Transcript 09_강

9. 정적 평형; 탄성과 균열
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9. 정적 평형; 탄성과 균열
9.1 평형 조건
9.2 정역학 문제 풀이
9.3 근육과 관절에의 적용
9.4 안정성과 균형
9.5 탄성; 변형력과 변형
9.6 균열
9.7 공간 늘이기: 아치와 돔
9장 주요용어
.
•
정역학(statics)
•
굴근(flexor)
•
평형 상태(equilibrium)
•
신근(extensor)
•
평형의 제1조건(first condition for •
equilibrium)
•
평형의 제2조건(second condition
for equilibrium)
•
캔틸레버(cantilever)
•
착점(insertion)
•
•
안정 평형(stable equilibrium)
불안정 평형(unstable Equilibrium)
중립 평형(neutral equilibrium)
• 훅 법칙(Hooke’s law)
• 비례 한계
(proportional limit)
• 탄성 한계(elastic limit)
• 탄성 영역 (elastic region)
• 파괴점(breaking point)
• 극한 강도(ultimate strength)
• 탄성률(elastic modulus)
• 영 율(Young’s modulus)
• 변형력(stress)
• 변형(strain)
• 인장 변형력(tensile stress)
•
•
•
•
•
•
•
•
압축 변형력(compressive stress)
층밀림 변형력(shear stress)
층밀림 탄성률(shear moulus)
부피 탄성률(bulk modulus)
안전 인자(safety factor)
아치(arch)
플라잉 버트레스(flying buttress)
돔(dome)
9-1 평형의 조건
힘을 받고 있지만
움직이지 않는 물체를 평형에 있다고 말한다.
수직항력
중력
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예제 9.1 치아 교정
•
그림 a와 같은 치열교정용
철사는 그를 따라 2.0 N의
장력 𝐹𝑇 = 2.0 N의 힘을
작용한다. 철사에 의해
치아에 작용하는 합력 𝐹𝑅 을
계산하여라.
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평형제1조건:
각 좌표축 방향의 힘의 합력이 0이 된다.
𝐹𝑥 = 0,
𝐹𝑦 = 0,
𝐹𝑧 = 0
예제 9.2 샹들리에 줄 장력
그림에서 200 kg의 샹들리에를
지탱하는 연직방향의 줄에
연결된 두 줄에 작용하는 장력
𝐅𝐴 와 𝐅𝐵 를 계산하라.
줄의 질량은 무시한다.
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(9.1)
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평형 제2조건
어느 축이나 축 주위의 회전력이 0이다.
𝜏=0
(9.2)
평형 문제 풀이 과정
•
•
•
•
•
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자유물체도형을 그린다.
좌표계를 선택한다.
힘의 평형방정식을 적용한다.
회전력 평형방정식을 적용한다.
풀이한다.
예제 9.3 시소 균형 잡기
그림 9.6a와 같이 질량 M = 4.0 kg인 널빤지 위에 앉아 두 아이가 시소를
타고 있다. 아이 A는 질량이 30 kg이고 중심점 P로부터 2.5 m(아이의 무게
중심은 중심점으로부터 2.5 m이다)에 앉아 있다. 시소가 균형을 잡기
위해서는 질량이 25 kg인 아이 B는 중심점으로부터 얼마의 거리 x에
있어야 하는가? 널빤지는 균일하고 중심은 중심점에 있다고 가정한다.
[풀이] 1) 좌표선택과 널빤지의 자유물체도형
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예제 9.4 보와 지지대에 작용하는 힘
길이가 20.0 m인 균일한 1500 kg의 보가 오른쪽
지지기둥으로부터 5.0 m 떨어진 15,000 kg의
인쇄기를 지탱하고 있다. 연직의 지지기둥
각각에 작용하는 힘을 계산하라.
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캔티레버(cantilever)
문제를 풀이한 결과 힘(FA)이 음으로 나왔다면 그것은 여러분이 택한
방향과 반대 방향임을 의미한다. 이 방향은 임의적인 것이므로 문제를
풀기 전에 힘의 방향을 걱정할 필요는 없다.
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예제 9.5 경첩이 달린 보와 줄
질량 m = 25.0 kg이고 길이가 2.20 m인 균일한
보를 그림과 같이 벽에 작은 경첩으로
설치하였다. 보는 줄과 𝜃 = 30°를 이루며 수평
을 유지하고 있다. 보는 한 끝에 매단 질량 M
= 28.0 kg의 명패를 지탱하고 있다. 경첩이
보에 가하는 힘 𝐅𝑯 의 성분과 그를 지지하는
줄에 작용하는 장력 𝐅𝑇 를 결정하라.
풀이) 정적 평형조건
𝐹𝑥 = 0, 𝐹𝑦 = 0
Σ𝜏 = 0
를 적용하여 풀이한다.
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9.6 사다리
길이 5.0 m인 사다리가
그림과 같이 시멘트 바닥으로부터
높이 4.0 m 지점에 기대어 있다.
사다리는 균일하고
질량 m = 12.0 kg이다.
벽은 마찰이 없지만
바닥은 그렇지 않다
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9-3 근육과 관절에 평형원리을 적용
근육과 관절을 사용하여 팔로 물건을 들거나
민다.
평형의 원리로 인체에 작용하는 힘을
이해할 수 있다.
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예제 9.7 이두박근에 의한 힘
a.
b.
그림 (a)와 같이 질량이 5.0 kg 공을 손으로 들고 있다. 팔을 수평으로 한 상태와
(b) 그림 (b)와 같이 팔이 수평과 45°를 이루는 경우 이두박근이 미치는 힘은
얼마인가? 이두박근은 팔꿈치 관절로부터 5 cm의 위치에 붙은 심줄에 의해
팔뚝에 연결되어 있다. 팔뚝과 손의 질량은 2.0 kg이고 그들의 CG는 보여 주는
바와 같다고 가정한다.
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예제 9.8 등에 작용하는 힘
그림에 나타낸 것처럼 다섯 번째 요추에 작용하는 힘 의 크기와
방향을 계산하라.
다섯 번째
요추
척추
기립근
𝑭𝑴 의
지레 팔
𝜮𝝉를
계산한 축
머리
두팔
몸무게
몸통
FM 의 지레팔이 짧을 때 사람이 등을 구부린 각 때문에 척추의
디스크에 큰 힘이 작용한다.
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9-4 안정성과 평형
정적 평형상태인 물체를 약간 이동시켰을 때
(1) 물체가 원래의 위치로 돌아오면, 이 경우를
안정 평형(stable equilibrium)이라고 한다.
(2) 물체가 원래 위치로부터 더 멀리 움직이면,
이것을 불안정 평형(unstable
equilibrium)이라고 한다.
(3) 물체가 새로운 위치에 머물게 되는 경우,
이것을 중립 평형(neutral equilibrium)이라고
한다.
알짜
힘
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일반적으로 물체의 CG로부터 연직 방향으로 그린 직선이
(a) 지지 축 위에 있으면 물체가 안정하고,
(b) 지지 축 안에 있는 물체는 바로 서고,
(c) 지지 축 밖에 있으면 넘어진다.
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무거운 짐을 나르는 사람은 자동적으로 전체 질량중심 CG가
발 위에 오도록 자세를 취한다.
그러지 않으면 다치게 된다.
전체
CG
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9-5 탄성 ; 변형력과 변형
 탄성과 훅 법칙
훅의 법칙: 연직 변화는 작용한 힘에 비례한다.
𝐹 = 𝑘 ∆ℓ
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(9.3)
 영율
잡아당겨 늘린 물체의 길이는 작용한 힘 뿐만 아니라
물체를 이루는 물질과 길이, 단면적에 따라 변한다.
∆ℓ =
𝟏𝐹
ℓ
𝑬𝐴 0
(9.4)
물질에 관계되는 인자를 𝑬 를 탄성률 또는 영율(Young’s modulus)이라
한다.
 변형력과 변형
힘
[변형력] =
단면적
𝐹
𝐴
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=
=
Δ𝑙
𝐸
𝑙0
𝐹
:
𝐴
길이변화
변형 =
원래 길이
=
(9.5)
Δ𝑙
𝑙0
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예제 9.9 피아노 줄의 장력
1.60 m길이의 강철 피아노 줄의 지름이 0.20 cm이다.
만약 줄이 팽팽한 상태에서 0.25 cm로 늘어났다면
줄의 장력은 얼마나 커지는가?
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 인장력, 압축력, 층밀림 변형력 .
인장력
∆ℓ =
1𝐹
ℓ0
𝐺𝐴
물질 내부의 변형력
(9.6)
G는 층밀림 탄성률(shear modulus)
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 부피 변화 - 부피탄성률
∆𝑉
𝑉0
=
1
−
𝐵
∆𝑃
𝐵=−
(9.7)
∆𝑃
∆𝑉
𝑉0
음의 부호는 압력이 증가함에 따라 부피가 감소함을 의미한다.
9-6 파쇄
변형력이 너무 크면 물체는 균열이 일어나 파쇄 된다. 몇몇
소재가 지탱할 수 있는 최대 층밀리기 변형력과, 인장 변형력,
압축 변형력은 표와 같다.
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안전인자는 재료의 강도와 설계하중의 비로 정의한다.
실제 설계에는 안전인자 3~10을 적용한다. 하중이 최대
강도의 1/10~1/3을 유지해야 한다.
인장력
층밀리기
압축력
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예제 9.10 피아노 줄 끊김
예제 9.9에서 논의한 강철 피아노 줄은 길이가 1.60 m이고
지름이 0.20 cm이었다. 근사적으로 얼마의 힘으로 그것을
끊을 수 있을까?
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건물 기둥이 받는 힘
압축 변형력은 인장력과 반대 방향으로 작용한다.
신전 기둥들은 모두 압축 변형력을 받고 있다.
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콘크리트 건물
콘크리트는 압축에 대해서는 상당히 강하지만,
인장에 대해서는 극도로 약하다.
기둥으로는 적합하지만 들보로서는 가치가 없다.
강화콘크리트는 철근을 넣어 강도를 대폭 높인다.
보(수평 빔)는 그림과 같이 자체의 무게에 의해
인장변형과 압축 변형력을 받게 된다.
압축 변형
인장변형
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9-7 아치와 돔의 공간 경간
2000년 전에 로마시대의
아치나 돔은 과학이 예술과
인문학이 만나서 이루어진
걸작이다.
아치는 돌이나 벽돌로
슬라브를 만들 때보다
더 넓게 만들 수 있다.
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둥근 아치의 돌과 블록은
주로 구조를 강화시키기
위해 압축변형력을 받는다.
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9-7 Spanning a Space: Arches and Domes
불행하게도 반원형
아치에는 수평으로
작용하는 힘은 매우 클 수
있다.
반원형 아치가 많은 고딕
양식의 성당에는 무너지지
않도록 하기 위해 여러 개의
"부벽”을 설치하였다.
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수평으로 작용하는 힘이 적게 하려면 뾰족한 아치를
건축하면 된다.
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돔도 아치와 비슷하지만 돔의 경간은 2차원이고
아치의 경간은 1차원이다.
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예제 9.11 현대식 돔
로마에 있는 작은 경기장의 돔의 1.2 × 106 kg의 돔(그림 a)은 돔과
부드럽게 연결된 38°의 각도에 위치한 36개의 지지대들에 의해 지탱하고
있다. 각 지지대가 돔에 가하는 힘, 즉 그 힘이 38°의 각도(그림 b)에서
순전히 압축력만 작용하도록 하는 힘의 성분 𝐹𝐻 와 𝐹𝑉 를 계산하라.
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9장의 요점
• 정지한 물체는 평형상태에 있다. 이러한 물체를
연구하는 것이 정역학이다.
• 물체가 평형을 유지하려면 어느 축 방향을
막론하고 알짜 힘이 없어야 하고, 어느 축에
대해서나 알짜 회전힘이 없어야 한다.
• 정적인 평형상태에 있는 물체는 안정하던가,
불안정하던가 중립일 수 있다.
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• 물질은 압축이나 늘림 또는 층밀리기 변형을
일으킬 수 있다.
• 힘이 너무 크면 물체의 탄성한계를 넘고 계속 힘을
증가시키면 물질이 파쇄된다.
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