닥상태ground state
-2.1799x10-18 J
(Rydberg상수)
 RH
수소원자에게 허
용된 에너지
1
En   RH 2
n
7
8
10.2 원자 차원의 세계를 보는 새로운 관점: 불확정성 원리
• 전자(미시세계의 입자)의 위치를 정확하게 측정하려면 그 전자의
크기보다 더 짧은 파장을 가진 전자파를 사용해야한다. 짧은 파장
의 전자기 복사는 아주 큰 운동량을 가지므로 그 전자기 복사가 전
자에 도달하는 순간 전자의 운동량이 변하게 된다.
9
• 입자(wave packet)의 위치가 정확할수록(즉, x가 작을수록) 여러
가지 파장( = h/mv)의 파를 중첩해야 한다(즉, v가 커진다).
Heisenberg에 따르면,

 x p 
2
10
10.3 양자역학으로의 발전: Schrödinger의 파동방정식
10.3.1 Schrödinger의 파동방정식

F

r
m

r : 입자의 위치

F : 입자에 작용하는 힘

V (r ) : 위치 r 에서의 위치에너지
▪ 거시세계: Newton의 운동방정식으로 기술. 방정식을 풀면 위치와
속도가 동시에 결정된다.
[보기] 중력장 하에서의 입자의 운동(1차원).
중력: F  mg
2
d
운동방정식: F  ma  m z
dt 2
z (t )  z (0)  v(0)t 
1 2
gt
2
처음의 위치 z(0)와 속도 v(0)를 알면 임의의 시간에서의 위치와 속도
를 알 수 있다.
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▪ 미시세계: Newton의 운동방정식이 적용되지 않고 Schrödinger의 파동
방정식으로 기술. 입자(질량 m)의 운동이지만 파동(파동함수 y)으로
취급(파동-입자의 이중성).
거시세계
미시세계
입자
Newton: F=ma
파동
파동방정식(y)
Schrödinger의 방정식(m과
y)
특징
현재 입자의 위치와 속도를
알면 과거나 미래의 임의의
시간에서 속도와 위치가 결정
입자의 위치와 속도를 동시
에 정확히 측정하지 못한다.
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▪ Schrödinger의 파동방정식의 풀이: 1차원 상자에 갇힌 입자
V=∞
V=∞
V=0
m
x
L
0
Schrödinger 방정식:
d 2y ( x)
 2
 Ey ( x)
2
8 m dx
h2
d 2y ( x)
8 2 mE

Ey ( x)  k 2y ( x)
2
2
dx
h
해: y ( x)  A sin kx
Boundary conditions:
y ( 0)  y ( L )  0
A sin kL  0
kL  n (n = 1,2,3,…) 양자수quantum number
8 2 mE n 2 2
k 
 2
h2
L
 2h2 2
En  2 2 n
8 mL
n
y ( x)  A sin
x 파동함수wavefunction
L
2
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E
 2h2 2
En  2 2 n
8 mL
n
y ( x)  A sin
x
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L
입자에게 허용된 에너지가 불연속적
→ 에너지의 양자화quantization
9
y (x) 의 해석:
y ( x ) dx
2
4
입자가 x와 x + dx 사이에
서 발견될 확률
거시세계와의 관계?
1
0
x
L
→ 60 kg인 사람이 10 m 선상
에서 1 m/s로 운동할 경우의 n
은? 그리고 그 때 파동함수 모
양은?
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▪ Schrödinger의 파동방정식의 풀이: 2차원 상자에 갇힌 입자
2차원 상자
1차원 상자
V=∞
V=∞
V=∞
V=0
V=0
m
m
0

d y ( x)
 Ey ( x)
2
2
8 m dx
h
2
0
L
2
 2h2 2
En  2 2 n
8 mL
n
y ( x)  A sin
x
L
양자수 1개
L
h 2   2y ( x, y )  2y ( x, y ) 
 2 

  Ey ( x, y )
2
2
8 m  x
y

En x , n y
 2h2
 2 2 nx2  n y2 
8 mL
n y
n x
y ( x, y )  A sin
L
x sin
양자수 2개
L
y
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En x , n y
 2h2
 2 2 nx2  n y2 
8 mL
n y
n x
y ( x, y )  A sin
L
x sin
L
y
E = (12 + 22) = 5
nx = 2, ny = 1
n x = ny = 1
nx = ny = 2
E=2
E = (22 + 22) = 8
nx = 1, ny = 2
E = (22 + 12) = 5
같은 에너지를 가진 상태(파동함수)가 두 개
→ 축퇴degeneracy
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10.3.2 양자수
▪ 수소원자의 Schrödinger의 파동방정식
h 2   2y ( x, y, z )  2y ( x, y, z )  2y ( x, y, z ) 
 2 


  V ( x, y, z )y ( x, y, z )  Ey ( x, y, z )
8 m 
x 2
y 2
z 2

운동E
위치E
z
전자
(x, y, z)
핵
y
V ( x, y , z ) 
 Ze
40
전체E
1
x2  y2  z 2
‘원자오비탈atomic orbital’
+Ze
이 Schrödinger방정식의 해(파동함수)는 3차원 문
x
제이므로 3개의 양자수에 의해 결정된다.
주양자수(n), 각운동량 양자수(l), 자기 양자수(ml)
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▪ 양자수
주양자수 : n  1, 2, 3, 
각운동량 양자수 : l  0, 1, 2,  , (n  1) 이름을 s, p, d, f, …라 부른다.
자기 양자수 : ml  0,  1,  2,  ,  l
▪ 원자궤도함수의 명명법:
n에 따라 K, L, M, N, ··· (보통 번호를 그냥 사용한다. 1s 2p) → 껍질shell
l에 따라 s, p, d, f, ··· 1s, 2p, 3d → 부껍질subshell
n
l
orbital name
degeneracy
1
0
1s
1
2
0
2s
1
1
2p
3
0
3s
1
1
3p
1
2
3d
5
3
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▪ 거리에 따른 전자 분포(radial distribution)
y 1s 
1
4
1/ 2
 4   r / a0
40  2
 3  e
, a0 
 52.92 pm
2
me e
 a0 
1s orbital
|y|2dV
4r2|y|2dr
―y
― |y|2
― 4r2|y|2
r (Å)
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10.3.3 양자수와 오비탈
 주양자수(n)는 오비탈의 크기와 에너지를 결정한다.
2.17983×10-18 J : Rydberg 상수
▪ 수소원자 내 전자의 에너지를 결정: En  
RH
n2
▪ n이 클수록 파동함수가 핵으로부터 먼 곳까지 확장
―y
― 4r2 |y|2
3s
2s
1s
r (Å)
r (Å)
r (Å)
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 각운동량 양자수(l)는 원자 오비탈의 모양을 결정한다.
▪ 수소원자 내 전자의 각운동량을 결정: J  l (l  1)

B
회전력torque:


N
S
J 각운동량
r

me
e

  B


자기모멘트magnetic moment
  (Area)  (Current)
 (r 2 )(q )  (r 2 )(e

)
2
 er 2  e
me r 2 


2
2me
e

J : 자기모멘트가 각운동량에 비례
2me
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▪ l 에 따라 궤도함수의 모양이 달라진다.
1s (n = 1, l = 0)
2p (n = 2, l = 1)
2s (n = 2, l = 0)
3p (n = 3, l = 1)
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 자기 양자수(ml)는 공간상에서 오비탈들의 방향을 결정한다.
▪ 각운동량을 특정 방향(외부자기장의 방향; 보통 z-축)에 투영한
값을 결정: J z  ml 
- 외부에 자기장이 걸려 있으면 자기모멘트가 세차운동precession
z

  B


자기장 B

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▪ 자기장을 걸었을 때 자기장 방향의 자기모멘트의 크기를 결정
S
z
양자론적으로 허용
세차운동
•
자기장
고전역학적으로만 허용
N
[l = 1인 경우의 각운동량]
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▪ 공간상에서 궤도함수들의 방향을 결정
2px
2py
2px = 2p+1 + 2p-1
2pz
2py = 2p+1 - 2p-1
2pz = 2p0
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 스핀 양자수(ms)는 각 오비탈에 있는 전자의 스핀 각운동량을 결정한다.
▪ Stern-Gerlach의 실험
N
강한 자기장
위로 끌린다
S
N
S
약한 자기장
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- 자기장이 불균일하므로 orientation에 따라
magnetic dipole이 받는 힘이 다르다.
고전역학적
으로 예측
실험에서
관측
- (Ag = 4d10 5s1이어서) 궤도각운동량은 없다.
→ 궤도운동에 의한 자기모멘트는 없다.
- 그런데도 둘로 나누어진다. → 궤도각운동
량이 아닌 또 다른 각운동량이 존재 →
스핀 각운동량spin angular momentum
- 둘로 나누어지므로
S z  ms  S  s( s  1) ( s  12 , ms   12 )
표시법:
27
10.4 오비탈에 전자 채우기: 전자 배치
10.4.1 Pauli의 배타 원리와 스핀 양자수
▪ Pauli의 배타 원리exclusion principle: 원자 내에 4개의 양자수(n, l, ml, ms)가
모두 같은 전자들은 2개 이상 존재하지 않는다.
[보기]
2He
O
X
X
10.4.2 Hund의 규칙
▪ 같은 에너지를 가진 궤도함수가 여럿일(degenerate) 경우
가장 큰 수의 평행스핀을 가지는 것이 가장 안정한 배치이다.
2p
자기적으로 더 안정
전기적으로 더 안정 (더 중요)
(공간 상의 다른 곳에 존재)
28
▪ 주양자수 n인 껍질에 들어갈 수 있는 전자수는 2n2이다.
29
10.4.3 전자 배치에서는 쌓음 원리를 지켜야 한다.
▪ 1전자원자의 궤도함수 에너지는 n에 의해 결정되지만 다전자원자인
경우 n과 l에 따라 달라진다.
30
▪ 쌓음 원리aufbau principle : 다전자원자의 경우 Pauli의 배타 원리와
Hund의 규칙을 지키면서 에너지가 낮은 궤도함수부터 채운다.
[전자의 배치 순서]
[보기]
8O
= 1s2 2s22p4
1s
1s
2p
31
▪ 예외적인 전자 배치
• 4s와 3d가 모두 반만 채워질 경우
32
• 3d를 다 채우기 위해 4s로부터 전자를 가져오는 경우
33
10.5 원자의 전자 배치와 주기성
10.4.1 전자 배치와 주기율표에서의 주기성
 원자 반지름
(i) 같은 주기: 원자 번호↑이면 반지름↓
(이유: 최외곽의 궤도는 같으나 핵의 전하가 증가하므로)
(ii) 같은 족: 원자 번호↑이면 반지름↑
(이유: 핵의 알짜 전하는 비슷하지만 최외곽의 궤도가 커지므로)
감소
증가
주기율표
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▪ 이온화 에너지ionization energy
정의: M(g) → M+(g) + e-
IE = DH ( > 0 )
(i) 같은 주기: 원자 번호↑이면 이온화에너지↑
(이유: 최외곽의 궤도는 같으나 핵의 전하가 증가하므로)
(ii) 같은 족: 원자 번호↑이면 이온화에너지↓
(이유: 핵의 알짜 전하는 비슷하지만 최외곽의 궤도가 커지므로)
증가
감소
주기율표
35
▪ 전자 친화도electron affinity
정의: M(g) + e- → M-(g)
EA = H (H < 0 )
(i) 0, IA, IIA족 원자들은 EA ~ 0.
(ii) 비금속 원소들, 특히 VIIA족은 EA가 매우 커서 음이온이 되기 쉽다.
EA
원자번호
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▪ 이온 반지름
(i) 금속: 중성원자보다 더 작다. (이유: 껍질 크기 감소, 유효핵전하 증가)
(ii) 비금속: 중성원자보다 더 크다. (이유: 껍질 크기 불변, 전자간 반발 증가)
양이온
중성원자
음이온
중성원자
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▪ 전기음성도electronegativity: 두 원자가 결합을 이루기 위해 공유한 전자를
끌어당기는 정도
H : Cl
대체적으로 증가
대체적으로
감소
38
10.5.2 현대 원자 모형과 원자의 방출 스펙트럼
같은 n이면 같은 에너지
수소 원자(1전자 원자)의 선 스펙트럼
39
에너지가 n과 l에 의존
Li 원자(다전자 원자)의 선 스펙트럼
40
[예제] 같은 족에 속하는 다음 원소들의 바닥 상태 전자배치를 쓰
시오.
(a) C, Si, Ge
(b) Li, Na, K
(c) O, S, Se
(d) Be, Mg, Ca
[예제] 다음 이온들은 생화학적인 반응에서 중요한 역할을 한다.
이들의 바닥 상태 전자 배치를 쓰시오.
(a) Na+
(c) Cl(b) Fe2+
(c) Cu2+
(d) Zn2+
41
[예제] 이온 반지름이 증가하는 순서로 나열하시오.
N3-, Na+, F-, Mg2+, O2-
[예제] 다음을 일차 이온화 에너지가 증가하는 순서로 나열하시오.
F, K, P, Ca, Ne