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제 장
경영과학(Ⅰ)
선형계획법 : 기본개념과
모형화
제2장 선형계획법 : 기본개념과 모형화
 모형화와 한계
 선형계획법의 유형
 도해법과 해의 분석
 특수한 해
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한밭대학교 산업경영공학과 강진규 ([email protected])
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
수리계획법(mathematical programming) : 현실에서 부딪히는
의사결정 상황을 수학적 모형(수리계획모형)으로
작성하여 그 해를 구함으로써 최적 의사결정을
도모하는 방법
수리계획모형의 세가지 구성요소

의사결정변수(decision variable)
: 의사결정의 대상

목적함수(objective function)
: 의사결정의 목표

제약조건(constraints)
: 목표를 성취하는 과정에서 제한되는 한계
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
수리계획법의 종류

선형계획법(Linear Programming ; LP)
: 목적함수와 제약조건식이 모두 1차식으로 표현

비선형계획법(Non-Linear Programming ; NLP)
: 1차식으로만 표현되지 않는 모형

정수계획법(Integer Programming ; IP)
:의사결정변수가 정수값 만을 가지는 특수한 경우

목표계획법(Goal Programming ; GP)
: 목적함수가 여러 개의 목표를 포함하고 있는 경우

동적계획법(Dynamic Programming ; DP)
: 여러 단계에 걸쳐 변수의 값을 결정하는 모형
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 모형화 ▷
예제모형
(T 화학의 경우)
공장장
: 수식을 모름
원료 A
B
50 t
200 t
C
210 t
OR전공자
제품 가
제품 나
40
30
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각 제품을
얼마나 생산?
예상 이익은?
원료들은
남을까?
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 모형화 ▷
예제모형 (T 화학 문제)
각 제품의 원료사용량과 단위당 이익
제품＼원료
A
B
C
단위당이익
가
4
0
6
40
나
5
2
3
30
사용가능량
200
50
210
 총이익을 최대로 하는 생산계획수립이 목표
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 모형화 ▷
의사결정변수
X1 : 제품 가 의 주간 생산량, X2 : 제품 나 의 주간 생산량
목적함수
Maximize(최대화) Z = 40X1 + 30X2
각 원료의 제약조건
4X1 + 5X2 ≤ 200
2X2 ≤ 50
6X1 + 3X2 ≤ 210
X1, X2 ≥ 0
(원료 A의 제약)
(원료 B의 제약)
(원료 C의 제약)
(의사결정변수의 비음 조건)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 가정과 한계 ▷
비례성(proportionality)
T 화학의 경우, 생산량에 비례하여 이익은
증가하고, 원료의 사용량이 제품생산량에
정확히 비례한다는 가정
→ 현실적인 예로서, 대량구매에 따른 할인정책이 적용되는 경우
생산량(판매량)에 이익이 정확히 비례하지 않음(비선형 모형)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 가정과 한계 ▷
가합성(additivity)
회사의 총이익은 각 제품의 판매에 따른 이익을
단순히 더하여 얻어지며, 원료의 총 사용량도
각 제품생산에 소모되는 양을 단순히 더한다는 가정
→ 예를 들어 제품들이 보완재 또는 대체재와 같이 서로 종속적인
관계에 있을 때는 단순히 더할 수 없고 곱의 형태나 특수한 함수
로 표시(비선형 모형)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 가정과 한계 ▷
가분성(divisibility)
선형계획모형의 해가 정수가 아닌 소수값도 가질
수 있다는 가정
→ 예를 들어, 의사결정 변수가 고용인 수, 구입기계 대수와 같이
반드시 정수로 나와야만 실행가능한 경우는? (정수계획모형)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 모형화와 한계
◁ 가정과 한계 ▷
확실성(certainty)
모형의 모든 계수가 확실한 숫자로 표시될 수
있다고 가정(제품의 단위당 이익, 원료 사용량,
원료 사용한도량 등을 모두 확실히 알고 있다고 가정)
→ 실제는 불확실하거나 확률적인 경우가 많음(확률적 모형)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 생산량결정문제 ▷
예제모형(전형적인 이익최대화 문제)
B공장의 공정별 소요시간(단위 : 분)
제품
A
B
C
1
2
1
5
2
3
2
1
3
0
4
6
공정
 각 공정의 1일 가동시간은 480분, 450분, 420분
 각 제품의 단위당 이익은 각각 3, 5, 4(만원)인 경우 1일 최적
생산량 결정
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 생산량결정문제 ▷
의사결정변수
X1 : 제품 A의 1일 생산량
X2 : 제품 B의 1일 생산량
X3 : 제품 C의 1일 생산량
최종 정리된 모형
Max. Z = 3X1 + 5X2 + 4X3
s. t. 2X1 + X2 + 5X3 ≤ 480
3X1 + 2X2 + X3 ≤ 450
4X2 + 6X3 ≤ 420
X1, X2, X3 ≥ 0
(총이익)
(공정 1의 가동시간)
(공정 2의 가동시간)
(공정 3의 가동시간)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 제품배합문제 ▷
예제 모형
 A, B 두가지 원료를 혼합하여 일반비료와
고급비료 등 두 종류의 비료를 생산, 판매
 제품의 수요 : 일반비료는 20kg짜리 푸대로
5,000푸대, 고급비료는 7,000푸대로 예측
 고급비료는 질소함유량이 40∼ 50%,
일반비료는 인산함유량이 20%를 넘지 않아야 한다.
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 제품배합문제 ▷
각 원료의 성분과 가격
원료
질소함유랑(%) 인산함유량(%) 구입가격(원/kg)
A
60
10
200
B
10
40
300
 최소의 비용으로 예상되는 수요를 충족시킬 수 있는 원료
구입계획 결정 문제
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 제품배합문제 ▷
의사결정변수 : 각 원료의 구입량(단위 : kg)
X1 : 일반비료에 투입되는 원료A의 양
X2 : 일반비료에 투입되는 원료B의 양
X3 : 고급비료에 투입되는 원료A의 양
X4 : 고급비료에 투입되는 원료B의 양
목적함수 : 각 원료의 구입비용을 최소화
Min. Z = 200(X1 + X3) + 300(X2 + X4)
수요를 충족시키기 위한 제약
X1 + X2 ≥ 20 × 5,000 (일반비료 수요 제약)
X3 + X4 ≥ 20 × 7,000 (고급비료 수요 제약)
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 제품배합문제 ▷
최종 정리된 선형계획모형


Min. Z = 200X1 + 300X2 + 200X3 + 300X4
(총비용)
s. t.
X1 + X2
≥ 100,000 (일반비료 수요)
X3 + X4
≥ 140,000 (고급비료 수요)
0.2X3 - 0.3X4 ≥ 0 (고급비료 최소질소함유량)
0.1X3 - 0.4X4 ≤ 0 (고급비료 최대질소함유량)
-0.1X1 + 0.2X2
≤ 0 (일반비료 최대질산함유량)
X1, X2, X3, X4
≥ 0
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 수송문제 ▷
예제 모형 : C시멘트회사
 각 공장별 하루 생산능력(톤) : 600, 500, 900
 각 대리점의 일일 수요(톤) : 500, 400, 700, 200
수송경로별 1톤당 수송비용
대리점
A
B
C
D
1
4
5
9
3
2
6
7
2
4
3
2
6
6
9
공장

(단위 : 만원)
최소의 비용으로 각 공장에서 대리점까지의 수송계획을 수립
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 수송문제 ▷
의사결정변수 : 각 수송경로에 배정하게 될 수송량

Xij : i 공장에서 j 대리점으로의 수송량
목적함수: 총 수송비용(단위당 수송비와 수송량과의 곱) 최소화

Min. Z = 4X11 + 5X12 + … + 9X34
공급능력의 제약

각 공장에서 수송되는 양은 그 공장의 생산능력을 벗어날 수 없으므로,
1번 공장의 경우 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 600 으로 표현,
나머지 공장에서도 마찬가지임
수요량 충족 제약

각 대리점의 수요량을 만족시키기 위한 제약조건은
A대리점의 경우, X11 + X21 + X31 = 500으로 표현
나머지 세 대리점에서도 마찬가지임
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 수송문제 ▷
최종 정리된 수송계획문제의 모형

Min. Z = 4X11 + 5X12 + … + 9X34

s. t.
X11 + X12 + X13 + X14
X21 + X22 + X23 + X24
X31 + X32 + X33 + X34
X11 + X21 + X31
X12 + X22 + X32
X13 + X23 + X33
X14 + X24 + X34
(총 수송비용)
≤ 600(1번 공장의 공급량 제약)
≤ 500(2번 공장의 공급량 제약)
≤ 900(3번 공장의 공급량 제약)
= 500(A대리점의 수요량 제약)
= 400(B대리점의 수요량 제약)
= 700(C대리점의 수요량 제약)
= 200(D대리점의 수요량 제약)
모든 Xij ≥ 0
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 식단문제 ▷
예제 모형(전형적인 최소화문제)

사람들에게 필요한 영양분을 충족시키면서
최소의 비용으로 음식물을 구입하는 문제

하루에 필요한 단백질, 탄수화물, 지방의
요구량과 이를 공급하는 5가지 음식물에
대한 자료가 다음 표와 같을 경우,
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 식단문제 ▷
음식물의 영양분 함유량과 비용
음식물종류
1
2
3
4
5
1일최소요구량

단위당 영양분 함유량(g)
단백질
탄수화물
지방
9
8
4
16
26
300
20
3
1
8
9
400
3
4
0
4
9
200
단위당
비용
최적 음식물 구입 계획을 수립하는 문제
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200
250
120
300
500
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 식단문제 ▷
의사결정변수 : Xi를 각 음식물의 구입량으로 정의
목적함수 : 음식물 구입에 따른 총 비용의 최소화
제약조건 : 각 영양분의 최소요구량 만족
최종 정리된 모형

Min. Z = 200X1 + 250X2 + 120X3 + 300X4 + 500X5 (총구입비용)

s. t. 9X1 + 8X2 + 4X3 + 16X4 + 26X5 ≥ 300(단백질 요구량)
20X1 + 3X2 + X3 + 8X4 + 9X5 ≥ 400(탄수화물 요구량)
3X1 + 4X2
+ 4X4 + 9X5 ≥ 200(지방 요구량)
X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 조달계획문제 ▷
예제 모형
 5일 동안의 특별행사 기간에 필요한 냅킨의 조달계획을 수립
 조달방법 : 새 것을 구입 또는 사용한 것을 세탁하여 다시 사용
 세탁의 경우, 하루만에 찾아올 수 있는 긴급세탁과 이틀 후에 찾는
보통세탁으로 구분
 냅킨의 단위당 구입가격은 10원이며, 세탁가격은 긴급세탁 5원,
보통세탁 3원
 행사기간 동안의 냅킨 수요량이 각각 200, 300, 280, 210,
190으로 예측
 냅킨의 최적 조달계획을 수립하는 것이 문제
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 조달계획문제 ▷
의사결정변수
 Xi = i번째 날에 새로 구입하여 사용하는 냅킨 수
 Yi = i번째 날에 사용하고 긴급세탁을 맡긴 냅킨 수
 Zi = i번째 날에 사용하고 보통세탁을 맡긴 냅킨 수
 Wi = i번째 날에 사용하였으나 세탁을 맡기지 않은 냅킨 수
<5일 동안 사용하게 될 냅킨 수>
날
냅킨종류
구
입
긴급세탁
보통세탁
수요량
1
2
3
4
5
X1
0
0
200
X2
0
0
300
X3
Y1
0
280
X4
Y2
Z1
210
X5
Y3
Z2
190
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 조달계획문제 ▷
변수의 성격상 Y4 = Y5 = Z3 = Z4 = Z5 = 0
매일 냅킨의 수요를 충족시키기 위한 조건
X1 = 200, X2 = 300,
X3 + Y1 = 280, X4 + Y2 + Z1 = 210, X5 + Y3 + Z2 = 190
매일 사용하고 남은 냅킨의 수 =
(당일 사용한 냅킨) + (전날 남은 냅킨) – (당일 세탁을 맡긴 냅킨)
W1 = 200 - (Y1+Z1), W2 = 300 + W1- (Y2+Z2),
W3 = 280 + W2 - (Y3+Z3) = 280 + W2 - Y3
* 4일째와 5일째는 세탁을 맡기는 냅킨이 없음
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 선형계획법의 유형
◁ 조달계획문제 ▷
최종 정리된 수식화 결과

Min. Z = 10(X3 + X4 + X5) + 5(Y1 + Y2 + Y3) + 3(Z1 + Z2)
(총비용)

s. t.
X3 + Y1
X4 + Y2 + Z1
X5 + Y3 + Z2
Y1 + Z1 + W1
Y2 + Z2 - W1 + W
Y3 - W2 + W3
= 280
= 210
= 190
= 200
= 300
= 280
(3일째의 냅킨 수요)
(4일째의 냅킨 수요)
(5일째의 냅킨 수요)
(1일째 사용한 냅킨수)
(2일째 사용한 냅킨수)
(3일째 사용한 냅킨수)
모든 변수는 비음수
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석
도해법(graphical solution method)
: 제약조건식을 만족시키는 영역을 그래프 상에 나타내어 해를
찾아내는 방법
: 변수가 3개 이상이면 표현하기가 곤란하며, 4개 이상이면 적용
불가능
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석
예제 모형 : T화학 문제
* 만약 T화학이 거래처인 S화학으로부터
각 제품을 이미 10톤씩 주문받아 놓은 상태라고 할 때, T화학의
최적생산계획 결정
새로운 선형계획모형
 목적함수 : Max. Z = 40X1 + 30X2 (예상 총이익)
 제약조건(subject to)
(1) 4X1 + 5X2 ≤ 200 (원료 A의 사용한도)
(2)
2X2 ≤ 50 (원료 B의 사용한도)
(3) 6X1 + 3X2 ≤ 210 (원료 C의 사용한도)
(4) X1
≥ 10 (제품 가의 주문량)
(5)
X2
≥ 10 (제품 나의 주문량)
X1, X2 ≥ 0
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석
위의 제약조건을 만족시키는 영역을 X1, X2의 좌표상에 그린다
Max. Z = 40X1 + 30X2
① 4X1 + 5X2 ≤ 200
X2
③
①
4
Z
X 2   X1 
3
30
(등이익선)
40
④
②
25
A
B
②
2X2 ≤ 50
③ 6X1 + 3X2 ≤ 210
④ X1
≥ 10
⑤
X2 ≥ 10
X1, X2 ≥ 0
C(25, 20)
실행가능영역
⑤10
E
0
D
10
35
50
4

기울기:-2 기울기: 5
X1
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석

빗금친 부분은 모든 제약조건을 만족시키는 영역 :
실행가능영역(feasible region)

이 영역에 있는 모든 좌표들 : 실행가능해 (feasible solution)

실행가능해 중에서 목적함수값을 가장 크게 해주는 점을
최적해(optimal solution)

최적해는 실행가능영역의 꼭지점(extreme point), A, B, C, D, E
중에 존재
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석
◁ 최적해를 찾는 방법 ▷
목적함수식을 종속변수인 X2에 관해 정리하면, X 2   4 X 1  Z
3
30
이 직선상에 있는 모든 좌표는 똑같은 Z값(이익)을 갖게 되므로 이를
등이익선(等利益線 ; iso-profit line)이라고 함
총이익 Z를 최대로 하기 위해서는 등이익선이 실행가능영역과
만나면서 절편값을 가장 크게 해야 한다.
앞의 그림에서 이 문제의 경우는 점 C(25, 20)가 최적점임
따라서 최적해는 X1 = 25, X2 = 20이고, 이 때의 Z = 1,600
즉, T화학회사의 주간 최적생산계획은,
가 제품을 25톤, 나 제품을 20톤 생산하는 것이고
예상되는 총이익은 1,600만원이다.
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제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 도해법과 해의 분석
◁ 최적해에 대한 분석 ▷
1, 2, 3번째 제약식의 좌변 : 원료 A, B, C의 사용량, 우변: 사용한도
따라서, (우변 – 좌변) = 사용하고 남는 여분의 양을 의미
이를 여유변수(slack variable)라 하고 각각 S1, S2, S3라 표시
최적인 상태에서 이들의 값은,
4X1 + 5X2 ≤ 200 (원료 A)
S1 = 200 - (4×25 + 5×20) = 0
→ 4X1 + 5X2 + S1 = 200
S2 = 50 - 2×20 = 10
S3 = 210 - (6×25 + 3×20) = 0
즉, 원료 B는 10만큼의 여유가 있고, A와 C는 부족한 상태
4, 5번째 제약조건의 좌변: 각 제품의 실제 생산량, 우변: 최소생산량
따라서, (좌변-우변) = 초과분의 생산량을 의미
이를 잉여변수(surplus variable)라 하고 S4, S5라 표시
X1 ≥ 10 (제품 가)
이 경우 S4 = 15, S5 = 10
→ X1 - S4 = 10
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선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 특수한 해
◁ 다수최적해 ▷
앞의 예에서 만약 제품 나의 단위당 판매이익이 50(만원)으로 높아진 경우
①
③
X2
X2  
40
④
②
25
⑤10
0
A
E
4
Z
X1 
5
50
B(18.75, 25)
C(25, 20)
D
10
35
기울기:-2
50
4
기울기: 5
X1
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 ([email protected])
2
제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 특수한 해
◁ 다수최적해 ▷
목적함수식이 Z= 40X1 + 50X2가 되어 등이익선의 기울기가 -4/5가
되므로 그림과 같이 등이익선이 1번 제약조건식의 경계선과 일치
따라서 점B와 C사이에 있는 모든 점이 최적해가 되는데,
이를 다수최적해(multiple optimal solutions)라 함
점 B(18.75, 25) 와 C(25,20) 사이의 점은 0≤α≤1인 α에 대하여,
(X1, X2) = α(25, 20) + (1-α)(18.75, 25)
= (18.75+6.25α, 25-5α)로 표시
이 경우, 제품 가를 18.75톤, 나를 25톤 생산해도 각각 25톤, 20톤씩
생산하는 것과 마찬가지로 총이익이 2,000이 된다.
한밭대학교 산업경영공학과 강진규 ([email protected])
2
제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 특수한 해
◁ 무한대해 ▷
무한대해(unbounded solution)
: 목적함수의 값을 무한히 증가(최대화 문제) 또는
감소(최소화 문제)시키는 해
X2
예제 모형
Max. Z = 2X1 + X2
s. t.
X1 - 2X2 ≤ 10
-2X1 + 5X2 ≥ 25
X1, X2 ≥ 0
 실행가능영역이 제한되지 않고
한쪽 방항으로 열려 있음
 제약조건식이 빠졌거나 제약조
건의 설정이 잘못된 경우
2X1-X2=10
-2X1+5X2=25
X2=-2X1+Z
5
0
5
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X1
2
제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 특수한 해
실행가능영역이 무제한이나 유한한 최적해를 갖는 경우
예제 모형
Max. Z = 3X1 - X2
s. t.
2X1 - X2 ≤ 4
X1
≤5
X1, X2 ≥ 0
실행가능영역은 위쪽으로 열려
있으나, 점 A(5, 6)에서 유한한
목적함수 값의 최적해를 가짐
실행가능영역과 등이익선
X2=3X1-Z
X2
A(5, 6)
X1=5
2X1-X2=4
0
2
5
-4
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X1
2
제 장
선형계획법 : 기본개념과 모형화
▶ 특수한 해
◁ 실행불가능한 경우 ▷
앞의 T화학 문제에서 가 제품에 대해 주문받은 양이 40인 경우
4번째 제약조건식 : X1 ≥ 40 → 이를 그래프에 표시하면,
 모든 제약식을 공통
적으로 만족시키는
영역이 없음
①
 제약조건의 타당성
또는 우선순위 검토
가 필요
②
X2
③
40
④
⑤
25
10
0
35 40
50
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X1
2
제 장
경영과학(Ⅰ)
선형계획법 : 기본개념과
모형화
제2장 선형계획법 : 기본개념과 모형화
secom.hanbat.ac.kr
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